Propiedad de paralelismo entre segmentos homólogos en una homotecia
Resumen inicial
Homotecia y transformaciones de escala: Propiedad de paralelismo entre segmentos homólogos.
Explicación en palabras simples
En toda homotecia, cualquier segmento de la figura original es estrictamente paralelo a su segmento homólogo en la figura transformada ($\overline{AB} \parallel \overline{A'B'}$), conservando idéntica pendiente en el plano cartesiano ($m' = m$).
Explicación formal
Teorema del paralelismo homotético
Sean $A, B \in \mathbb{R}^2$ con $A \neq B$, y sean $A' = H_{(O, k)}(A)$ y $B' = H_{(O, k)}(B)$ sus puntos homólogos bajo una homotecia de centro $O$ y razón $k \neq 0$. Por definición vectorial:
$$\vec{A'B'} = B' - A' = [O + k(B - O)] - [O + k(A - O)] = k(B - A) = k \cdot \vec{AB}$$
Dado que $\vec{A'B'} = k \cdot \vec{AB}$, los vectores $\vec{A'B'}$ y $\vec{AB}$ son colineales y linealmente dependientes. En consecuencia, las rectas que los contienen son paralelas:
$$\vec{A'B'} \parallel \vec{AB} \implies \overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{A'B'}$$
Desglose simbólico y geométrico
- Igualdad de pendientes: En el plano cartesiano, $m_{A'B'} = \frac{y_{B'} - y_{A'}}{x_{B'} - x_{A'}} = \frac{k(y_B - y_A)}{k(x_B - x_A)} = m_{AB}$. La pendiente se mantiene invariante.
- Rectas invariantes (secantes por $O$): Si una recta $L$ pasa por el centro de homotecia $O$ ($O \in L$), todo punto $P \in L$ se transforma en $P' \in L$. La recta se transforma globalmente en sí misma: $H(L) = L$.
- Segmentos coincidentes: Si el segmento $\overline{AB}$ pertenece a una recta que pasa por $O$, el segmento homólogo $\overline{A'B'}$ se ubica sobre la misma recta soporte.
Síntesis didáctica
El paralelismo entre lados homólogos es la propiedad geométrica distintiva de toda homotecia, garantizando que la figura no rote ni se deforme angularmente.
La pendiente es $m^\prime = 3$, pues los segmentos homólogos son estrictamente paralelos.
Definiciones clave
- Segmentos homólogos: Pareja de segmentos correspondientes donde uno es la imagen del otro bajo la transformación homotética ($\overline{AB}$ y $\overline{A'B'}$).
- Paralelismo homotético: Propiedad geométrica que establece que $\overline{AB} \parallel \overline{A'B'}$ para cualquier par de puntos no colineales con el centro $O$.
- Pendiente invariante: En el plano cartesiano, la inclinación de cualquier recta soporte se preserva intacta tras la homotecia ($m' = m$).
- Recta invariante: Toda recta que contiene al centro de homotecia $O$ cumple $H(L) = L$, transformándose en sí misma.
Propiedades y relaciones importantes
- Vectorial: $\vec{A'B'} = k \cdot \vec{AB}$.
- Paralelismo estricto: $\overline{AB} \parallel \overline{A'B'} \quad (\forall A \neq B)$.
- Pendientes: $m_{A'B'} = m_{AB}$.
- Rectas por el centro: $O \in L \implies H(L) = L$.
Ejemplo guiado
Aplica las propiedades de paralelismo e invariancia de pendientes en figuras homotéticas para resolver los siguientes casos analíticos y conceptuales.
- Paso 1: Identificar las pendientes o direcciones de los segmentos de la figura original.
- Paso 2: Aplicar la propiedad de paralelismo: los segmentos homólogos conservan la misma pendiente ($m' = m$).
- Paso 3: Verificar la posición del centro $O$ para determinar si los segmentos pertenecen a una recta invariante.
- Paso 4: Calcular la ecuación o inclinación de las rectas homotéticas transformadas.
Son rectas invariantes que se transforman en sí mismas, ya que todos sus puntos permanecen en la misma línea.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar los extremos del segmento original $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$ en el plano cartesiano.
- Paso 2: Calcular la pendiente original mediante la fórmula $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
- Paso 3: Aplicar el teorema de paralelismo: la recta homóloga tendrá idéntica pendiente $m' = m$.
- Paso 4: Calcular las coordenadas de la imagen $A'$ o $B'$ mediante la fórmula homotética.
- Paso 5: Escribir la ecuación punto-pendiente de la recta homóloga: $y - y_{A'} = m(x - x_{A'})$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Creer que la pendiente cambia al multiplicar por la razón $k$: En una homotecia, la pendiente se conserva idéntica ($m' = m$) porque tanto la variación vertical $\Delta y$ como la horizontal $\Delta x$ se multiplican por el mismo factor $k$, cancelándose en el cociente.
- Pensar que con razón negativa ($k < 0$) se pierde el paralelismo: Aunque la figura quede invertida $180^\circ$, las rectas que contienen a los lados siguen siendo estrictamente paralelas ($\overline{AB} \parallel \overline{A'B'}$).
- Confundir el movimiento de puntos con el cambio de la recta: Aunque los puntos individuales $P$ se mueven a nuevas posiciones $P'$, las rectas que pasan por el centro $O$ conservan su orientación espacial completa y se transforman en sí mismas ($H(L) = L$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- La recta original $y = 2x - 5$ tiene pendiente $m = 2$.
- Por la propiedad de paralelismo de las homotecias, la recta que contiene al lado homólogo es paralela a la original: $\overline{AB} \parallel \overline{A^\prime B^\prime}$.
- Dos rectas paralelas tienen idéntica pendiente, por lo que $m^\prime = m = 2$.
- Cualquier rayo que parte desde $O$ contiene tanto al punto original $P$ como a su imagen $P^\prime = H(P)$.
- Por lo tanto, la recta completa que contiene a $O$ no cambia de posición en el plano: $H(L) = L$ (recta invariante).
- Sí, en toda homotecia (directa o inversa, con cualquier $k \neq 0$), los segmentos homólogos son siempre estrictamente paralelos ($\overline{AB} \parallel \overline{A^\prime B^\prime}$).
- No, la pendiente se mantiene exactamente igual ($m^\prime = m$), ya que las rectas son paralelas.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Reconocer, justificar y aplicar la propiedad de paralelismo entre segmentos homólogos e identificar rectas invariantes en cualquier transformación homotética.
Verificando la relación vectorial $\vec{A'B'} = k \cdot \vec{AB}$, igualando pendientes $m' = m$ en el plano cartesiano y reconociendo que las rectas por el centro $O$ cumplen $H(L) = L$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En una homotecia, los segmentos homólogos son:
Es una propiedad fundamental de la homotecia.
Respuesta: A) Paralelos entre sí
-
El lado AB de un triángulo es paralelo a su homólogo A'B' en la figura homotética.
Es la propiedad de paralelismo de segmentos homólogos.
Respuesta: Verdadero
-
¿Por qué se cumple esta propiedad de paralelismo?
Es la justificación vectorial de esta propiedad.
Respuesta: A) Porque el vector A'B' es un múltiplo escalar del vector AB
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El paralelismo de segmentos homólogos solo se cumple en homotecias directas.
Se cumple tanto en homotecias directas como inversas.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si dos figuras están relacionadas por una homotecia, ¿qué relación tienen sus lados correspondientes?
Ambas propiedades se cumplen simultáneamente.
Respuesta: A) Son paralelos y proporcionales en longitud
-
Si dos segmentos correspondientes no son paralelos, las figuras no pueden estar relacionadas por una homotecia simple.
El paralelismo es una condición necesaria de la homotecia.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué se debe verificar, además del paralelismo, para confirmar que dos figuras están relacionadas por una homotecia?
El paralelismo solo no es suficiente; se necesita el centro común.
Respuesta: A) Que exista un centro común para todos los segmentos correspondientes
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente respecto a esta propiedad?
Es un error común, ya que también se requiere el centro común.
Respuesta: A) Creer que el paralelismo por sí solo garantiza homotecia
-
Esta propiedad de paralelismo es la base para construir gráficamente la imagen de una figura bajo homotecia, sin necesidad de calcular coordenadas.
Se puede trazar rectas paralelas desde cada vértice para construir la imagen.
Respuesta: Verdadero
-
Un cuadrilátero ABCD se transforma en A'B'C'D' mediante homotecia. Si AB es horizontal, ¿qué se puede afirmar sobre A'B'?
Al ser paralelo a AB (horizontal), A'B' también debe ser horizontal.
Respuesta: A) A'B' también es horizontal