Relación entre áreas de figuras homotéticas como cuadrado de la razón de homotecia
Comprender que la razón entre las áreas de una figura y su imagen homotética es igual al cuadrado del valor absoluto de la razón de homotecia.
Introducción
Al igual que ocurre con la semejanza en general, las áreas de figuras relacionadas por una homotecia siguen una regla de escalamiento cuadrática.
Explicación
Definición formal
Si $A_1$ es el área de la figura original y $A_2$ el área de su imagen bajo homotecia de razón $k$, entonces $\frac{A_2}{A_1}=k^2$.
Desarrollo didáctico
Una homotecia con razón $k=-3$ aplicada a un triángulo de área 8 cm² produce una imagen de área $8\times(-3)^2=8\times9=72$ cm²; nótese que se usa $k^2$ (siempre positivo), no $|k|$, aunque para el área el resultado sea equivalente ya que $k^2=|k|^2$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el área de la figura original y la razón de homotecia k.
- Paso 2: Eleva la razón k al cuadrado (el resultado siempre será positivo).
- Paso 3: Multiplica el área original por k² para obtener el área de la figura imagen.
Ejemplos
1 Un triángulo de área 8 cm² se transforma bajo una homotecia de razón k=3.
- Área imagen = 8×3²=8×9=72 cm².
2 Un triángulo de área 8 cm² se transforma bajo una homotecia de razón k=-3.
- Área imagen = 8×(-3)²=8×9=72 cm² (el mismo resultado que con k positivo).
3 ¿El signo de k afecta el área de la figura imagen?
- No, porque k² siempre es positivo, sin importar el signo de k.
4 ¿Esta relación es la misma que para la razón de semejanza general?
- Sí, la homotecia es un caso particular de semejanza, y sigue la misma regla de área proporcional al cuadrado de la razón.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Usar |k| en vez de k² al calcular el área (aunque el resultado numérico final coincida, el razonamiento correcto usa el cuadrado)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la razón de áreas (k²) con la razón de longitudes (|k|)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar elevar al cuadrado, aplicando la razón de forma lineal al área."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La razón entre el área de la figura imagen y el área de la figura original bajo una homotecia de razón $k$ es $k^2$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La razón entre las áreas de una figura y su imagen homotética es:
Es la relación cuadrática entre áreas.
Respuesta: A) k²
-
Con área 8 y k=3, el área imagen es 72.
8×9=72.
Respuesta: Verdadero
-
¿El signo de k afecta el área de la figura imagen?
El cuadrado de cualquier número real es siempre positivo o cero.
Respuesta: A) No, porque k² siempre es positivo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Con k=-3, el área imagen es distinta a la que se obtendría con k=3.
(-3)²=3²=9, dan el mismo resultado de área.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Un triángulo de área 5 cm² se transforma con k=4. ¿Cuál es el área imagen?
5×16=80.
Respuesta: A) 80 cm²
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Con k=0,5, el área imagen es 1/4 del área original.
0,5²=0,25=1/4.
Respuesta: Verdadero
-
Un cuadrado de área 100 cm² tiene imagen de área 25 cm². ¿Cuál es el valor absoluto de k?
k²=25/100=0,25 → |k|=0,5.
Respuesta: A) 0,5
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular áreas homotéticas?
Es un error muy común confundir la razón de longitudes con la de áreas.
Respuesta: A) Usar k en vez de k² (razón lineal en vez de cuadrática)
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Una homotecia de razón k=1 o k=-1 no cambia el área de la figura.
1²=(-1)²=1, por lo tanto el área se mantiene igual.
Respuesta: Verdadero
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Una homotecia con razón k=-2 se aplica a un pentágono de área 15 cm². ¿Cuál es el área de la imagen?
15×(-2)²=15×4=60.
Respuesta: A) 60 cm²