Fórmula vectorial de homotecia con centro general: P' = O + k·(P − O)
Resumen inicial
Fórmula vectorial de homotecia con centro general: P' = O + k·(P − O): conceptos, teoremas, propiedades geométricas y cálculo en Congruencia, Semejanza y Homotecia.
Explicación en palabras simples
La fórmula de coordenadas de la homotecia con centro general puede expresarse de forma más compacta y elegante utilizando notación vectorial.
Explicación formal
Definición formal
$P'=O+k(P-O)$, donde $P-O$ es el vector que va del centro al punto original, escalado por $k$, y luego trasladado de vuelta sumando $O$.
Desarrollo didáctico
Esta fórmula es equivalente a la fórmula de coordenadas $(a+k(x-a), b+k(y-b))$, pero expresada de forma vectorial: el vector $(P-O)$ representa la posición relativa del punto respecto al centro, que se escala por $k$ y se reubica sumando nuevamente $O$.
La alternativa correcta es: Aplicar correctamente las definiciones y propiedades fundamentales de fórmula vectorial de homotecia con centro general: p' = o + k·(p − o). Corresponde al fundamento conceptual de fórmula vectorial de homotecia con centro general: p' = o + k·(p − o).
Definiciones clave
- Fórmula vectorial de homotecia con centro general: P' = O + k·(P − O): Elemento o propiedad fundamental en el estudio de congruencia, semejanza y homotecia.
Propiedades y relaciones importantes
- Relaciones geométricas: Conexión entre vértices, lados, ángulos o trasformaciones asociadas a fórmula vectorial de homotecia con centro general: p' = o + k·(p − o).
Ejemplo guiado
En la aplicación de fórmula vectorial de homotecia con centro general: p' = o + k·(p − o), se establece una razón $k = 1.2$ entre dos figuras homólogas de longitud original $L = 30\text{ cm}$. Calcula la longitud transformada $L'$.
- Aplicar el criterio o teorema de fórmula vectorial de homotecia con centro general: p' = o + k·(p − o).
- Multiplicar la longitud original por la razón $k$: $L' = 1.2 \cdot 30$.
- Concluir que la medida obtenida en fórmula vectorial de homotecia con centro general: p' = o + k·(p − o) es $L' = 36.0\text{ cm}$.
La alternativa correcta es: Sustituir adecuadamente los valores conocidos en la fórmula de fórmula vectorial de homotecia con centro general: p' = o + k·(p − o) para obtener el resultado. Procedimiento estándar de resolución geométrica.
Procedimiento
- Paso 1: Calcula el vector P−O (resta las coordenadas del centro a las del punto).
- Paso 2: Multiplica ese vector por la razón k.
- Paso 3: Suma el vector O al resultado para obtener el vector de posición de P'.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
Evita confundir las unidades de medida (longitud vs. área vs. volumen) al trabajar con fórmula vectorial de homotecia con centro general: p' = o + k·(p − o).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Desarrollo paso a paso aplicando fórmula vectorial de homotecia con centro general: p' = o + k·(p − o).
- Verificación de las condiciones de fórmula vectorial de homotecia con centro general: p' = o + k·(p − o).
- Sí, porque las figuras congruentes conservan todas sus medidas y ángulos.
- No, las longitudes y distancias geométricas en el espacio real son siempre valores no negativos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Identificar, calcular y aplicar las propiedades de fórmula vectorial de homotecia con centro general: p' = o + k·(p − o) en problemas geométricos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La fórmula vectorial de homotecia es:
Es la fórmula vectorial estándar de la homotecia.
Respuesta: A) P'=O+k(P-O)
-
Con O=(2,3), P=(5,7), k=2, se obtiene P'=(8,11).
P-O=(3,4); k(P-O)=(6,8); P'=(8,11).
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué representa el vector (P-O) en esta fórmula?
Es la interpretación geométrica de ese vector.
Respuesta: A) La posición relativa de P respecto al centro O
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La fórmula vectorial es equivalente a la fórmula de coordenadas (a+k(x-a), b+k(y-b)).
Son la misma operación expresada de forma distinta.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Con O=(0,0), la fórmula vectorial se reduce a P'=kP.
Si O=(0,0), entonces P'=O+k(P-O)=k×P.
Respuesta: Verdadero
-
Con O=(2,2), k=-1, P=(5,4), ¿cuál es P'?
P-O=(3,2); k(P-O)=(-3,-2); P'=(2-3,2-2)=(-1,0).
Respuesta: A) (-1,0)
-
Con O=(1,1), P=(4,5), k=3, ¿cuál es P'?
P-O=(3,4); k(P-O)=(9,12); P'=(1+9,1+12)=(10,13).
Respuesta: A) (10,13)
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al aplicar la fórmula vectorial?
Es un error común, similar al de la fórmula de coordenadas.
Respuesta: A) Olvidar sumar el vector O al final del cálculo
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La fórmula vectorial de homotecia también se puede usar para describir figuras completas, aplicándola a cada vértice.
Se aplica punto por punto para transformar toda la figura.
Respuesta: Verdadero
-
Con O=(3,3) y una homotecia tal que P'=(9,9) cuando P=(5,5). ¿Cuál es el valor de k?
P-O=(2,2); P'-O=(6,6); k=6/2=3.
Respuesta: A) 3