Criterio de semejanza LLL: tres pares de lados correspondientes proporcionales

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

El Criterio de Semejanza LLL (Lado-Lado-Lado) establece que si los tres pares de lados homólogos de dos triángulos son proporcionales en una misma razón $k$, entonces los triángulos son semejantes.

Explicación en palabras simples

Criterio de Semejanza LLL (Lado - Lado - Lado)

Si divides los 3 lados del triángulo grande por los 3 lados del chico (ordenados de menor a mayor) y da el mismo número, los triángulos son semejantes.

Explicación formal

Teorema formal (Criterio LLL)

Sean dos triángulos con lados ordenados $a \le b \le c$ y $a' \le b' \le c'$. Si:

$$\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k \quad (k > 0)$$

Entonces:

$$\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'$$

Desglose simbólico y geométrico

  • Demostración por Teorema del Coseno:
    $$\cos(A') = \frac{b'^2 + c'^2 - a'^2}{2b'c'} = \frac{k^2 b^2 + k^2 c^2 - k^2 a^2}{2 (kb)(kc)} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \cos(A) \implies \angle A' \cong \angle A$$
  • Como los tres cosenos coinciden, todos los ángulos homólogos son congruentes.

Síntesis didáctica

Ordenar siempre los lados de menor a mayor antes de formar las tres fracciones de prueba.

Comprueba tu avance Si los lados de un triángulo son 3, 5 y 7 cm, y otro tiene lados 6, 10 y 14 cm, ¿son semejantes?

Definiciones clave

  • Semejanza geométrica: Relación entre figuras que poseen la misma forma con ángulos congruentes y lados proporcionales.
  • Razón de semejanza (k): Factor numérico constante resultante del cociente entre longitudes homólogas ($k = L^\prime/L$).
  • Criterios de semejanza: Condiciones mínimas suficientes para garantizar la semejanza de triángulos (AA, LLL, LAL).
  • Relación dimensional: Comportamiento de magnitudes geométricas bajo escala: $1D \to k$, $2D \to k^2$, $3D \to k^3$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Invarianza angular: $\angle_i \cong \angle_i^\prime \quad \forall i$.
  • Proporción de perímetros: $\frac{P^\prime}{P} = k$.
  • Proporción de áreas: $\frac{A^\prime}{A} = k^2$.
  • Proporción de volúmenes: $\frac{V^\prime}{V} = k^3$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Criterio de Semejanza LLL (Lado - Lado - Lado)

Aplica las propiedades y criterios de semejanza para determinar las medidas desconocidas y justificar la relación geométrica.

  • Paso 1: Identificar las figuras dadas y verificar el cumplimiento de los criterios de semejanza (AA, LLL o LAL).
  • Paso 2: Establecer la correspondencia de vértices, ángulos homólogos y lados correspondientes.
  • Paso 3: Calcular la razón de semejanza lineal $k = L^\prime / L$ a partir de los datos numéricos conocidos.
  • Paso 4: Aplicar el factor de escala adecuado según la dimensión de la magnitud: lineal ($k$), superficial ($k^2$) o volumétrica ($k^3$).
  • Paso 5: Expresar el resultado final con su respectiva unidad de medida.
Comprueba tu avance Si las razones entre lados son 4/2 = 2, 6/3 = 2 pero el tercer lado es 9/4 = 2,25, ¿son semejantes?

Procedimiento

  • Paso 1: Verificar el criterio de semejanza aplicable (AA, LLL o LAL).
  • Paso 2: Emparejar los elementos homólogos respetando la correspondencia angular.
  • Paso 3: Formular la igualdad de razones $\frac{L_1^\prime}{L_1} = \frac{L_2^\prime}{L_2} = k$.
  • Paso 4: Multiplicar por $k$ (longitudes), $k^2$ (áreas) o $k^3$ (volúmenes).
  • Paso 5: Comprobar la coherencia del resultado con la escala de ampliación o reducción.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que para figuras de 4 o más lados no basta con tener los mismos ángulos: se deben verificar obligatoriamente tanto ángulos iguales como lados proporcionales.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor correspondiente calculado mediante las propiedades de semejanza?
2 Si una figura se amplía al triple (k = 3), ¿por cuánto se multiplica su área?
3 ¿Dos triángulos con dos ángulos respectivamente iguales son siempre semejantes?
4 ¿Un cuadrado y un rectángulo son siempre semejantes por tener ángulos de 90°?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La razón entre los volúmenes de cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de lados (k³)."
"Invertir el orden de los lados al plantear la razón de semejanza."
"Dos triángulos con dos ángulos congruentes son semejantes (Criterio AA)."
"La razón entre las áreas de figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de lados (k²)."
"Modificar la medida de los ángulos al aplicar un factor de escala k."
"Multiplicar el área por k en lugar de k² al cambiar de escala."
"Afirmar que dos polígonos de 4 o más lados son semejantes solo porque tienen los mismos ángulos."
"Multiplicar el volumen por k en lugar de k³ al ampliar un sólido."

Al terminar debes poder

Resumen de Semejanza

🎯 QUÉ Objetivo

Comprender, demostrar y aplicar la semejanza de triángulos y polígonos, escalas, modelos de perspectiva y razones de perímetros, áreas y volúmenes.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Utilizando los criterios AA, LLL y LAL, resolviendo ecuaciones de proporcionalidad y aplicando las razones de escala $k$, $k^2$ y $k^3$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Geometría 2° Medio / Semejanza y Homotecia.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. El criterio LLL de semejanza requiere que:

  2. Con lados 4,6,8 y 6,9,12, los triángulos son semejantes por LLL.

  3. ¿En qué se diferencia el LLL de semejanza del LLL de congruencia?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. El criterio LLL de semejanza requiere conocer algún ángulo.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Un triángulo con lados 3,5,7 y otro con lados 6,10,15 son semejantes por LLL.

  2. Un triángulo tiene lados 5,7,9. Otro tiene lados 10,14,18. ¿Son semejantes por LLL?

  3. Un triángulo tiene lados 8,10,12. Con razón de semejanza 0,5, ¿cuáles son los lados del triángulo semejante menor?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un triángulo tiene lados 9,12,15. Otro triángulo tiene lados 6,8,x. ¿Qué valor de x hace que sean semejantes por LLL?

  2. ¿Cuál es el error frecuente al aplicar el criterio LLL de semejanza?

  3. Si el criterio LLL de semejanza se cumple con razón 1, los triángulos son en realidad congruentes.

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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