Cálculo de la razón de semejanza entre lados homólogos
Resumen inicial
El cálculo de la razón de semejanza consiste en identificar un par de lados homólogos con medidas conocidas en ambas figuras y calcular su cociente simplificado $k = \frac{L_2}{L_1}$.
Explicación en palabras simples
Tomas un lado de la segunda figura y lo divides por el mismo lado de la primera figura.
Explicación formal
Algoritmo formal de cálculo
Dadas dos figuras semejantes $P_1$ y $P_2$:
- Seleccionar un par de vértices homólogos: $A, B \in P_1$ y $A', B' \in P_2$.
- Evaluar el cociente lineal:
$$k = \frac{\|\overline{A'B'}\|}{\|\overline{AB}\|}$$ - Reducción algebraica: Si $k = \frac{p}{q}$ con $p, q \in \mathbb{N}$, simplificar a $\gcd(p, q) = 1$.
Desglose simbólico y geométrico
- Validación cruzada: Verificar con un segundo par homólogo $C, D$: $k' = \frac{\|\overline{C'D'}\|}{\|\overline{CD}\|}$. Si $k = k'$, la razón queda formalmente confirmada.
Síntesis didáctica
Siempre verificar la correspondencia angular de los extremos antes de dividir longitudes.
La razón es $k = 3$, ya que $\frac{15}{5} = 3$.
Definiciones clave
- Semejanza geométrica: Relación entre figuras que poseen la misma forma con ángulos congruentes y lados proporcionales.
- Razón de semejanza (k): Factor numérico constante resultante del cociente entre longitudes homólogas ($k = L^\prime/L$).
- Criterios de semejanza: Condiciones mínimas suficientes para garantizar la semejanza de triángulos (AA, LLL, LAL).
- Relación dimensional: Comportamiento de magnitudes geométricas bajo escala: $1D \to k$, $2D \to k^2$, $3D \to k^3$.
Propiedades y relaciones importantes
- Invarianza angular: $\angle_i \cong \angle_i^\prime \quad \forall i$.
- Proporción de perímetros: $\frac{P^\prime}{P} = k$.
- Proporción de áreas: $\frac{A^\prime}{A} = k^2$.
- Proporción de volúmenes: $\frac{V^\prime}{V} = k^3$.
Ejemplo guiado
Aplica las propiedades y criterios de semejanza para determinar las medidas desconocidas y justificar la relación geométrica.
- Paso 1: Identificar las figuras dadas y verificar el cumplimiento de los criterios de semejanza (AA, LLL o LAL).
- Paso 2: Establecer la correspondencia de vértices, ángulos homólogos y lados correspondientes.
- Paso 3: Calcular la razón de semejanza lineal $k = L^\prime / L$ a partir de los datos numéricos conocidos.
- Paso 4: Aplicar el factor de escala adecuado según la dimensión de la magnitud: lineal ($k$), superficial ($k^2$) o volumétrica ($k^3$).
- Paso 5: Expresar el resultado final con su respectiva unidad de medida.
La razón es $k = \frac{4}{800} = \frac{1}{200}$ (convirtiendo 8 m a 800 cm).
Procedimiento
- Paso 1: Verificar el criterio de semejanza aplicable (AA, LLL o LAL).
- Paso 2: Emparejar los elementos homólogos respetando la correspondencia angular.
- Paso 3: Formular la igualdad de razones $\frac{L_1^\prime}{L_1} = \frac{L_2^\prime}{L_2} = k$.
- Paso 4: Multiplicar por $k$ (longitudes), $k^2$ (áreas) o $k^3$ (volúmenes).
- Paso 5: Comprobar la coherencia del resultado con la escala de ampliación o reducción.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
Recuerda que para figuras de 4 o más lados no basta con tener los mismos ángulos: se deben verificar obligatoriamente tanto ángulos iguales como lados proporcionales.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- La razón es $k = \frac{4}{800} = \frac{1}{200}$ (convirtiendo 8 m a 800 cm).
- El área es una magnitud bidimensional que escala con el cuadrado de la razón de semejanza: $k^2 = 3^2 = 9$.
- Sí, por el Criterio AA (Ángulo-Ángulo), dos ángulos congruentes garantizan automáticamente la semejanza total de los triángulos.
- No, porque para polígonos de 4 o más lados se requiere además que sus lados homólogos sean proporcionales, lo que no ocurre entre un cuadrado y un rectángulo general.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Comprender, demostrar y aplicar la semejanza de triángulos y polígonos, escalas, modelos de perspectiva y razones de perímetros, áreas y volúmenes.
Utilizando los criterios AA, LLL y LAL, resolviendo ecuaciones de proporcionalidad y aplicando las razones de escala $k$, $k^2$ y $k^3$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para calcular la razón de semejanza se necesita:
Basta con un par de lados correspondientes conocidos.
Respuesta: A) Al menos un par de lados homólogos
-
Con lados homólogos 5 y 20, la razón de semejanza es 4.
20/5=4.
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo de lados 6,8,10 es semejante a otro de lados 9,12,15. ¿Cuál es la razón de semejanza?
9/6=12/8=15/10=1,5.
Respuesta: A) 1,5
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El resultado de la razón de semejanza cambia según qué par de lados homólogos se elija.
El resultado es constante, sin importar el par elegido.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Dos polígonos semejantes tienen lados homólogos de 8 cm y 24 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza?
24/8=3.
Respuesta: A) 3
-
Con lados homólogos 12 y 4, la razón de semejanza (de la figura mayor a la menor) es 3.
12/4=3.
Respuesta: Verdadero
-
Un rectángulo de 4×6 es semejante a otro rectángulo. Si el lado corto del segundo mide 10, ¿cuál es la razón de semejanza?
10/4=2,5.
Respuesta: A) 2,5
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular la razón de semejanza?
Es un error frecuente que produce resultados inconsistentes.
Respuesta: A) Usar lados que no son realmente homólogos entre las figuras
-
Si se calculan dos razones distintas usando dos pares de lados diferentes y no coinciden, las figuras no son realmente semejantes (o hubo un error de correspondencia).
En figuras verdaderamente semejantes, la razón debe ser constante para todos los pares homólogos.
Respuesta: Verdadero
-
Un polígono con lados 5,7,9,11 es semejante a otro con razón de semejanza 3/5 (más pequeño). ¿Cuánto mide el lado homólogo a 11?
11×(3/5)=6,6.
Respuesta: A) 6,6