Criterio de semejanza LAL: dos pares de lados proporcionales y ángulo comprendido congruente

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

El Criterio de Semejanza LAL (Lado-Ángulo-Lado) establece que si dos triángulos tienen dos pares de lados homólogos proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente, entonces son semejantes.

Explicación en palabras simples

Criterio de Semejanza LAL (Lado - Ángulo - Lado)

Si tienes dos lados proporcionales y el ángulo que está justo en medio de ellos es idéntico, los dos triángulos son semejantes.

Explicación formal

Teorema formal (Criterio LAL)

Sean $\Delta ABC$ y $\Delta A'B'C'$ con lados adyacentes $a, b$ y $a', b'$ que forman los ángulos comprendidos $\angle C$ y $\angle C'$ respectivamente. Si:

$$\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = k \quad \land \quad \angle C \cong \angle C'$$

Entonces:

$$\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'$$

Desglose simbólico y geométrico

  • Aplicación del Teorema del Coseno para el tercer lado:
    $$c'^2 = a'^2 + b'^2 - 2a'b'\cos(C') = k^2 a^2 + k^2 b^2 - 2(ka)(kb)\cos(C) = k^2 (a^2 + b^2 - 2ab\cos C) = k^2 c^2 \implies c' = kc$$
  • Al ser el tercer lado proporcional con la misma razón $k$, se cumple LLL y por ende la semejanza total.

Síntesis didáctica

Verificar siempre la posición del ángulo: debe ser el vértice común a ambos lados conocidos.

Comprueba tu avance ¿Dónde debe estar ubicado el ángulo en el criterio de semejanza LAL?

Definiciones clave

  • Semejanza geométrica: Relación entre figuras que poseen la misma forma con ángulos congruentes y lados proporcionales.
  • Razón de semejanza (k): Factor numérico constante resultante del cociente entre longitudes homólogas ($k = L^\prime/L$).
  • Criterios de semejanza: Condiciones mínimas suficientes para garantizar la semejanza de triángulos (AA, LLL, LAL).
  • Relación dimensional: Comportamiento de magnitudes geométricas bajo escala: $1D \to k$, $2D \to k^2$, $3D \to k^3$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Invarianza angular: $\angle_i \cong \angle_i^\prime \quad \forall i$.
  • Proporción de perímetros: $\frac{P^\prime}{P} = k$.
  • Proporción de áreas: $\frac{A^\prime}{A} = k^2$.
  • Proporción de volúmenes: $\frac{V^\prime}{V} = k^3$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Criterio de Semejanza LAL (Lado - Ángulo - Lado)

Aplica las propiedades y criterios de semejanza para determinar las medidas desconocidas y justificar la relación geométrica.

  • Paso 1: Identificar las figuras dadas y verificar el cumplimiento de los criterios de semejanza (AA, LLL o LAL).
  • Paso 2: Establecer la correspondencia de vértices, ángulos homólogos y lados correspondientes.
  • Paso 3: Calcular la razón de semejanza lineal $k = L^\prime / L$ a partir de los datos numéricos conocidos.
  • Paso 4: Aplicar el factor de escala adecuado según la dimensión de la magnitud: lineal ($k$), superficial ($k^2$) o volumétrica ($k^3$).
  • Paso 5: Expresar el resultado final con su respectiva unidad de medida.
Comprueba tu avance Si dos triángulos tienen lados 4 cm y 6 cm con ángulo de 60°, y otro tiene lados 8 cm y 12 cm con ángulo de 60° entre ellos, ¿son semejantes?

Procedimiento

  • Paso 1: Verificar el criterio de semejanza aplicable (AA, LLL o LAL).
  • Paso 2: Emparejar los elementos homólogos respetando la correspondencia angular.
  • Paso 3: Formular la igualdad de razones $\frac{L_1^\prime}{L_1} = \frac{L_2^\prime}{L_2} = k$.
  • Paso 4: Multiplicar por $k$ (longitudes), $k^2$ (áreas) o $k^3$ (volúmenes).
  • Paso 5: Comprobar la coherencia del resultado con la escala de ampliación o reducción.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que para figuras de 4 o más lados no basta con tener los mismos ángulos: se deben verificar obligatoriamente tanto ángulos iguales como lados proporcionales.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor correspondiente calculado mediante las propiedades de semejanza?
2 Si una figura se amplía al triple (k = 3), ¿por cuánto se multiplica su área?
3 ¿Dos triángulos con dos ángulos respectivamente iguales son siempre semejantes?
4 ¿Un cuadrado y un rectángulo son siempre semejantes por tener ángulos de 90°?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La razón entre los volúmenes de cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de lados (k³)."
"Invertir el orden de los lados al plantear la razón de semejanza."
"Modificar la medida de los ángulos al aplicar un factor de escala k."
"La razón entre las áreas de figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de lados (k²)."
"Multiplicar el volumen por k en lugar de k³ al ampliar un sólido."
"Multiplicar el área por k en lugar de k² al cambiar de escala."
"Dos triángulos con dos ángulos congruentes son semejantes (Criterio AA)."
"Afirmar que dos polígonos de 4 o más lados son semejantes solo porque tienen los mismos ángulos."

Al terminar debes poder

Resumen de Semejanza

🎯 QUÉ Objetivo

Comprender, demostrar y aplicar la semejanza de triángulos y polígonos, escalas, modelos de perspectiva y razones de perímetros, áreas y volúmenes.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Utilizando los criterios AA, LLL y LAL, resolviendo ecuaciones de proporcionalidad y aplicando las razones de escala $k$, $k^2$ y $k^3$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Geometría 2° Medio / Semejanza y Homotecia.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. El criterio LAL de semejanza requiere que:

  2. Con lados 4,6 y 8,12 (razón 2) y ángulo comprendido de 50° en ambos, los triángulos son semejantes por LAL.

  3. ¿Qué condición es esencial sobre el ángulo en este criterio?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. El criterio LAL de semejanza requiere que los dos lados sean exactamente iguales.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Dos triángulos tienen lados 3,5 y 9,15 (razón 3), con ángulo comprendido de 60° en ambos. ¿Son semejantes por LAL?

  2. Dos triángulos con lados 2,4 y 6,10, con el mismo ángulo comprendido, son semejantes por LAL.

  3. Un triángulo tiene lados 5 y 8 con ángulo comprendido de 70°. Otro tiene lados 15 y x con el mismo ángulo. ¿Qué valor de x da semejanza por LAL?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un triángulo tiene lados 6 y 10 con ángulo comprendido de 90°. Usando LAL y Pitágoras, si otro triángulo semejante tiene razón 2, ¿cuánto mide su hipotenusa?

  2. El criterio LAL de semejanza, al confirmarse, también garantiza que el tercer lado sea proporcional con la misma razón.

  3. ¿Cuál es el error frecuente al aplicar este criterio?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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