Fórmula vectorial de homotecia con centro general: P' = O + k·(P − O)
Resumen inicial
Homotecia y transformaciones de escala: Fórmula Vectorial de Homotecia General.
Explicación en palabras simples
La fórmula vectorial de homotecia expresa que el vector de posición del punto transformado $\vec{P'}$ es una combinación afín entre el centro $\vec{O}$ y el punto original $\vec{P}$: $\vec{P'} = \vec{O} + k(\vec{P} - \vec{O}) = (1 - k)\vec{O} + k\vec{P}$.
Explicación formal
Teorema vectorial de la combinación afín
Sea $V$ un espacio vectorial normado sobre $\mathbb{R}$. La homotecia con centro $\mathbf{o} \in V$ y razón $k \in \mathbb{R}$ satisface:
$$\mathbf{p}' = \mathbf{o} + k(\mathbf{p} - \mathbf{o}) = (1 - k)\mathbf{o} + k\mathbf{p}$$
Propiedades algebraicas fundamentales
- Combinación afín: Los coeficientes suman $1$: $(1 - k) + k = 1$.
- Conmutatividad escalar: $k(\mathbf{p} - \mathbf{o}) = (\mathbf{p} - \mathbf{o})k$.
- Preservación del baricentro: $\mathbf{G}' = (1 - k)\mathbf{o} + k\mathbf{G}$.
Síntesis didáctica
La expresión vectorial sintetiza todas las propiedades métricas y espaciales de la homotecia.
Se expresa como $\vec{P^\prime} = (1 - k)\vec{O} + k\vec{P}$, cuyos coeficientes suman 1.
Definiciones clave
- Homotecia $H(O, k)$: Transformación afín que dilata o contrae figuras desde un centro fijo $O$ mediante un factor de escala $k$.
- Centro de homotecia (O): Punto fijo invariante donde concurren todas las rectas que unen puntos homólogos.
- Razón de homotecia (k): Escalar real no nulo que determina el factor de escala lineal y la orientación relativa.
- Efectos dimensionales: Escalamiento métrico: magnitudes lineales escalan con $|k|$, áreas con $k^2$.
Propiedades y relaciones importantes
- Ecuación vectorial: $\vec{OP^\prime} = k \cdot \vec{OP}$.
- Paralelismo homólogo: $\overline{AB} \parallel \overline{A^\prime B^\prime} \quad \forall A \neq B$.
- Razón de áreas: $\frac{\text{Área}^\prime}{\text{Área}} = k^2$.
- Simetría central: $H(O, -1) \equiv S_O \equiv R(O, 180^\circ)$.
Ejemplo guiado
Aplica las propiedades y definiciones de homotecia para determinar las coordenadas, longitudes y justificaciones geométricas requeridas.
- Paso 1: Identificar el centro $O$ y la razón $k$ de la homotecia.
- Paso 2: Determinar si la transformación es directa ($k > 0$) o inversa ($k < 0$).
- Paso 3: Aplicar la fórmula correspondiente: vectorial, por coordenadas o de escalamiento métrico.
- Paso 4: Calcular la magnitud lineal multiplicando por $|k|$ o el área multiplicando por $k^2$.
- Paso 5: Verificar el paralelismo y la coherencia espacial de la figura homotética resultante.
El vector es $\vec{P^\prime} = (7, 13)$, ya que $(1, 1) + 3(2, 4) = (1, 1) + (6, 12) = (7, 13)$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el centro de homotecia $O$ y el valor numérico de la razón $k$.
- Paso 2: Trazar los rayos desde $O$ a través de cada vértice de la figura original.
- Paso 3: Multiplicar las distancias desde $O$ por $|k|$ (en el mismo sentido si $k > 0$, en sentido opuesto si $k < 0$).
- Paso 4: Unir los vértices homotéticos resultantes verificando el paralelismo con los lados originales.
- Paso 5: Calcular perímetros ($|k| \cdot P$) o áreas ($k^2 \cdot A$) según lo solicitado.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
Recuerda que si $k < 0$, las longitudes y perímetros son siempre positivos y se multiplican por $|k|$, mientras que la figura queda invertida 180° al otro lado del centro $O$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- El vector es $\vec{P^\prime} = (7, 13)$, ya que $(1, 1) + 3(2, 4) = (1, 1) + (6, 12) = (7, 13)$.
- El área es una magnitud bidimensional que escala con el cuadrado de la razón de homotecia: $k^2 = (-2)^2 = 4$. El área siempre es positiva.
- No, porque $|-1| = 1$, por lo que conserva exactamente todas las distancias y áreas originales, siendo equivalente a una simetría central o giro en 180°.
- Sí, por propiedad fundamental de las homotecias, todo segmento de la figura original es estrictamente paralelo a su segmento homólogo en la figura transformada ($\overline{AB} \parallel \overline{A^\prime B^\prime}$).
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La fórmula vectorial de homotecia es:
Es la fórmula vectorial estándar de la homotecia.
Respuesta: A) P'=O+k(P-O)
-
Con O=(2,3), P=(5,7), k=2, se obtiene P'=(8,11).
P-O=(3,4); k(P-O)=(6,8); P'=(8,11).
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué representa el vector (P-O) en esta fórmula?
Es la interpretación geométrica de ese vector.
Respuesta: A) La posición relativa de P respecto al centro O
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La fórmula vectorial es equivalente a la fórmula de coordenadas (a+k(x-a), b+k(y-b)).
Son la misma operación expresada de forma distinta.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Con O=(0,0), la fórmula vectorial se reduce a P'=kP.
Si O=(0,0), entonces P'=O+k(P-O)=k×P.
Respuesta: Verdadero
-
Con O=(2,2), k=-1, P=(5,4), ¿cuál es P'?
P-O=(3,2); k(P-O)=(-3,-2); P'=(2-3,2-2)=(-1,0).
Respuesta: A) (-1,0)
-
Con O=(1,1), P=(4,5), k=3, ¿cuál es P'?
P-O=(3,4); k(P-O)=(9,12); P'=(1+9,1+12)=(10,13).
Respuesta: A) (10,13)
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al aplicar la fórmula vectorial?
Es un error común, similar al de la fórmula de coordenadas.
Respuesta: A) Olvidar sumar el vector O al final del cálculo
-
La fórmula vectorial de homotecia también se puede usar para describir figuras completas, aplicándola a cada vértice.
Se aplica punto por punto para transformar toda la figura.
Respuesta: Verdadero
-
Con O=(3,3) y una homotecia tal que P'=(9,9) cuando P=(5,5). ¿Cuál es el valor de k?
P-O=(2,2); P'-O=(6,6); k=6/2=3.
Respuesta: A) 3