Relación entre longitudes homólogas en una homotecia
Calcular la longitud de un segmento homólogo en una homotecia a partir de la longitud original y el valor absoluto de la razón.
Introducción
Consecuencia directa del paralelismo de segmentos homólogos es la relación exacta entre sus longitudes, determinada por la razón de homotecia.
Explicación
Definición formal
Si $AB$ es un segmento y $A'B'$ su homólogo bajo una homotecia de razón $k$, entonces $\overline{A'B'}=|k|\times\overline{AB}$.
Desarrollo didáctico
Un segmento de 6 cm bajo una homotecia de razón $k=-2,5$ tiene su imagen con longitud $|-2,5|\times6=15$ cm; el signo negativo de $k$ afecta la posición (inversión), pero no la longitud, que siempre es un valor positivo.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la longitud del segmento original.
- Paso 2: Calcula el valor absoluto de la razón de homotecia k.
- Paso 3: Multiplica la longitud original por |k| para obtener la longitud del segmento imagen.
Ejemplos
1 Un segmento de 6 cm se transforma bajo una homotecia de razón k=2,5.
- Longitud imagen = 2,5×6=15 cm.
2 Un segmento de 6 cm se transforma bajo una homotecia de razón k=-2,5.
- Longitud imagen = |-2,5|×6=15 cm (la misma que con k positivo, ya que la longitud siempre es positiva).
3 ¿El signo de k afecta la longitud del segmento imagen?
- No, el signo solo afecta la posición relativa (dirección), no la longitud, que se calcula con el valor absoluto.
4 ¿Se puede calcular la razón de homotecia a partir de dos longitudes conocidas?
- Sí, dividiendo la longitud imagen entre la longitud original se obtiene |k| (y el signo se determina por la posición).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Usar el valor de k con su signo directamente en el cálculo de longitud, obteniendo un resultado negativo (las longitudes siempre son positivas)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la razón de longitudes con la razón de áreas (que es el cuadrado de |k|)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Comparar segmentos que no son realmente homólogos entre la figura original y la imagen."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En una homotecia de razón $k$, la longitud de cualquier segmento imagen es igual al valor absoluto de $k$ multiplicado por la longitud del segmento original.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La longitud de un segmento imagen bajo homotecia se calcula como:
Se usa el valor absoluto de k, ya que las longitudes son siempre positivas.
Respuesta: A) |k| por la longitud original
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Con un segmento de 6 cm y k=-2,5, la longitud imagen es 15 cm.
|-2,5|×6=15.
Respuesta: Verdadero
-
¿El signo de k afecta la longitud del segmento imagen?
La longitud siempre se calcula con el valor absoluto de k.
Respuesta: A) No, solo afecta la posición relativa
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Con k negativo, la longitud del segmento imagen puede ser negativa.
Las longitudes siempre son valores positivos, se usa |k|.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Un segmento de 8 cm se transforma con k=3. ¿Cuál es la longitud imagen?
8×3=24.
Respuesta: A) 24 cm
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Un segmento de 10 cm con k=-0,4 tiene longitud imagen de 4 cm.
10×|-0,4|=4.
Respuesta: Verdadero
-
Un segmento imagen mide 21 cm. Si k=-3, ¿cuánto medía el segmento original?
21/|-3|=21/3=7.
Respuesta: A) 7 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al calcular longitudes homólogas?
Es un error común no usar el valor absoluto en este cálculo.
Respuesta: A) Usar k con su signo, obteniendo un resultado negativo
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El perímetro de una figura homotética se calcula multiplicando el perímetro original por |k|, igual que cualquier segmento individual.
El perímetro es una suma de longitudes, todas escaladas por |k|.
Respuesta: Verdadero
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Un triángulo tiene perímetro 20 cm. Su imagen homotética tiene perímetro 50 cm. ¿Cuál es el valor absoluto de k?
|k|=50/20=2,5.
Respuesta: A) 2,5