Criterio de semejanza LLL: tres pares de lados correspondientes proporcionales
Aplicar el criterio LLL de semejanza para determinar que dos triángulos son semejantes verificando que sus tres pares de lados sean proporcionales.
Introducción
Un segundo criterio abreviado de semejanza, análogo al de congruencia pero con proporcionalidad en vez de igualdad, permite comparar triángulos usando exclusivamente sus tres lados.
Explicación
Definición formal
Si en $\triangle ABC$ y $\triangle A'B'C'$ se cumple $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}$, entonces $\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$.
Desarrollo didáctico
A diferencia del criterio LLL de congruencia (que exige lados exactamente iguales), este criterio exige que las tres razones entre lados correspondientes coincidan; no importa el tamaño relativo, solo que la proporción se mantenga constante en los tres pares.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los tres pares de lados correspondientes entre ambos triángulos.
- Paso 2: Calcula la razón (cociente) de cada par de lados correspondientes.
- Paso 3: Si las tres razones son exactamente iguales, concluye semejanza por LLL.
Ejemplos
1 Un triángulo tiene lados 4, 6, 8; otro tiene lados 6, 9, 12.
- 6/4=9/6=12/8=1,5, las tres razones coinciden, por lo tanto son semejantes por LLL.
2 Un triángulo tiene lados 4, 6, 8; otro tiene lados 6, 9, 11.
- 6/4=1,5 y 9/6=1,5, pero 11/8=1,375; las razones no coinciden, no son semejantes.
3 ¿Se necesita conocer algún ángulo para aplicar LLL?
- No, basta con comparar los tres lados mediante razones.
4 ¿La razón obtenida en LLL corresponde a la razón de semejanza?
- Sí, esa razón constante es exactamente la razón de semejanza entre ambos triángulos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Comparar lados que no son realmente correspondientes entre los dos triángulos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Verificar solo dos de las tres razones y asumir que la tercera también coincide."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir este criterio con el LLL de congruencia, esperando que los lados sean iguales en vez de proporcionales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El criterio LLL de semejanza establece que dos triángulos son semejantes si sus tres pares de lados correspondientes son proporcionales, es decir, mantienen la misma razón.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El criterio LLL de semejanza requiere que:
Es la definición del criterio LLL de semejanza.
Respuesta: A) Los tres pares de lados correspondientes sean proporcionales
-
Con lados 4,6,8 y 6,9,12, los triángulos son semejantes por LLL.
Las tres razones son iguales a 1,5.
Respuesta: Verdadero
-
¿En qué se diferencia el LLL de semejanza del LLL de congruencia?
Es la diferencia clave entre ambos criterios análogos.
Respuesta: A) El de semejanza exige proporción, el de congruencia exige igualdad
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El criterio LLL de semejanza requiere conocer algún ángulo.
Solo requiere comparar los tres lados mediante razones.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un triángulo con lados 3,5,7 y otro con lados 6,10,15 son semejantes por LLL.
6/3=2, 10/5=2, pero 15/7≈2,14; las razones no coinciden.
Respuesta: Falso
-
Un triángulo tiene lados 5,7,9. Otro tiene lados 10,14,18. ¿Son semejantes por LLL?
Cada lado del segundo es el doble del correspondiente.
Respuesta: A) Sí
-
Un triángulo tiene lados 8,10,12. Con razón de semejanza 0,5, ¿cuáles son los lados del triángulo semejante menor?
Cada lado se multiplica por 0,5.
Respuesta: A) 4, 5, 6
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un triángulo tiene lados 9,12,15. Otro triángulo tiene lados 6,8,x. ¿Qué valor de x hace que sean semejantes por LLL?
9/6=12/8=1,5; entonces 15/x=1,5 → x=10.
Respuesta: A) 10
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar el criterio LLL de semejanza?
Es un error común no comprobar la tercera razón antes de concluir.
Respuesta: A) Verificar solo dos de las tres razones
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Si el criterio LLL de semejanza se cumple con razón 1, los triángulos son en realidad congruentes.
Con razón 1, los lados correspondientes son exactamente iguales.
Respuesta: Verdadero