Relación entre áreas de figuras homotéticas como cuadrado de la razón de homotecia

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

Homotecia y transformaciones de escala: Relación entre Áreas Homotéticas (Área' = k² · Área).

Explicación en palabras simples

Relación entre Áreas Homotéticas (Área' = k² · Área)

La relación entre las áreas de figuras homotéticas establece que el área de la figura transformada es igual al área de la figura original multiplicada por el cuadrado de la razón de homotecia: $\text{Área}' = k^2 \cdot \text{Área}$.

Explicación formal

Teorema de la medida de Lebesgue bajo homotecia

Sea $F \subset \mathbb{R}^2$ un conjunto medible Jordan/Lebesgue con área $A(F) > 0$. Si $F' = H_{(O, k)}(F)$, entonces:

$$A(F') = k^2 \cdot A(F)$$

Demostración geométrica en triángulos

$$A(F') = \frac{b' \cdot h'}{2} = \frac{(|k|b) \cdot (|k|h)}{2} = |k|^2 \frac{b \cdot h}{2} = k^2 \cdot A(F)$$

Síntesis didáctica

Las áreas siempre cambian con $k^2$, eliminando cualquier signo negativo de la razón.

Comprueba tu avance Si un polígono tiene un área de $10\text{ cm}^2$ y se le aplica una homotecia con $k = -3$, ¿cuál es su nueva área?

Definiciones clave

  • Homotecia $H(O, k)$: Transformación afín que dilata o contrae figuras desde un centro fijo $O$ mediante un factor de escala $k$.
  • Centro de homotecia (O): Punto fijo invariante donde concurren todas las rectas que unen puntos homólogos.
  • Razón de homotecia (k): Escalar real no nulo que determina el factor de escala lineal y la orientación relativa.
  • Efectos dimensionales: Escalamiento métrico: magnitudes lineales escalan con $|k|$, áreas con $k^2$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Ecuación vectorial: $\vec{OP^\prime} = k \cdot \vec{OP}$.
  • Paralelismo homólogo: $\overline{AB} \parallel \overline{A^\prime B^\prime} \quad \forall A \neq B$.
  • Razón de áreas: $\frac{\text{Área}^\prime}{\text{Área}} = k^2$.
  • Simetría central: $H(O, -1) \equiv S_O \equiv R(O, 180^\circ)$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Relación entre Áreas Homotéticas (Área' = k² · Área)

Aplica las propiedades y definiciones de homotecia para determinar las coordenadas, longitudes y justificaciones geométricas requeridas.

  • Paso 1: Identificar el centro $O$ y la razón $k$ de la homotecia.
  • Paso 2: Determinar si la transformación es directa ($k > 0$) o inversa ($k < 0$).
  • Paso 3: Aplicar la fórmula correspondiente: vectorial, por coordenadas o de escalamiento métrico.
  • Paso 4: Calcular la magnitud lineal multiplicando por $|k|$ o el área multiplicando por $k^2$.
  • Paso 5: Verificar el paralelismo y la coherencia espacial de la figura homotética resultante.
Comprueba tu avance Si el área de una figura se cuadruplica ($\text{Área}' = 4\text{ Área}$) mediante una homotecia directa, ¿cuánto vale $k$?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el centro de homotecia $O$ y el valor numérico de la razón $k$.
  • Paso 2: Trazar los rayos desde $O$ a través de cada vértice de la figura original.
  • Paso 3: Multiplicar las distancias desde $O$ por $|k|$ (en el mismo sentido si $k > 0$, en sentido opuesto si $k < 0$).
  • Paso 4: Unir los vértices homotéticos resultantes verificando el paralelismo con los lados originales.
  • Paso 5: Calcular perímetros ($|k| \cdot P$) o áreas ($k^2 \cdot A$) según lo solicitado.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que si $k < 0$, las longitudes y perímetros son siempre positivos y se multiplican por $|k|$, mientras que la figura queda invertida 180° al otro lado del centro $O$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor o resultado geométrico obtenido al aplicar la homotecia?
2 Si una figura se transforma mediante una homotecia con razón k = -2, ¿por cuánto se multiplica su área?
3 ¿Una homotecia con k = -1 cambia el tamaño de una figura?
4 ¿Los lados homólogos de dos figuras homotéticas son siempre paralelos?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"{'error': 'Multiplicar el área por k en lugar de k².', 'correccion': 'El área es una magnitud superficial bidimensional y siempre escala con el cuadrado de la razón: $\\text{Área}^\\prime = k^2 \\cdot \\text{Área}$.'}"
"{'error': 'Olvidar restar el centro de homotecia antes de multiplicar por k cuando el centro no es el origen.', 'correccion': 'Usa siempre la fórmula afín correcta: $P^\\prime = C + k(P - C)$, es decir, $x^\\prime = x_0 + k(x - x_0)$ e $y^\\prime = y_0 + k(y - y_0)$.'}"
"{'error': 'Olvidar que las longitudes y perímetros deben multiplicarse por el valor absoluto |k|, asignando valores negativos a las distancias.', 'correccion': 'Toda longitud y perímetro es una magnitud estrictamente positiva: $L^\\prime = |k| \\cdot L$. El signo negativo de $k$ solo indica inversión espacial.'}"

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. La razón entre las áreas de una figura y su imagen homotética es:

  2. Con área 8 y k=3, el área imagen es 72.

  3. ¿El signo de k afecta el área de la figura imagen?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Con k=-3, el área imagen es distinta a la que se obtendría con k=3.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Un triángulo de área 5 cm² se transforma con k=4. ¿Cuál es el área imagen?

  2. Con k=0,5, el área imagen es 1/4 del área original.

  3. Un cuadrado de área 100 cm² tiene imagen de área 25 cm². ¿Cuál es el valor absoluto de k?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Una homotecia de razón k=1 o k=-1 no cambia el área de la figura.

  2. Una homotecia con razón k=-2 se aplica a un pentágono de área 15 cm². ¿Cuál es el área de la imagen?

  3. ¿Cuál es el error frecuente al calcular áreas homotéticas?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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