Concepto de razón de semejanza
Resumen inicial
La razón de semejanza $k$ es el factor numérico constante que resulta de dividir cualquier longitud lineal de la figura semejante entre la longitud del segmento homólogo correspondiente en la figura original.
Explicación en palabras simples
La razón de semejanza es el número por el que multiplicas todas las medidas de una figura para obtener la otra.
Explicación formal
Definición formal
Sean $F_1, F_2$ dos figuras en $\mathbb{R}^2$ tales que $F_2 = S(F_1)$ bajo una semejanza $S$. La razón de semejanza $k$ de $F_2$ respecto a $F_1$ se define formalmente como:
$$k = \frac{\|\overline{S(A)S(B)}\|}{\|\overline{AB}\|} \quad \forall A \neq B \in F_1 \quad (k \in \mathbb{R}^+)$$
Desglose simbólico y geométrico
- Sentido directo: $F_1 \xrightarrow{\times k} F_2$.
- Sentido recíproco: $F_2 \xrightarrow{\times \frac{1}{k}} F_1$.
- Composición de semejanzas: Si $F_1 \sim F_2$ con razón $k_1$ y $F_2 \sim F_3$ con razón $k_2$, entonces $F_1 \sim F_3$ con razón compuesta $k_{13} = k_1 \cdot k_2$.
Síntesis didáctica
Verificar siempre si la razón solicitada es de la copia respecto al original o viceversa.
Es Una reducción homotética a escala 1:100, dado que $0 < k < 1$.
Definiciones clave
- Semejanza geométrica: Relación entre figuras que poseen la misma forma con ángulos congruentes y lados proporcionales.
- Razón de semejanza (k): Factor numérico constante resultante del cociente entre longitudes homólogas ($k = L^\prime/L$).
- Criterios de semejanza: Condiciones mínimas suficientes para garantizar la semejanza de triángulos (AA, LLL, LAL).
- Relación dimensional: Comportamiento de magnitudes geométricas bajo escala: $1D \to k$, $2D \to k^2$, $3D \to k^3$.
Propiedades y relaciones importantes
- Invarianza angular: $\angle_i \cong \angle_i^\prime \quad \forall i$.
- Proporción de perímetros: $\frac{P^\prime}{P} = k$.
- Proporción de áreas: $\frac{A^\prime}{A} = k^2$.
- Proporción de volúmenes: $\frac{V^\prime}{V} = k^3$.
Ejemplo guiado
Aplica las propiedades y criterios de semejanza para determinar las medidas desconocidas y justificar la relación geométrica.
- Paso 1: Identificar las figuras dadas y verificar el cumplimiento de los criterios de semejanza (AA, LLL o LAL).
- Paso 2: Establecer la correspondencia de vértices, ángulos homólogos y lados correspondientes.
- Paso 3: Calcular la razón de semejanza lineal $k = L^\prime / L$ a partir de los datos numéricos conocidos.
- Paso 4: Aplicar el factor de escala adecuado según la dimensión de la magnitud: lineal ($k$), superficial ($k^2$) o volumétrica ($k^3$).
- Paso 5: Expresar el resultado final con su respectiva unidad de medida.
La razón inversa es $k_{\text{inv}} = \frac{1}{4} = 0{,}25$.
Procedimiento
- Paso 1: Verificar el criterio de semejanza aplicable (AA, LLL o LAL).
- Paso 2: Emparejar los elementos homólogos respetando la correspondencia angular.
- Paso 3: Formular la igualdad de razones $\frac{L_1^\prime}{L_1} = \frac{L_2^\prime}{L_2} = k$.
- Paso 4: Multiplicar por $k$ (longitudes), $k^2$ (áreas) o $k^3$ (volúmenes).
- Paso 5: Comprobar la coherencia del resultado con la escala de ampliación o reducción.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
Recuerda que para figuras de 4 o más lados no basta con tener los mismos ángulos: se deben verificar obligatoriamente tanto ángulos iguales como lados proporcionales.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- La razón inversa es $k_{\text{inv}} = \frac{1}{4} = 0{,}25$.
- El área es una magnitud bidimensional que escala con el cuadrado de la razón de semejanza: $k^2 = 3^2 = 9$.
- Sí, por el Criterio AA (Ángulo-Ángulo), dos ángulos congruentes garantizan automáticamente la semejanza total de los triángulos.
- No, porque para polígonos de 4 o más lados se requiere además que sus lados homólogos sean proporcionales, lo que no ocurre entre un cuadrado y un rectángulo general.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Comprender, demostrar y aplicar la semejanza de triángulos y polígonos, escalas, modelos de perspectiva y razones de perímetros, áreas y volúmenes.
Utilizando los criterios AA, LLL y LAL, resolviendo ecuaciones de proporcionalidad y aplicando las razones de escala $k$, $k^2$ y $k^3$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La razón de semejanza es:
Es la definición de razón de semejanza.
Respuesta: A) El cociente constante entre lados correspondientes de dos figuras semejantes
-
Si un lado mide 4 y su correspondiente mide 10, la razón de semejanza es 2,5.
10/4=2,5.
Respuesta: Verdadero
-
Si la razón de semejanza es 0,5, ¿qué representa la segunda figura respecto a la primera?
Una razón menor que 1 indica reducción.
Respuesta: A) Una reducción a la mitad
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Una razón de semejanza igual a 1 implica que las figuras son congruentes.
Con razón 1, los lados correspondientes son exactamente iguales.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un lado mide 6 cm y su correspondiente en la figura semejante mide 18 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza?
18/6=3.
Respuesta: A) 3
-
Con razón de semejanza 4, un lado de 3 cm en la figura original corresponde a un lado de 12 cm en la ampliada.
3×4=12.
Respuesta: Verdadero
-
La razón de semejanza entre dos triángulos es 2/3. Si un lado del primero mide 9 cm, ¿cuánto mide su correspondiente en el segundo?
9×(2/3)=6.
Respuesta: A) 6 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular la razón de semejanza?
Es un error común confundir cuál figura va en el numerador.
Respuesta: A) Invertir el orden del cociente sin darse cuenta
-
Si la razón de semejanza de A a B es k, entonces la razón de semejanza de B a A es 1/k.
Son cocientes recíprocos entre sí.
Respuesta: Verdadero
-
Dos triángulos semejantes tienen razón de semejanza 5/2. Si el perímetro del menor es 28 cm, ¿cuál es el perímetro del mayor?
El perímetro escala igual que los lados: 28×(5/2)=70.
Respuesta: A) 70 cm