Criterio de semejanza LAL: dos pares de lados proporcionales y ángulo comprendido congruente
Aplicar el criterio LAL de semejanza para determinar que dos triángulos son semejantes verificando dos pares de lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.
Introducción
El tercer criterio abreviado de semejanza combina proporcionalidad de lados con igualdad de un ángulo, de forma análoga al LAL de congruencia.
Explicación
Definición formal
Si en $\triangle ABC$ y $\triangle A'B'C'$ se cumple $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$ y $\angle A=\angle A'$ (el ángulo comprendido entre esos lados), entonces $\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$.
Desarrollo didáctico
Este criterio es útil cuando se conocen solo dos lados y el ángulo entre ellos, sin necesidad de calcular o medir el tercer lado; la condición clave es que el ángulo debe ser exactamente el comprendido entre los dos lados usados en la proporción.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica dos lados de cada triángulo y calcula la razón entre ellos.
- Paso 2: Verifica que el ángulo comprendido entre esos dos lados sea igual en ambos triángulos.
- Paso 3: Si la razón de lados coincide y el ángulo comprendido es igual, concluye semejanza por LAL.
Ejemplos
1 Un triángulo tiene lados 4 y 6 con ángulo comprendido de 50°; otro tiene lados 8 y 12 con ángulo comprendido de 50°.
- 8/4=12/6=2, y el ángulo comprendido coincide (50°), por lo tanto son semejantes por LAL.
2 Dos triángulos comparten dos lados proporcionales, pero el ángulo igual no está entre esos lados.
- No se puede aplicar LAL; el ángulo debe estar exactamente entre los dos lados de la proporción.
3 ¿La razón de los dos lados debe ser exactamente igual?
- Sí, ambas razones (una por cada par de lados) deben coincidir exactamente.
4 ¿Este criterio requiere conocer el tercer lado?
- No, basta con dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Usar un ángulo que no está comprendido entre los dos lados de la proporción."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular mal una de las dos razones de lados antes de compararlas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir este criterio con el LAL de congruencia, esperando lados iguales en vez de proporcionales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El criterio LAL de semejanza establece que dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de lados correspondientes proporcionales y el ángulo comprendido entre esos lados es igual (congruente) en ambos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El criterio LAL de semejanza requiere que:
Es la definición del criterio LAL de semejanza.
Respuesta: A) Dos lados sean proporcionales y el ángulo comprendido sea igual
-
Con lados 4,6 y 8,12 (razón 2) y ángulo comprendido de 50° en ambos, los triángulos son semejantes por LAL.
Cumplen exactamente la condición LAL de semejanza.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué condición es esencial sobre el ángulo en este criterio?
Es la condición clave del criterio LAL.
Respuesta: A) Debe estar comprendido entre los dos lados proporcionales
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El criterio LAL de semejanza requiere que los dos lados sean exactamente iguales.
Requiere que sean proporcionales, no iguales.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Dos triángulos tienen lados 3,5 y 9,15 (razón 3), con ángulo comprendido de 60° en ambos. ¿Son semejantes por LAL?
Cumplen la condición completa del criterio.
Respuesta: A) Sí
-
Dos triángulos con lados 2,4 y 6,10, con el mismo ángulo comprendido, son semejantes por LAL.
6/2=3 pero 10/4=2,5; las razones no coinciden.
Respuesta: Falso
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Un triángulo tiene lados 5 y 8 con ángulo comprendido de 70°. Otro tiene lados 15 y x con el mismo ángulo. ¿Qué valor de x da semejanza por LAL?
15/5=3; x=8×3=24.
Respuesta: A) 24
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un triángulo tiene lados 6 y 10 con ángulo comprendido de 90°. Usando LAL y Pitágoras, si otro triángulo semejante tiene razón 2, ¿cuánto mide su hipotenusa?
Hipotenusa del original: √(36+100)=√136≈11,66; con razón 2: 11,66×2≈23,32.
Respuesta: A) 23,32
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El criterio LAL de semejanza, al confirmarse, también garantiza que el tercer lado sea proporcional con la misma razón.
Al ser semejantes, todos los lados correspondientes mantienen la misma razón.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar este criterio?
Es el error conceptual más común en este criterio.
Respuesta: A) Usar un ángulo que no está comprendido entre los dos lados