Fórmula vectorial de homotecia con centro general: P' = O + k·(P − O)
Comprender y aplicar la fórmula vectorial de la homotecia, que expresa la transformación de forma compacta usando notación de vectores.
Introducción
La fórmula de coordenadas de la homotecia con centro general puede expresarse de forma más compacta y elegante utilizando notación vectorial.
Explicación
Definición formal
$P'=O+k(P-O)$, donde $P-O$ es el vector que va del centro al punto original, escalado por $k$, y luego trasladado de vuelta sumando $O$.
Desarrollo didáctico
Esta fórmula es equivalente a la fórmula de coordenadas $(a+k(x-a), b+k(y-b))$, pero expresada de forma vectorial: el vector $(P-O)$ representa la posición relativa del punto respecto al centro, que se escala por $k$ y se reubica sumando nuevamente $O$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula el vector P−O (resta las coordenadas del centro a las del punto).
- Paso 2: Multiplica ese vector por la razón k.
- Paso 3: Suma el vector O al resultado para obtener el vector de posición de P'.
Ejemplos
1 O=(2,3), P=(5,7), k=2.
- P-O=(3,4); k(P-O)=(6,8); P'=O+(6,8)=(8,11).
2 Comparar el resultado anterior con la fórmula (a+k(x-a), b+k(y-b)).
- Da exactamente el mismo resultado: (8,11), confirmando que ambas fórmulas son equivalentes.
3 ¿La fórmula vectorial y la de coordenadas son equivalentes?
- Sí, son la misma operación expresada de dos formas distintas.
4 ¿Qué representa el vector P-O?
- Representa la posición relativa de P respecto al centro O.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar sumar el vector O al final, dejando solo k(P-O) como resultado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir el orden de la resta, calculando O-P en vez de P-O."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la notación vectorial con una simple suma de coordenadas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La fórmula vectorial de una homotecia de centro $O$ y razón $k$ es $P'=O+k\cdot(P-O)$, donde $P$ y $P'$ son los vectores de posición del punto original y su imagen.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La fórmula vectorial de homotecia es:
Es la fórmula vectorial estándar de la homotecia.
Respuesta: A) P'=O+k(P-O)
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Con O=(2,3), P=(5,7), k=2, se obtiene P'=(8,11).
P-O=(3,4); k(P-O)=(6,8); P'=(8,11).
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué representa el vector (P-O) en esta fórmula?
Es la interpretación geométrica de ese vector.
Respuesta: A) La posición relativa de P respecto al centro O
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La fórmula vectorial es equivalente a la fórmula de coordenadas (a+k(x-a), b+k(y-b)).
Son la misma operación expresada de forma distinta.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Con O=(0,0), la fórmula vectorial se reduce a P'=kP.
Si O=(0,0), entonces P'=O+k(P-O)=k×P.
Respuesta: Verdadero
-
Con O=(2,2), k=-1, P=(5,4), ¿cuál es P'?
P-O=(3,2); k(P-O)=(-3,-2); P'=(2-3,2-2)=(-1,0).
Respuesta: A) (-1,0)
-
Con O=(1,1), P=(4,5), k=3, ¿cuál es P'?
P-O=(3,4); k(P-O)=(9,12); P'=(1+9,1+12)=(10,13).
Respuesta: A) (10,13)
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar la fórmula vectorial?
Es un error común, similar al de la fórmula de coordenadas.
Respuesta: A) Olvidar sumar el vector O al final del cálculo
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La fórmula vectorial de homotecia también se puede usar para describir figuras completas, aplicándola a cada vértice.
Se aplica punto por punto para transformar toda la figura.
Respuesta: Verdadero
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Con O=(3,3) y una homotecia tal que P'=(9,9) cuando P=(5,5). ¿Cuál es el valor de k?
P-O=(2,2); P'-O=(6,6); k=6/2=3.
Respuesta: A) 3