Cálculo de lados homólogos usando semejanza de triángulos

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

El cálculo de lados homólogos mediante semejanza de triángulos consiste en plantear la igualdad de razones $\frac{x}{a} = \frac{b'}{b}$ entre los lados correspondientes y despejar la longitud desconocida $x$.

Explicación en palabras simples

Cálculo de Lados Homólogos Desconocidos

Encuentras la pareja de lados que conoces para sacar la escala $k$, y luego multiplicas el lado que te falta por esa misma escala.

Explicación formal

Algoritmo formal de resolución

Dado $\Delta ABC \sim \Delta DEF$ con incógnita $x = \|\overline{DE}\|$ y datos conocidos $a = \|\overline{AB}\|$, $b = \|\overline{BC}\|$, $b' = \|\overline{EF}\|$:

  1. Establecer la igualdad de razones homólogas:
    $$\frac{\|\overline{DE}\|}{\|\overline{AB}\|} = \frac{\|\overline{EF}\|}{\|\overline{BC}\|} \iff \frac{x}{a} = \frac{b'}{b}$$

  2. Despejar algebraicamente la variable lineal:
    $$x = a \cdot \left(\frac{b'}{b}\right) = a \cdot k$$

Desglose simbólico y geométrico

  • Verificación dimensional: $[x] = [a] \cdot \frac{[b']}{[b]} = [a]$ (Consistencia de unidades de longitud).

Síntesis didáctica

Este procedimiento permite calcular distancias en mapas, planos de ingeniería y triangulaciones topográficas.

Comprueba tu avance Si ΔABC ~ ΔDEF con AB = 4, BC = 5 y EF = 15, ¿cuánto mide DE?

Definiciones clave

  • Semejanza geométrica: Relación entre figuras que poseen la misma forma con ángulos congruentes y lados proporcionales.
  • Razón de semejanza (k): Factor numérico constante resultante del cociente entre longitudes homólogas ($k = L^\prime/L$).
  • Criterios de semejanza: Condiciones mínimas suficientes para garantizar la semejanza de triángulos (AA, LLL, LAL).
  • Relación dimensional: Comportamiento de magnitudes geométricas bajo escala: $1D \to k$, $2D \to k^2$, $3D \to k^3$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Invarianza angular: $\angle_i \cong \angle_i^\prime \quad \forall i$.
  • Proporción de perímetros: $\frac{P^\prime}{P} = k$.
  • Proporción de áreas: $\frac{A^\prime}{A} = k^2$.
  • Proporción de volúmenes: $\frac{V^\prime}{V} = k^3$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Cálculo de Lados Homólogos Desconocidos

Aplica las propiedades y criterios de semejanza para determinar las medidas desconocidas y justificar la relación geométrica.

  • Paso 1: Identificar las figuras dadas y verificar el cumplimiento de los criterios de semejanza (AA, LLL o LAL).
  • Paso 2: Establecer la correspondencia de vértices, ángulos homólogos y lados correspondientes.
  • Paso 3: Calcular la razón de semejanza lineal $k = L^\prime / L$ a partir de los datos numéricos conocidos.
  • Paso 4: Aplicar el factor de escala adecuado según la dimensión de la magnitud: lineal ($k$), superficial ($k^2$) o volumétrica ($k^3$).
  • Paso 5: Expresar el resultado final con su respectiva unidad de medida.
Comprueba tu avance Si la razón de reducción es k = 0,5 y el lado original mide 18 cm, ¿cuánto mide el lado reducido?

Procedimiento

  • Paso 1: Verificar el criterio de semejanza aplicable (AA, LLL o LAL).
  • Paso 2: Emparejar los elementos homólogos respetando la correspondencia angular.
  • Paso 3: Formular la igualdad de razones $\frac{L_1^\prime}{L_1} = \frac{L_2^\prime}{L_2} = k$.
  • Paso 4: Multiplicar por $k$ (longitudes), $k^2$ (áreas) o $k^3$ (volúmenes).
  • Paso 5: Comprobar la coherencia del resultado con la escala de ampliación o reducción.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que para figuras de 4 o más lados no basta con tener los mismos ángulos: se deben verificar obligatoriamente tanto ángulos iguales como lados proporcionales.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor correspondiente calculado mediante las propiedades de semejanza?
2 Si una figura se amplía al triple (k = 3), ¿por cuánto se multiplica su área?
3 ¿Dos triángulos con dos ángulos respectivamente iguales son siempre semejantes?
4 ¿Un cuadrado y un rectángulo son siempre semejantes por tener ángulos de 90°?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Dos triángulos con dos ángulos congruentes son semejantes (Criterio AA)."
"Afirmar que dos polígonos de 4 o más lados son semejantes solo porque tienen los mismos ángulos."
"Multiplicar el volumen por k en lugar de k³ al ampliar un sólido."
"La razón entre los volúmenes de cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de lados (k³)."
"La razón entre las áreas de figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de lados (k²)."
"Invertir el orden de los lados al plantear la razón de semejanza."
"Modificar la medida de los ángulos al aplicar un factor de escala k."
"Multiplicar el área por k en lugar de k² al cambiar de escala."

Al terminar debes poder

Resumen de Semejanza

🎯 QUÉ Objetivo

Comprender, demostrar y aplicar la semejanza de triángulos y polígonos, escalas, modelos de perspectiva y razones de perímetros, áreas y volúmenes.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Utilizando los criterios AA, LLL y LAL, resolviendo ecuaciones de proporcionalidad y aplicando las razones de escala $k$, $k^2$ y $k^3$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Geometría 2° Medio / Semejanza y Homotecia.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Para calcular un lado homólogo desconocido se usa:

  2. Con lados 6,8,10 y razón 1,5, los otros lados son 9 y 12.

  3. ¿Qué paso es necesario antes de calcular un lado homólogo desconocido?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. El método para calcular lados homólogos cambia si la razón es menor que 1.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Un triángulo tiene lados 4,5,6. Su semejante tiene razón 3. ¿Cuáles son sus lados?

  2. Con lados 10,12,14 y un lado homólogo de 5 (correspondiente al 10), los otros lados son 6 y 7.

  3. Un triángulo tiene lados 7,9,11. Su semejante tiene un lado de 33 correspondiente al 11. ¿Cuál es el lado correspondiente al 7?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Si se conocen dos lados homólogos distintos entre las mismas dos figuras, ambos deben dar la misma razón de semejanza.

  2. Un triángulo tiene lados 5,12,13 (rectángulo). Su semejante tiene hipotenusa 39. ¿Cuáles son sus catetos?

  3. ¿Cuál es el error frecuente al calcular lados homólogos?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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