Homotecia en el plano cartesiano con centro distinto del origen

Resumen inicial

Homotecia y transformaciones de escala: Homotecia con Centro General C(x₀, y₀).

Explicación en palabras simples

Homotecia con Centro General C(x₀, y₀)

Para aplicar una homotecia con centro en un punto arbitrario $C(x_0, y_0)$, se traslada el centro al origen, se multiplican las diferencias por la razón $k$, y finalmente se vuelve a sumar la posición del centro: $(x', y') = (x_0 + k(x - x_0), y_0 + k(y - y_0))$.

Explicación formal

Derivación formal de la fórmula afín

Dada la transformación afín con centro $C = (x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$:

$$\vec{CP'} = k \cdot \vec{CP} \implies P' - C = k(P - C) \implies P' = C + k(P - C)$$

Separando en componentes cartesianas:

$$x' = x_0 + k(x - x_0)$$
$$y' = y_0 + k(y - y_0)$$

Desglose simbólico y geométrico

Composición de transformaciones: $H_{(C, k)} = T_C \circ H_{(O, k)} \circ T_{-C}$.
Punto fijo verificado: Si $(x, y) = (x_0, y_0) \implies (x', y') = (x_0 + k(0), y_0 + k(0)) = (x_0, y_0)$.

Síntesis didáctica

Nunca olvides restar el centro antes de multiplicar por $k$ y sumarlo al final.

Definiciones clave

Homotecia $H(O, k)$: Transformación afín que dilata o contrae figuras desde un centro fijo $O$ mediante un factor de escala $k$.
Centro de homotecia (O): Punto fijo invariante donde concurren todas las rectas que unen puntos homólogos.
Razón de homotecia (k): Escalar real no nulo que determina el factor de escala lineal y la orientación relativa.
Efectos dimensionales: Escalamiento métrico: magnitudes lineales escalan con $|k|$, áreas con $k^2$.

Propiedades y relaciones importantes

Ecuación vectorial: $\vec{OP^\prime} = k \cdot \vec{OP}$.
Paralelismo homólogo: $\overline{AB} \parallel \overline{A^\prime B^\prime} \quad \forall A \neq B$.
Razón de áreas: $\frac{\text{Área}^\prime}{\text{Área}} = k^2$.
Simetría central: $H(O, -1) \equiv S_O \equiv R(O, 180^\circ)$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Homotecia con Centro General C(x₀, y₀)

Aplica las propiedades y definiciones de homotecia para determinar las coordenadas, longitudes y justificaciones geométricas requeridas.

Paso 1: Identificar el centro $O$ y la razón $k$ de la homotecia.
Paso 2: Determinar si la transformación es directa ($k > 0$) o inversa ($k < 0$).
Paso 3: Aplicar la fórmula correspondiente: vectorial, por coordenadas o de escalamiento métrico.
Paso 4: Calcular la magnitud lineal multiplicando por $|k|$ o el área multiplicando por $k^2$.
Paso 5: Verificar el paralelismo y la coherencia espacial de la figura homotética resultante.

Procedimiento

Paso 1: Identificar el centro de homotecia $O$ y el valor numérico de la razón $k$.
Paso 2: Trazar los rayos desde $O$ a través de cada vértice de la figura original.
Paso 3: Multiplicar las distancias desde $O$ por $|k|$ (en el mismo sentido si $k > 0$, en sentido opuesto si $k < 0$).
Paso 4: Unir los vértices homotéticos resultantes verificando el paralelismo con los lados originales.
Paso 5: Calcular perímetros ($|k| \cdot P$) o áreas ($k^2 \cdot A$) según lo solicitado.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que si $k < 0$, las longitudes y perímetros son siempre positivos y se multiplican por $|k|$, mientras que la figura queda invertida 180° al otro lado del centro $O$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"{'error': 'Olvidar que las longitudes y perímetros deben multiplicarse por el valor absoluto |k|, asignando valores negativos a las distancias.', 'correccion': 'Toda longitud y perímetro es una magnitud estrictamente positiva: $L^\\prime = |k| \\cdot L$. El signo negativo de $k$ solo indica inversión espacial.'}"

"{'error': 'Multiplicar el área por k en lugar de k².', 'correccion': 'El área es una magnitud superficial bidimensional y siempre escala con el cuadrado de la razón: $\\text{Área}^\\prime = k^2 \\cdot \\text{Área}$.'}"

"{'error': 'Olvidar restar el centro de homotecia antes de multiplicar por k cuando el centro no es el origen.', 'correccion': 'Usa siempre la fórmula afín correcta: $P^\\prime = C + k(P - C)$, es decir, $x^\\prime = x_0 + k(x - x_0)$ e $y^\\prime = y_0 + k(y - y_0)$.'}"

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Con centro (a,b) y razón k, un punto (x,y) se transforma en:
Es la fórmula general para centro distinto del origen.

Respuesta: A) (a+k(x-a), b+k(y-b))
El punto (5,7) con centro (2,3) y k=2 se transforma en (8,11).
¿Qué paso es esencial que no aparece en el caso de centro en el origen?
Es el paso adicional necesario cuando el centro no es el origen.

Respuesta: A) Restar y luego sumar las coordenadas del centro

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Esta fórmula se simplifica a (kx,ky) cuando el centro es el origen (0,0).

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

El punto (6,8) se transforma con centro (2,2) y k=3. ¿Cuál es su imagen?
(2+3(6-2), 2+3(8-2))=(2+12,2+18)=(14,20).

Respuesta: A) (14,20)
El punto (10,6) con centro (4,2) y k=0,5 se transforma en (7,4).
Un punto se transforma en (11,7) con centro (3,1) y k=2. ¿Cuál era el punto original?
x=3+(11-3)/2=3+4=7; y=1+(7-1)/2=1+3=4.

Respuesta: A) (7,4)

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente en este tipo de problema?
Es un error muy común, dejando el resultado incompleto (equivalente a usar la fórmula del origen).

Respuesta: A) Olvidar sumar nuevamente las coordenadas del centro al final
El centro de homotecia (a,b) siempre se transforma en sí mismo, sin importar el valor de k.
Un triángulo con vértice en (1,1) se transforma con centro (1,1) y k=5. ¿Cuál es la imagen de ese vértice?
El vértice coincide con el centro de homotecia, por lo tanto permanece fijo.

Respuesta: A) (1,1)

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación