Homotecia en el plano cartesiano con centro en el origen

M2 — PAES electiva Media

Resumen inicial

Homotecia y transformaciones de escala: Homotecia con Centro en el Origen O(0, 0).

Explicación en palabras simples

Homotecia con Centro en el Origen O(0, 0)

Cuando el centro de homotecia es el origen de coordenadas $O(0, 0)$, las coordenadas de la imagen $P'(x', y')$ se obtienen multiplicando directamente cada componente del punto original $P(x, y)$ por la razón $k$: $(x', y') = (kx, ky)$.

Explicación formal

Formulación matricial y analítica

Sea $O = (0, 0)$ y $P = (x, y) \in \mathbb{R}^2$. La acción de $H_{(O, k)}$ viene dada por:

$$P' = (x', y') = (kx, ky)$$

En notación de álgebra lineal:

$$\mathbf{x}' = k \mathbf{x} = k \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

Desglose simbólico y geométrico

  • Homogeneidad: $H(\alpha P + \beta Q) = \alpha H(P) + \beta H(Q)$. Al estar centrada en el origen, la homotecia es una transformación lineal pura.
  • Pendiente invariante: $m' = \frac{ky_2 - ky_1}{kx_2 - kx_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = m$. La pendiente de cualquier segmento no cambia.

Síntesis didáctica

Es la forma más simple de calcular homotecias: multiplicación escalar directa.

Comprueba tu avance ¿Cuáles son las coordenadas del punto homólogo de $P(3, -4)$ bajo una homotecia $H(O(0,0), 3)$?

Definiciones clave

  • Homotecia $H(O, k)$: Transformación afín que dilata o contrae figuras desde un centro fijo $O$ mediante un factor de escala $k$.
  • Centro de homotecia (O): Punto fijo invariante donde concurren todas las rectas que unen puntos homólogos.
  • Razón de homotecia (k): Escalar real no nulo que determina el factor de escala lineal y la orientación relativa.
  • Efectos dimensionales: Escalamiento métrico: magnitudes lineales escalan con $|k|$, áreas con $k^2$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Ecuación vectorial: $\vec{OP^\prime} = k \cdot \vec{OP}$.
  • Paralelismo homólogo: $\overline{AB} \parallel \overline{A^\prime B^\prime} \quad \forall A \neq B$.
  • Razón de áreas: $\frac{\text{Área}^\prime}{\text{Área}} = k^2$.
  • Simetría central: $H(O, -1) \equiv S_O \equiv R(O, 180^\circ)$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Homotecia con Centro en el Origen O(0, 0)

Aplica las propiedades y definiciones de homotecia para determinar las coordenadas, longitudes y justificaciones geométricas requeridas.

  • Paso 1: Identificar el centro $O$ y la razón $k$ de la homotecia.
  • Paso 2: Determinar si la transformación es directa ($k > 0$) o inversa ($k < 0$).
  • Paso 3: Aplicar la fórmula correspondiente: vectorial, por coordenadas o de escalamiento métrico.
  • Paso 4: Calcular la magnitud lineal multiplicando por $|k|$ o el área multiplicando por $k^2$.
  • Paso 5: Verificar el paralelismo y la coherencia espacial de la figura homotética resultante.
Comprueba tu avance Si la imagen de $A(2, 5)$ es $A'(-4, -10)$ con centro en el origen, ¿cuál fue la razón $k$?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el centro de homotecia $O$ y el valor numérico de la razón $k$.
  • Paso 2: Trazar los rayos desde $O$ a través de cada vértice de la figura original.
  • Paso 3: Multiplicar las distancias desde $O$ por $|k|$ (en el mismo sentido si $k > 0$, en sentido opuesto si $k < 0$).
  • Paso 4: Unir los vértices homotéticos resultantes verificando el paralelismo con los lados originales.
  • Paso 5: Calcular perímetros ($|k| \cdot P$) o áreas ($k^2 \cdot A$) según lo solicitado.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que si $k < 0$, las longitudes y perímetros son siempre positivos y se multiplican por $|k|$, mientras que la figura queda invertida 180° al otro lado del centro $O$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor o resultado geométrico obtenido al aplicar la homotecia?
2 Si una figura se transforma mediante una homotecia con razón k = -2, ¿por cuánto se multiplica su área?
3 ¿Una homotecia con k = -1 cambia el tamaño de una figura?
4 ¿Los lados homólogos de dos figuras homotéticas son siempre paralelos?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"{'error': 'Multiplicar el área por k en lugar de k².', 'correccion': 'El área es una magnitud superficial bidimensional y siempre escala con el cuadrado de la razón: $\\text{Área}^\\prime = k^2 \\cdot \\text{Área}$.'}"
"{'error': 'Olvidar que las longitudes y perímetros deben multiplicarse por el valor absoluto |k|, asignando valores negativos a las distancias.', 'correccion': 'Toda longitud y perímetro es una magnitud estrictamente positiva: $L^\\prime = |k| \\cdot L$. El signo negativo de $k$ solo indica inversión espacial.'}"
"{'error': 'Olvidar restar el centro de homotecia antes de multiplicar por k cuando el centro no es el origen.', 'correccion': 'Usa siempre la fórmula afín correcta: $P^\\prime = C + k(P - C)$, es decir, $x^\\prime = x_0 + k(x - x_0)$ e $y^\\prime = y_0 + k(y - y_0)$.'}"

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Con centro en el origen y razón k, un punto (x,y) se transforma en:

  2. El punto (3,5) con k=2 y centro en el origen se transforma en (6,10).

  3. ¿Qué punto permanece fijo en una homotecia con centro en el origen?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. En este caso es necesario restar las coordenadas del centro antes de multiplicar por k.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. El punto (4,6) se transforma con centro en el origen y k=3. ¿Cuál es su imagen?

  2. El punto (4,-2) con centro en el origen y k=-1 se transforma en (-4,2).

  3. Un punto se transforma en (10,15) con centro en el origen y k=5. ¿Cuál era el punto original?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente en este tipo de problema?

  2. Si un punto está en el eje x, su imagen bajo una homotecia con centro en el origen también está en el eje x.

  3. Un triángulo con vértices (0,0), (4,0), (0,3) se transforma con centro en el origen y k=3. ¿Cuáles son los vértices de la imagen?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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