Relación entre homotecia de razón -1 y simetría central

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

Homotecia y transformaciones de escala: Homotecia con k = -1 y Simetría Central.

Explicación en palabras simples

Homotecia con k = -1 y Simetría Central

Una homotecia de razón $k = -1$ es exactamente equivalente a una simetría central respecto al punto $O$ (y a una rotación de $180^\circ$), conservando todas las dimensiones originales (isometría) pero invirtiendo la orientación de la figura.

Explicación formal

Teorema de equivalencia isométrica

La transformación $H_{(O, -1)}$ es una isometría reflexiva central:

$$H_{(O, -1)} = S_O = R_{(O, 180^\circ)}$$

Propiedades algebraicas y topológicas

  1. Isometría: $d(P', Q') = |-1| \cdot d(P, Q) = d(P, Q)$. Las figuras son congruentes ($F \cong F'$).
  2. Centro como punto medio: $O = \frac{P + P'}{2} \quad \forall P$.
  3. Involución algebraica: $H_{(O, -1)} \circ H_{(O, -1)} = \mathrm{Id}_{\mathbb{R}^2}$.

Síntesis didáctica

$k = -1$ es el puente de unión perfecto entre las homotecias y las transformaciones isométricas.

Comprueba tu avance ¿Qué transformación isométrica es exactamente equivalente a una homotecia con razón $k = -1$?

Definiciones clave

  • Homotecia $H(O, k)$: Transformación afín que dilata o contrae figuras desde un centro fijo $O$ mediante un factor de escala $k$.
  • Centro de homotecia (O): Punto fijo invariante donde concurren todas las rectas que unen puntos homólogos.
  • Razón de homotecia (k): Escalar real no nulo que determina el factor de escala lineal y la orientación relativa.
  • Efectos dimensionales: Escalamiento métrico: magnitudes lineales escalan con $|k|$, áreas con $k^2$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Ecuación vectorial: $\vec{OP^\prime} = k \cdot \vec{OP}$.
  • Paralelismo homólogo: $\overline{AB} \parallel \overline{A^\prime B^\prime} \quad \forall A \neq B$.
  • Razón de áreas: $\frac{\text{Área}^\prime}{\text{Área}} = k^2$.
  • Simetría central: $H(O, -1) \equiv S_O \equiv R(O, 180^\circ)$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Homotecia con k = -1 y Simetría Central

Aplica las propiedades y definiciones de homotecia para determinar las coordenadas, longitudes y justificaciones geométricas requeridas.

  • Paso 1: Identificar el centro $O$ y la razón $k$ de la homotecia.
  • Paso 2: Determinar si la transformación es directa ($k > 0$) o inversa ($k < 0$).
  • Paso 3: Aplicar la fórmula correspondiente: vectorial, por coordenadas o de escalamiento métrico.
  • Paso 4: Calcular la magnitud lineal multiplicando por $|k|$ o el área multiplicando por $k^2$.
  • Paso 5: Verificar el paralelismo y la coherencia espacial de la figura homotética resultante.
Comprueba tu avance Si $P(4, 2)$ se transforma bajo $H(O(0,0), -1)$, ¿cuál es su imagen?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el centro de homotecia $O$ y el valor numérico de la razón $k$.
  • Paso 2: Trazar los rayos desde $O$ a través de cada vértice de la figura original.
  • Paso 3: Multiplicar las distancias desde $O$ por $|k|$ (en el mismo sentido si $k > 0$, en sentido opuesto si $k < 0$).
  • Paso 4: Unir los vértices homotéticos resultantes verificando el paralelismo con los lados originales.
  • Paso 5: Calcular perímetros ($|k| \cdot P$) o áreas ($k^2 \cdot A$) según lo solicitado.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que si $k < 0$, las longitudes y perímetros son siempre positivos y se multiplican por $|k|$, mientras que la figura queda invertida 180° al otro lado del centro $O$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor o resultado geométrico obtenido al aplicar la homotecia?
2 Si una figura se transforma mediante una homotecia con razón k = -2, ¿por cuánto se multiplica su área?
3 ¿Una homotecia con k = -1 cambia el tamaño de una figura?
4 ¿Los lados homólogos de dos figuras homotéticas son siempre paralelos?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"{'error': 'Olvidar que las longitudes y perímetros deben multiplicarse por el valor absoluto |k|, asignando valores negativos a las distancias.', 'correccion': 'Toda longitud y perímetro es una magnitud estrictamente positiva: $L^\\prime = |k| \\cdot L$. El signo negativo de $k$ solo indica inversión espacial.'}"
"{'error': 'Multiplicar el área por k en lugar de k².', 'correccion': 'El área es una magnitud superficial bidimensional y siempre escala con el cuadrado de la razón: $\\text{Área}^\\prime = k^2 \\cdot \\text{Área}$.'}"
"{'error': 'Olvidar restar el centro de homotecia antes de multiplicar por k cuando el centro no es el origen.', 'correccion': 'Usa siempre la fórmula afín correcta: $P^\\prime = C + k(P - C)$, es decir, $x^\\prime = x_0 + k(x - x_0)$ e $y^\\prime = y_0 + k(y - y_0)$.'}"

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Una homotecia con razón k=-1 es equivalente a:

  2. Con k=-1, la figura imagen es congruente con la original.

  3. ¿Cuál es la fórmula simplificada de la simetría central de centro O?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. La simetría central es lo mismo que una simetría axial (reflexión respecto a una recta).

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Con O=(3,2) y P=(7,5), ¿cuál es P' bajo homotecia con k=-1?

  2. En una simetría central, el centro O es el punto medio entre cada punto y su imagen.

  3. Con O=(0,0) y P=(4,-3), ¿cuál es P' bajo simetría central (k=-1)?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente respecto a este caso especial?

  2. Aplicar dos veces seguidas una simetría central respecto al mismo centro devuelve la figura a su posición original.

  3. Un segmento tiene extremos P=(2,6) y su imagen P'=(8,-2) bajo una simetría central. ¿Cuál es el centro O?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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