Homotecia en el plano cartesiano con centro en el origen
Calcular las coordenadas de la imagen de un punto bajo una homotecia con centro en el origen del plano cartesiano.
Introducción
El caso más simple de homotecia en el plano cartesiano ocurre cuando el centro de la transformación coincide con el origen del sistema de coordenadas.
Explicación
Definición formal
Para una homotecia de centro $O=(0,0)$ y razón $k$, un punto $P=(x,y)$ se transforma en $P'=(kx,ky)$, ya que $P'=O+k(P-O)=k(x,y)$.
Desarrollo didáctico
El punto $(3,5)$ bajo una homotecia de centro en el origen y razón $k=2$ se transforma en $(2\times3, 2\times5)=(6,10)$. Este caso es especialmente simple porque no hay que restar las coordenadas del centro (al ser cero).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que el centro de homotecia sea el origen (0,0).
- Paso 2: Identifica las coordenadas (x,y) del punto original.
- Paso 3: Multiplica cada coordenada por la razón k para obtener las coordenadas de la imagen.
Ejemplos
1 El punto (3,5) se transforma bajo una homotecia de centro (0,0) y razón k=2.
- La imagen es (2×3, 2×5)=(6,10).
2 El punto (4,-2) se transforma bajo una homotecia de centro (0,0) y razón k=-1.
- La imagen es (-1×4, -1×-2)=(-4,2).
3 ¿Es necesario restar las coordenadas del centro en este caso?
- No, porque el centro es (0,0), restar cero no cambia las coordenadas originales.
4 ¿El origen mismo se transforma en otro punto?
- No, el origen es el centro de homotecia, por lo que permanece fijo (su propia imagen).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Sumar en vez de multiplicar las coordenadas por la razón k."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la razón solo a una de las dos coordenadas, olvidando la otra."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir este caso simplificado con el caso general (centro distinto del origen), que sí requiere restar las coordenadas del centro."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si el centro de homotecia es el origen $(0,0)$, la imagen de un punto $(x,y)$ bajo razón $k$ es simplemente $(kx, ky)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Con centro en el origen y razón k, un punto (x,y) se transforma en:
Es la fórmula simplificada para centro en el origen.
Respuesta: A) (kx, ky)
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El punto (3,5) con k=2 y centro en el origen se transforma en (6,10).
(2×3,2×5)=(6,10).
Respuesta: Verdadero
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¿Qué punto permanece fijo en una homotecia con centro en el origen?
El centro de homotecia siempre es su propio punto fijo.
Respuesta: A) El origen (0,0)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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En este caso es necesario restar las coordenadas del centro antes de multiplicar por k.
Al ser el centro (0,0), no es necesario restar nada.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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El punto (4,6) se transforma con centro en el origen y k=3. ¿Cuál es su imagen?
(3×4,3×6)=(12,18).
Respuesta: A) (12,18)
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El punto (4,-2) con centro en el origen y k=-1 se transforma en (-4,2).
(-1×4,-1×-2)=(-4,2).
Respuesta: Verdadero
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Un punto se transforma en (10,15) con centro en el origen y k=5. ¿Cuál era el punto original?
(x,y)=(10/5,15/5)=(2,3).
Respuesta: A) (2,3)
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente en este tipo de problema?
Es un error común confundir la operación (multiplicación, no suma).
Respuesta: A) Sumar k a las coordenadas en vez de multiplicar
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Si un punto está en el eje x, su imagen bajo una homotecia con centro en el origen también está en el eje x.
Si y=0, entonces ky=0, por lo tanto la imagen también tiene coordenada y igual a 0.
Respuesta: Verdadero
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Un triángulo con vértices (0,0), (4,0), (0,3) se transforma con centro en el origen y k=3. ¿Cuáles son los vértices de la imagen?
Cada coordenada se multiplica por 3: (0,0)→(0,0), (4,0)→(12,0), (0,3)→(0,9).
Respuesta: A) (0,0), (12,0), (0,9)