Homotecia inversa con razón negativa
Reconocer las propiedades de una homotecia inversa, aquella cuya razón k es negativa.
Introducción
El segundo tipo de homotecia, según el signo de su razón, produce un efecto visual muy distinto al de la homotecia directa: invierte la posición de la figura respecto al centro.
Explicación
Definición formal
Si $k<0$, la homotecia se llama inversa: para cada punto $P$, su imagen $P'=O+k(P-O)$ se ubica en el rayo opuesto al que parte de $O$ y pasa por $P$.
Desarrollo didáctico
En una homotecia inversa, la figura imagen queda "al otro lado" del centro respecto a la original, como si se reflejara a través del punto O; visualmente parece una rotación de 180° combinada con un cambio de tamaño.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Observa el signo de la razón de homotecia k.
- Paso 2: Si k es negativo, la homotecia es inversa.
- Paso 3: Verifica que cada punto imagen esté del lado opuesto del centro respecto a su punto original.
Ejemplos
1 Una homotecia tiene razón k=-2.
- Es una homotecia inversa, ya que k<0.
2 Se aplica una homotecia inversa a un triángulo.
- La figura imagen queda del lado opuesto del centro respecto a la original.
3 ¿Una homotecia con k=-0,5 es inversa?
- Sí, sigue siendo inversa porque -0,5 es negativo, aunque produzca una reducción.
4 ¿La homotecia inversa cambia el tamaño de la figura?
- Depende del valor absoluto de k: si |k|=1 (k=-1) no cambia el tamaño, solo la posición.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que 'inversa' significa necesariamente que la figura se reduce."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir homotecia inversa con una reflexión (simetría axial), que es una transformación distinta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar el signo de k antes de clasificar la homotecia como directa o inversa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una homotecia es inversa cuando su razón $k$ es negativa ($k<0$); en este caso, cada punto imagen queda del lado opuesto del centro respecto a su punto original.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Una homotecia es inversa cuando:
Es la definición de homotecia inversa.
Respuesta: A) Su razón k es negativa
-
Una homotecia con k=-2 es inversa.
-2 es negativo, por lo tanto es inversa.
Respuesta: Verdadero
-
En una homotecia inversa, el punto imagen queda:
Es la propiedad definitoria de la homotecia inversa.
Respuesta: A) Del lado opuesto del centro respecto al punto original
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Toda homotecia inversa reduce necesariamente la figura.
Depende del valor absoluto de k, no de su signo.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Una homotecia tiene razón k=-4. ¿Es directa o inversa?
k=-4 es negativo, por lo tanto es inversa.
Respuesta: A) Inversa
-
Con k=-1 (simetría central), el tamaño de la figura no cambia, solo su posición respecto al centro.
|k|=1 mantiene el tamaño; el signo negativo solo invierte la posición.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál de las siguientes razones corresponde a una homotecia inversa que amplía la figura?
Es negativo (inversa) y su valor absoluto es mayor que 1 (ampliación).
Respuesta: A) k=-3
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al analizar una homotecia inversa?
Son transformaciones geométricas distintas, aunque ambas 'invierten' de alguna forma.
Respuesta: A) Confundirla con una reflexión (simetría axial)
-
Una homotecia inversa con k=-1 equivale exactamente a una simetría central respecto al centro O.
Es un caso particular importante, estudiado específicamente más adelante en este tema.
Respuesta: Verdadero
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Una homotecia inversa con k=-2 se aplica a un segmento de 6 cm. ¿Cuánto mide el segmento imagen, y en qué posición relativa al centro queda?
La longitud se multiplica por |k|=2, dando 12 cm, y el signo negativo invierte la posición.
Respuesta: A) 12 cm, en el lado opuesto del centro