Concepto de semejanza de triángulos

M1 — PAES obligatoria Básica

Resumen inicial

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos homólogos congruentes y sus tres lados correspondientes proporcionales en una razón común $k$: $\Delta ABC \sim \Delta DEF$.

Explicación en palabras simples

Semejanza de Triángulos: Definición y Propiedades

Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos tres ángulos y los lados del más grande son el doble, triple o cualquier múltiplo del más pequeño.

Explicación formal

Teorema formal

Sean $\Delta ABC$ y $\Delta DEF$ dos triángulos en $\mathbb{R}^2$. Se define $\Delta ABC \sim \Delta DEF$ si y solo si existe $k \in \mathbb{R}^+$ tal que:

$$\begin{cases} \angle A \cong \angle D, \quad \angle B \cong \angle E, \quad \angle C \cong \angle F \\ \frac{\|\overline{DE}\|}{\|\overline{AB}\|} = \frac{\|\overline{EF}\|}{\|\overline{BC}\|} = \frac{\|\overline{FD}\|}{\|\overline{CA}\|} = k \end{cases}$$

Desglose simbólico y geométrico

  • Lados homólogos: Lados opuestos a ángulos respectivamente congruentes.
  • Teorema de los elementos notables: Si $\Delta ABC \sim \Delta DEF$ con razón $k$, entonces las alturas homólogas satisfacen $\frac{h_D}{h_A} = k$, y las medianas $\frac{m_D}{m_A} = k$.

Síntesis didáctica

El emparejamiento de lados homólogos debe realizarse siempre comparando los lados opuestos a ángulos iguales.

Comprueba tu avance Si ΔABC ~ ΔDEF, ¿cuál es el lado homólogo al lado AB?

Definiciones clave

  • Semejanza geométrica: Relación entre figuras que poseen la misma forma con ángulos congruentes y lados proporcionales.
  • Razón de semejanza (k): Factor numérico constante resultante del cociente entre longitudes homólogas ($k = L^\prime/L$).
  • Criterios de semejanza: Condiciones mínimas suficientes para garantizar la semejanza de triángulos (AA, LLL, LAL).
  • Relación dimensional: Comportamiento de magnitudes geométricas bajo escala: $1D \to k$, $2D \to k^2$, $3D \to k^3$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Invarianza angular: $\angle_i \cong \angle_i^\prime \quad \forall i$.
  • Proporción de perímetros: $\frac{P^\prime}{P} = k$.
  • Proporción de áreas: $\frac{A^\prime}{A} = k^2$.
  • Proporción de volúmenes: $\frac{V^\prime}{V} = k^3$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Semejanza de Triángulos: Definición y Propiedades

Aplica las propiedades y criterios de semejanza para determinar las medidas desconocidas y justificar la relación geométrica.

  • Paso 1: Identificar las figuras dadas y verificar el cumplimiento de los criterios de semejanza (AA, LLL o LAL).
  • Paso 2: Establecer la correspondencia de vértices, ángulos homólogos y lados correspondientes.
  • Paso 3: Calcular la razón de semejanza lineal $k = L^\prime / L$ a partir de los datos numéricos conocidos.
  • Paso 4: Aplicar el factor de escala adecuado según la dimensión de la magnitud: lineal ($k$), superficial ($k^2$) o volumétrica ($k^3$).
  • Paso 5: Expresar el resultado final con su respectiva unidad de medida.
Comprueba tu avance Si los lados de un triángulo miden 3, 4 y 5 cm, y otro semejante tiene lados 6, 8 y 10 cm, ¿cuál es la razón k?

Procedimiento

  • Paso 1: Verificar el criterio de semejanza aplicable (AA, LLL o LAL).
  • Paso 2: Emparejar los elementos homólogos respetando la correspondencia angular.
  • Paso 3: Formular la igualdad de razones $\frac{L_1^\prime}{L_1} = \frac{L_2^\prime}{L_2} = k$.
  • Paso 4: Multiplicar por $k$ (longitudes), $k^2$ (áreas) o $k^3$ (volúmenes).
  • Paso 5: Comprobar la coherencia del resultado con la escala de ampliación o reducción.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que para figuras de 4 o más lados no basta con tener los mismos ángulos: se deben verificar obligatoriamente tanto ángulos iguales como lados proporcionales.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor correspondiente calculado mediante las propiedades de semejanza?
2 Si una figura se amplía al triple (k = 3), ¿por cuánto se multiplica su área?
3 ¿Dos triángulos con dos ángulos respectivamente iguales son siempre semejantes?
4 ¿Un cuadrado y un rectángulo son siempre semejantes por tener ángulos de 90°?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Multiplicar el área por k en lugar de k² al cambiar de escala."
"Dos triángulos con dos ángulos congruentes son semejantes (Criterio AA)."
"Modificar la medida de los ángulos al aplicar un factor de escala k."
"Invertir el orden de los lados al plantear la razón de semejanza."
"Multiplicar el volumen por k en lugar de k³ al ampliar un sólido."
"Afirmar que dos polígonos de 4 o más lados son semejantes solo porque tienen los mismos ángulos."
"La razón entre las áreas de figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de lados (k²)."
"La razón entre los volúmenes de cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de lados (k³)."

Al terminar debes poder

Resumen de Semejanza

🎯 QUÉ Objetivo

Comprender, demostrar y aplicar la semejanza de triángulos y polígonos, escalas, modelos de perspectiva y razones de perímetros, áreas y volúmenes.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Utilizando los criterios AA, LLL y LAL, resolviendo ecuaciones de proporcionalidad y aplicando las razones de escala $k$, $k^2$ y $k^3$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Geometría 2° Medio / Semejanza y Homotecia.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Dos triángulos son semejantes si:

  2. Un triángulo de lados 3,4,5 y otro de lados 6,8,10 son semejantes.

  3. ¿Qué símbolo se usa para indicar semejanza de triángulos?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Dos triángulos semejantes deben tener el mismo tamaño.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Un triángulo de lados 5,12,13 y otro de lados 10,24,26 son semejantes.

  2. Un triángulo tiene lados 4, 6, 8. Otro tiene lados 6, 9, 11. ¿Son semejantes?

  3. Dos triángulos tienen ángulos 40°, 60°, 80° ambos. ¿Son semejantes?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Si dos triángulos tienen sus tres ángulos iguales, automáticamente sus lados correspondientes son proporcionales.

  2. ¿Cuál es el error frecuente al identificar semejanza de triángulos?

  3. Un triángulo tiene lados 7, 9, 11. ¿Cuál de las siguientes ternas corresponde a un triángulo semejante?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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