Relación entre longitudes homólogas en una homotecia

Resumen inicial

Homotecia y transformaciones de escala: Relación entre Longitudes Homólogas (L' = |k| · L).

Explicación en palabras simples

Relación entre Longitudes Homólogas (L' = |k| · L)

La relación entre longitudes homólogas en una homotecia establece que la longitud de cualquier segmento en la figura transformada es igual a la longitud de su segmento homólogo multiplicada por el valor absoluto de la razón: $L' = |k| \cdot L$.

Explicación formal

Teorema del escalamiento isótropo

Sea $H_{(O, k)}$ una homotecia en $\mathbb{R}^2$. Para cualesquiera puntos $P, Q$:

$$d(H(P), H(Q)) = |k| \cdot d(P, Q)$$

Aplicación a elementos lineales secundarios

Alturas homólogas: $h' = |k| \cdot h$.
Radios inscritos y circunscritos: $r' = |k| \cdot r, \quad R' = |k| \cdot R$.
Perímetro total: $P' = \sum_{i=1}^n l'_i = \sum_{i=1}^n |k| l_i = |k| \cdot P$.

Síntesis didáctica

Todas las magnitudes unidimensionales (1D) se multiplican exactamente por $|k|$.

Definiciones clave

Homotecia $H(O, k)$: Transformación afín que dilata o contrae figuras desde un centro fijo $O$ mediante un factor de escala $k$.
Centro de homotecia (O): Punto fijo invariante donde concurren todas las rectas que unen puntos homólogos.
Razón de homotecia (k): Escalar real no nulo que determina el factor de escala lineal y la orientación relativa.
Efectos dimensionales: Escalamiento métrico: magnitudes lineales escalan con $|k|$, áreas con $k^2$.

Propiedades y relaciones importantes

Ecuación vectorial: $\vec{OP^\prime} = k \cdot \vec{OP}$.
Paralelismo homólogo: $\overline{AB} \parallel \overline{A^\prime B^\prime} \quad \forall A \neq B$.
Razón de áreas: $\frac{\text{Área}^\prime}{\text{Área}} = k^2$.
Simetría central: $H(O, -1) \equiv S_O \equiv R(O, 180^\circ)$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Relación entre Longitudes Homólogas (L' = |k| · L)

Aplica las propiedades y definiciones de homotecia para determinar las coordenadas, longitudes y justificaciones geométricas requeridas.

Paso 1: Identificar el centro $O$ y la razón $k$ de la homotecia.
Paso 2: Determinar si la transformación es directa ($k > 0$) o inversa ($k < 0$).
Paso 3: Aplicar la fórmula correspondiente: vectorial, por coordenadas o de escalamiento métrico.
Paso 4: Calcular la magnitud lineal multiplicando por $|k|$ o el área multiplicando por $k^2$.
Paso 5: Verificar el paralelismo y la coherencia espacial de la figura homotética resultante.

Procedimiento

Paso 1: Identificar el centro de homotecia $O$ y el valor numérico de la razón $k$.
Paso 2: Trazar los rayos desde $O$ a través de cada vértice de la figura original.
Paso 3: Multiplicar las distancias desde $O$ por $|k|$ (en el mismo sentido si $k > 0$, en sentido opuesto si $k < 0$).
Paso 4: Unir los vértices homotéticos resultantes verificando el paralelismo con los lados originales.
Paso 5: Calcular perímetros ($|k| \cdot P$) o áreas ($k^2 \cdot A$) según lo solicitado.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que si $k < 0$, las longitudes y perímetros son siempre positivos y se multiplican por $|k|$, mientras que la figura queda invertida 180° al otro lado del centro $O$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"{'error': 'Multiplicar el área por k en lugar de k².', 'correccion': 'El área es una magnitud superficial bidimensional y siempre escala con el cuadrado de la razón: $\\text{Área}^\\prime = k^2 \\cdot \\text{Área}$.'}"

"{'error': 'Olvidar que las longitudes y perímetros deben multiplicarse por el valor absoluto |k|, asignando valores negativos a las distancias.', 'correccion': 'Toda longitud y perímetro es una magnitud estrictamente positiva: $L^\\prime = |k| \\cdot L$. El signo negativo de $k$ solo indica inversión espacial.'}"

"{'error': 'Olvidar restar el centro de homotecia antes de multiplicar por k cuando el centro no es el origen.', 'correccion': 'Usa siempre la fórmula afín correcta: $P^\\prime = C + k(P - C)$, es decir, $x^\\prime = x_0 + k(x - x_0)$ e $y^\\prime = y_0 + k(y - y_0)$.'}"

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

La longitud de un segmento imagen bajo homotecia se calcula como:
Se usa el valor absoluto de k, ya que las longitudes son siempre positivas.

Respuesta: A) |k| por la longitud original
Con un segmento de 6 cm y k=-2,5, la longitud imagen es 15 cm.
¿El signo de k afecta la longitud del segmento imagen?
La longitud siempre se calcula con el valor absoluto de k.

Respuesta: A) No, solo afecta la posición relativa

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Con k negativo, la longitud del segmento imagen puede ser negativa.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Un segmento de 8 cm se transforma con k=3. ¿Cuál es la longitud imagen?
8×3=24.

Respuesta: A) 24 cm
Un segmento de 10 cm con k=-0,4 tiene longitud imagen de 4 cm.
Un segmento imagen mide 21 cm. Si k=-3, ¿cuánto medía el segmento original?
21/|-3|=21/3=7.

Respuesta: A) 7 cm

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al calcular longitudes homólogas?
Es un error común no usar el valor absoluto en este cálculo.

Respuesta: A) Usar k con su signo, obteniendo un resultado negativo
El perímetro de una figura homotética se calcula multiplicando el perímetro original por |k|, igual que cualquier segmento individual.
Un triángulo tiene perímetro 20 cm. Su imagen homotética tiene perímetro 50 cm. ¿Cuál es el valor absoluto de k?
|k|=50/20=2,5.

Respuesta: A) 2,5

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación