Homotecia en el plano cartesiano con centro distinto del origen
Calcular las coordenadas de la imagen de un punto bajo una homotecia cuyo centro no es el origen del plano cartesiano.
Introducción
Cuando el centro de homotecia no coincide con el origen, el cálculo de coordenadas requiere un paso adicional: trasladar el punto respecto al centro antes de escalar.
Explicación
Definición formal
Para una homotecia de centro $O=(a,b)$ y razón $k$, un punto $P=(x,y)$ se transforma en $P'=(a+k(x-a), b+k(y-b))$.
Desarrollo didáctico
El punto $(5,7)$ bajo una homotecia de centro $(2,3)$ y razón $k=2$ se transforma en $(2+2(5-2), 3+2(7-3))=(2+6, 3+8)=(8,11)$. Es fundamental restar las coordenadas del centro antes de multiplicar por $k$, y luego volver a sumarlas.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Resta las coordenadas del centro (a,b) a las coordenadas del punto (x,y).
- Paso 2: Multiplica el resultado por la razón k.
- Paso 3: Suma nuevamente las coordenadas del centro para obtener la imagen final.
Ejemplos
1 El punto (5,7) se transforma bajo una homotecia de centro (2,3) y razón k=2.
- (2+2(5-2), 3+2(7-3))=(2+6, 3+8)=(8,11).
2 El punto (10,6) se transforma bajo una homotecia de centro (4,2) y razón k=0,5.
- (4+0,5(10-4), 2+0,5(6-2))=(4+3, 2+2)=(7,4).
3 ¿Es necesario restar las coordenadas del centro antes de multiplicar por k?
- Sí, es un paso esencial cuando el centro no es el origen.
4 ¿El centro de homotecia se transforma en sí mismo?
- Sí, sin importar dónde esté ubicado, el centro siempre es su propio punto fijo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar restar las coordenadas del centro antes de multiplicar por k."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar sumar nuevamente las coordenadas del centro después de multiplicar por k."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir este caso general con el caso simplificado de centro en el origen."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si el centro de homotecia es $O=(a,b)$, la imagen de un punto $(x,y)$ bajo razón $k$ es $(a+k(x-a), b+k(y-b))$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Con centro (a,b) y razón k, un punto (x,y) se transforma en:
Es la fórmula general para centro distinto del origen.
Respuesta: A) (a+k(x-a), b+k(y-b))
-
El punto (5,7) con centro (2,3) y k=2 se transforma en (8,11).
(2+2×3, 3+2×4)=(8,11).
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué paso es esencial que no aparece en el caso de centro en el origen?
Es el paso adicional necesario cuando el centro no es el origen.
Respuesta: A) Restar y luego sumar las coordenadas del centro
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Esta fórmula se simplifica a (kx,ky) cuando el centro es el origen (0,0).
Con a=0,b=0, la fórmula se reduce exactamente a esa forma.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
El punto (6,8) se transforma con centro (2,2) y k=3. ¿Cuál es su imagen?
(2+3(6-2), 2+3(8-2))=(2+12,2+18)=(14,20).
Respuesta: A) (14,20)
-
El punto (10,6) con centro (4,2) y k=0,5 se transforma en (7,4).
(4+0,5×6, 2+0,5×4)=(7,4).
Respuesta: Verdadero
-
Un punto se transforma en (11,7) con centro (3,1) y k=2. ¿Cuál era el punto original?
x=3+(11-3)/2=3+4=7; y=1+(7-1)/2=1+3=4.
Respuesta: A) (7,4)
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente en este tipo de problema?
Es un error muy común, dejando el resultado incompleto (equivalente a usar la fórmula del origen).
Respuesta: A) Olvidar sumar nuevamente las coordenadas del centro al final
-
El centro de homotecia (a,b) siempre se transforma en sí mismo, sin importar el valor de k.
Sustituyendo x=a, y=b en la fórmula: (a+k(a-a), b+k(b-b))=(a,b).
Respuesta: Verdadero
-
Un triángulo con vértice en (1,1) se transforma con centro (1,1) y k=5. ¿Cuál es la imagen de ese vértice?
El vértice coincide con el centro de homotecia, por lo tanto permanece fijo.
Respuesta: A) (1,1)