Cálculo de lados homólogos usando semejanza de triángulos
Resolver problemas numéricos calculando lados desconocidos en triángulos semejantes a partir de la razón de semejanza.
Introducción
Con la semejanza de triángulos ya establecida (por cualquiera de sus criterios), el siguiente paso práctico es calcular longitudes desconocidas de lados homólogos.
Explicación
Definición formal
Si $\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$ con razón de semejanza $k=\frac{A'B'}{AB}$, entonces cualquier lado desconocido $X'$ correspondiente a $X$ se calcula como $X'=k\times X$.
Desarrollo didáctico
Dado un triángulo con lados 6, 8, 10 semejante a otro con un lado conocido de 15 (correspondiente al lado 10), la razón es $k=\frac{15}{10}=1,5$, y los otros dos lados desconocidos son $6\times1,5=9$ y $8\times1,5=12$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula la razón de semejanza usando un par de lados homólogos conocidos.
- Paso 2: Identifica el lado desconocido y su correspondiente en el otro triángulo.
- Paso 3: Multiplica (o divide, según corresponda) el lado conocido por la razón de semejanza para obtener el desconocido.
Ejemplos
1 Un triángulo tiene lados 6, 8, 10; su semejante tiene un lado de 15 correspondiente al 10.
- k=15/10=1,5; los otros lados son 6×1,5=9 y 8×1,5=12.
2 Un triángulo tiene lados 12, 16, 20; su semejante (más pequeño) tiene razón 0,25.
- Los lados del triángulo menor son 12×0,25=3, 16×0,25=4, 20×0,25=5.
3 ¿Es necesario calcular la razón antes de encontrar los lados desconocidos?
- Sí, la razón de semejanza es el paso intermedio necesario para el cálculo.
4 ¿El método cambia si la razón es mayor o menor que 1?
- No, el procedimiento (multiplicar por la razón) es el mismo en ambos casos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Calcular mal la razón de semejanza inicial, arrastrando el error a todos los lados calculados."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Multiplicar por la razón incorrecta (invertida) al calcular un lado desconocido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir qué lado del triángulo pequeño corresponde a cuál lado del triángulo grande."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para calcular un lado homólogo desconocido, se plantea la proporción entre lados correspondientes y se despeja la incógnita.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para calcular un lado homólogo desconocido se usa:
Es el factor que relaciona lados homólogos entre figuras semejantes.
Respuesta: A) La razón de semejanza
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Con lados 6,8,10 y razón 1,5, los otros lados son 9 y 12.
6×1,5=9 y 8×1,5=12.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué paso es necesario antes de calcular un lado homólogo desconocido?
Es el paso intermedio esencial.
Respuesta: A) Calcular primero la razón de semejanza
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El método para calcular lados homólogos cambia si la razón es menor que 1.
El procedimiento es el mismo, sin importar el valor de la razón.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un triángulo tiene lados 4,5,6. Su semejante tiene razón 3. ¿Cuáles son sus lados?
Cada lado se multiplica por 3.
Respuesta: A) 12,15,18
-
Con lados 10,12,14 y un lado homólogo de 5 (correspondiente al 10), los otros lados son 6 y 7.
k=5/10=0,5; 12×0,5=6 y 14×0,5=7.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo tiene lados 7,9,11. Su semejante tiene un lado de 33 correspondiente al 11. ¿Cuál es el lado correspondiente al 7?
k=33/11=3; 7×3=21.
Respuesta: A) 21
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si se conocen dos lados homólogos distintos entre las mismas dos figuras, ambos deben dar la misma razón de semejanza.
En figuras verdaderamente semejantes, la razón es constante para todos los pares homólogos.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo tiene lados 5,12,13 (rectángulo). Su semejante tiene hipotenusa 39. ¿Cuáles son sus catetos?
k=39/13=3; 5×3=15 y 12×3=36.
Respuesta: A) 15 y 36
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular lados homólogos?
Es un error común confundir la dirección de la razón de semejanza.
Respuesta: A) Multiplicar por la razón invertida