Criterio de semejanza AA: dos ángulos correspondientes congruentes

M1 — PAES obligatoria Básica

Resumen inicial

El Criterio de Semejanza AA (Ángulo-Ángulo) establece que si dos triángulos tienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes, entonces son semejantes.

Explicación en palabras simples

Criterio de Semejanza AA (Ángulo - Ángulo)

Si dos triángulos comparten dos ángulos iguales, automáticamente tienen la misma forma y son semejantes.

Explicación formal

Teorema formal (Criterio AA)

Sean $\Delta ABC$ y $\Delta DEF$ dos triángulos en $\mathbb{R}^2$. Si:

$$\angle A \cong \angle D \quad \land \quad \angle B \cong \angle E$$

Entonces:

$$\Delta ABC \sim \Delta DEF$$

Desglose simbólico y geométrico

  • Consecuencia euclidiana: $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (\angle D + \angle E) = \angle F$. Por tanto, el criterio AA es equivalente a AAA (Ángulo-Ángulo-Ángulo).
  • Teorema del Seno: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ y $\frac{d}{\sin D} = \frac{e}{\sin E} = \frac{f}{\sin F}$. Al ser los senos iguales, los lados homólogos son estrictamente proporcionales: $\frac{d}{a} = \frac{e}{b} = \frac{f}{c} = k$.

Síntesis didáctica

Es el criterio más potente y rápido para demostrar semejanza en pruebas y problemas geométricos.

Comprueba tu avance ¿Por qué solo se necesitan DOS ángulos congruentes en vez de tres para demostrar semejanza?

Definiciones clave

  • Semejanza geométrica: Relación entre figuras que poseen la misma forma con ángulos congruentes y lados proporcionales.
  • Razón de semejanza (k): Factor numérico constante resultante del cociente entre longitudes homólogas ($k = L^\prime/L$).
  • Criterios de semejanza: Condiciones mínimas suficientes para garantizar la semejanza de triángulos (AA, LLL, LAL).
  • Relación dimensional: Comportamiento de magnitudes geométricas bajo escala: $1D \to k$, $2D \to k^2$, $3D \to k^3$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Invarianza angular: $\angle_i \cong \angle_i^\prime \quad \forall i$.
  • Proporción de perímetros: $\frac{P^\prime}{P} = k$.
  • Proporción de áreas: $\frac{A^\prime}{A} = k^2$.
  • Proporción de volúmenes: $\frac{V^\prime}{V} = k^3$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Criterio de Semejanza AA (Ángulo - Ángulo)

Aplica las propiedades y criterios de semejanza para determinar las medidas desconocidas y justificar la relación geométrica.

  • Paso 1: Identificar las figuras dadas y verificar el cumplimiento de los criterios de semejanza (AA, LLL o LAL).
  • Paso 2: Establecer la correspondencia de vértices, ángulos homólogos y lados correspondientes.
  • Paso 3: Calcular la razón de semejanza lineal $k = L^\prime / L$ a partir de los datos numéricos conocidos.
  • Paso 4: Aplicar el factor de escala adecuado según la dimensión de la magnitud: lineal ($k$), superficial ($k^2$) o volumétrica ($k^3$).
  • Paso 5: Expresar el resultado final con su respectiva unidad de medida.
Comprueba tu avance Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 35°, y otro triángulo rectángulo tiene un ángulo de 35°, ¿son semejantes?

Procedimiento

  • Paso 1: Verificar el criterio de semejanza aplicable (AA, LLL o LAL).
  • Paso 2: Emparejar los elementos homólogos respetando la correspondencia angular.
  • Paso 3: Formular la igualdad de razones $\frac{L_1^\prime}{L_1} = \frac{L_2^\prime}{L_2} = k$.
  • Paso 4: Multiplicar por $k$ (longitudes), $k^2$ (áreas) o $k^3$ (volúmenes).
  • Paso 5: Comprobar la coherencia del resultado con la escala de ampliación o reducción.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que para figuras de 4 o más lados no basta con tener los mismos ángulos: se deben verificar obligatoriamente tanto ángulos iguales como lados proporcionales.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor correspondiente calculado mediante las propiedades de semejanza?
2 Si una figura se amplía al triple (k = 3), ¿por cuánto se multiplica su área?
3 ¿Dos triángulos con dos ángulos respectivamente iguales son siempre semejantes?
4 ¿Un cuadrado y un rectángulo son siempre semejantes por tener ángulos de 90°?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La razón entre las áreas de figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de lados (k²)."
"La razón entre los volúmenes de cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de lados (k³)."
"Invertir el orden de los lados al plantear la razón de semejanza."
"Dos triángulos con dos ángulos congruentes son semejantes (Criterio AA)."
"Afirmar que dos polígonos de 4 o más lados son semejantes solo porque tienen los mismos ángulos."
"Multiplicar el área por k en lugar de k² al cambiar de escala."
"Multiplicar el volumen por k en lugar de k³ al ampliar un sólido."
"Modificar la medida de los ángulos al aplicar un factor de escala k."

Al terminar debes poder

Resumen de Semejanza

🎯 QUÉ Objetivo

Comprender, demostrar y aplicar la semejanza de triángulos y polígonos, escalas, modelos de perspectiva y razones de perímetros, áreas y volúmenes.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Utilizando los criterios AA, LLL y LAL, resolviendo ecuaciones de proporcionalidad y aplicando las razones de escala $k$, $k^2$ y $k^3$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Geometría 2° Medio / Semejanza y Homotecia.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. El criterio AA no requiere conocer ningún lado del triángulo.

  2. ¿Por qué basta con dos ángulos para aplicar este criterio?

  3. El criterio AA de semejanza requiere que:

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. El criterio AA requiere verificar los tres ángulos del triángulo.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Dos triángulos tienen ángulos de 40° y 70°, ambos. ¿Son semejantes por AA?

  2. Dos triángulos rectángulos que comparten un ángulo agudo igual son semejantes por AA.

  3. Un triángulo tiene ángulos 55° y 65°. Otro tiene ángulos 55° y 60°. ¿Son semejantes?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. En una circunferencia, dos triángulos inscritos comparten un arco (y por lo tanto un ángulo inscrito igual) y además tienen un ángulo recto cada uno. ¿Son semejantes?

  2. ¿Cuál es el error frecuente al aplicar el criterio AA?

  3. Dos triángulos rectángulos que comparten el mismo ángulo agudo son siempre semejantes entre sí.

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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