Relación entre homotecia de razón -1 y simetría central
Reconocer que una homotecia de razón k=-1 es exactamente equivalente a una simetría central respecto al centro de homotecia.
Introducción
Existe un caso particular muy especial dentro de las homotecias inversas, en el que la transformación coincide exactamente con otra transformación geométrica bien conocida: la simetría central.
Explicación
Definición formal
Con $k=-1$, la fórmula $P'=O+k(P-O)$ se convierte en $P'=O-(P-O)=2O-P$, que es exactamente la fórmula de la simetría central de centro $O$: el centro $O$ es el punto medio del segmento $PP'$.
Desarrollo didáctico
A diferencia de otras homotecias, con $k=-1$ el tamaño de la figura no cambia (ya que $|-1|=1$), solo su posición: la figura imagen es congruente con la original, pero rotada 180° respecto al centro O.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que la razón de homotecia sea exactamente k=-1.
- Paso 2: Reconoce que, en ese caso, la transformación es una simetría central respecto al centro O.
- Paso 3: Calcula la imagen de cada punto usando P'=2O-P (equivalente a la fórmula de homotecia con k=-1).
Ejemplos
1 Una homotecia tiene centro O=(3,2) y razón k=-1. El punto P=(7,5) se transforma.
- P'=2(3,2)-(7,5)=(6,4)-(7,5)=(-1,-1), que es exactamente el punto simétrico de P respecto a O.
2 Un triángulo se transforma mediante homotecia con k=-1.
- El triángulo imagen es congruente (mismo tamaño) con el original, solo cambia su posición.
3 ¿La homotecia con k=-1 cambia el tamaño de la figura?
- No, porque |-1|=1, la figura imagen es congruente con la original.
4 ¿El centro O es el punto medio entre cada punto y su imagen en este caso?
- Sí, es la propiedad que define a la simetría central.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la simetría central (k=-1) con una simetría axial (reflexión respecto a una recta), que es una transformación distinta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que k=-1 produce algún cambio de tamaño en la figura."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la fórmula general de homotecia sin simplificarla a P'=2O-P en este caso particular."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una homotecia de razón $k=-1$ es equivalente a una simetría central respecto al centro de homotecia: cada punto y su imagen son simétricos respecto a ese centro.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Una homotecia con razón k=-1 es equivalente a:
Es la equivalencia establecida en este tema.
Respuesta: A) Una simetría central respecto al centro O
-
Con k=-1, la figura imagen es congruente con la original.
|-1|=1, no hay cambio de tamaño.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es la fórmula simplificada de la simetría central de centro O?
Se obtiene sustituyendo k=-1 en la fórmula general de homotecia.
Respuesta: A) P'=2O-P
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La simetría central es lo mismo que una simetría axial (reflexión respecto a una recta).
Son transformaciones geométricas distintas.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Con O=(3,2) y P=(7,5), ¿cuál es P' bajo homotecia con k=-1?
P'=2(3,2)-(7,5)=(6,4)-(7,5)=(-1,-1).
Respuesta: A) (-1,-1)
-
En una simetría central, el centro O es el punto medio entre cada punto y su imagen.
Es la propiedad geométrica que define a la simetría central.
Respuesta: Verdadero
-
Con O=(0,0) y P=(4,-3), ¿cuál es P' bajo simetría central (k=-1)?
P'=2(0,0)-(4,-3)=(-4,3).
Respuesta: A) (-4,3)
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente respecto a este caso especial?
Es un error conceptual común entre ambas transformaciones.
Respuesta: A) Confundir la simetría central con una simetría axial
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Aplicar dos veces seguidas una simetría central respecto al mismo centro devuelve la figura a su posición original.
Aplicar k=-1 dos veces equivale a k=1 (ya que (-1)×(-1)=1), la identidad.
Respuesta: Verdadero
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Un segmento tiene extremos P=(2,6) y su imagen P'=(8,-2) bajo una simetría central. ¿Cuál es el centro O?
O es el punto medio de PP': ((2+8)/2, (6-2)/2)=(5,2).
Respuesta: A) (5,2)