Efecto de reducción en una homotecia con valor absoluto de la razón entre 0 y 1

M2 — PAES electiva Media

Resumen inicial

Homotecia y transformaciones de escala: Efecto de Reducción (0 < |k| < 1).

Explicación en palabras simples

Efecto de Reducción (0 < |k| < 1)

El efecto de reducción se produce cuando el valor absoluto de la razón de homotecia se encuentra estrictamente entre 0 y 1 ($0 < |k| < 1$), contrayendo todas las dimensiones lineales de la figura original.

Explicación formal

Teorema de contracción métrica

Sea $H_{(O, k)}$ con $0 < |k| < 1$. Para todo par de puntos $A, B \in \mathbb{R}^2$:

$$d(A', B') = |k| \cdot d(A, B) < d(A, B)$$

La transformación es una contracción estricta en el espacio métrico $(\mathbb{R}^2, d_E)$.

Consecuencias métricas

  • Perímetro: $P' = |k| \cdot P < P$.
  • Área: $A' = k^2 \cdot A < A$.
  • Distancia al centro: $d(O, P') = |k| \cdot d(O, P) < d(O, P)$.

Síntesis didáctica

Comprime todas las distancias hacia el centro fijo $O$.

Comprueba tu avance Si a una figura se le aplica una homotecia con $k = -\frac{1}{2}$, ¿qué le ocurre a su tamaño?

Definiciones clave

  • Homotecia $H(O, k)$: Transformación afín que dilata o contrae figuras desde un centro fijo $O$ mediante un factor de escala $k$.
  • Centro de homotecia (O): Punto fijo invariante donde concurren todas las rectas que unen puntos homólogos.
  • Razón de homotecia (k): Escalar real no nulo que determina el factor de escala lineal y la orientación relativa.
  • Efectos dimensionales: Escalamiento métrico: magnitudes lineales escalan con $|k|$, áreas con $k^2$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Ecuación vectorial: $\vec{OP^\prime} = k \cdot \vec{OP}$.
  • Paralelismo homólogo: $\overline{AB} \parallel \overline{A^\prime B^\prime} \quad \forall A \neq B$.
  • Razón de áreas: $\frac{\text{Área}^\prime}{\text{Área}} = k^2$.
  • Simetría central: $H(O, -1) \equiv S_O \equiv R(O, 180^\circ)$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Efecto de Reducción (0 < |k| < 1)

Aplica las propiedades y definiciones de homotecia para determinar las coordenadas, longitudes y justificaciones geométricas requeridas.

  • Paso 1: Identificar el centro $O$ y la razón $k$ de la homotecia.
  • Paso 2: Determinar si la transformación es directa ($k > 0$) o inversa ($k < 0$).
  • Paso 3: Aplicar la fórmula correspondiente: vectorial, por coordenadas o de escalamiento métrico.
  • Paso 4: Calcular la magnitud lineal multiplicando por $|k|$ o el área multiplicando por $k^2$.
  • Paso 5: Verificar el paralelismo y la coherencia espacial de la figura homotética resultante.
Comprueba tu avance Un segmento de $18\text{ cm}$ se somete a $H(O, \frac{1}{3})$. ¿Cuánto mide el segmento resultante?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el centro de homotecia $O$ y el valor numérico de la razón $k$.
  • Paso 2: Trazar los rayos desde $O$ a través de cada vértice de la figura original.
  • Paso 3: Multiplicar las distancias desde $O$ por $|k|$ (en el mismo sentido si $k > 0$, en sentido opuesto si $k < 0$).
  • Paso 4: Unir los vértices homotéticos resultantes verificando el paralelismo con los lados originales.
  • Paso 5: Calcular perímetros ($|k| \cdot P$) o áreas ($k^2 \cdot A$) según lo solicitado.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que si $k < 0$, las longitudes y perímetros son siempre positivos y se multiplican por $|k|$, mientras que la figura queda invertida 180° al otro lado del centro $O$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor o resultado geométrico obtenido al aplicar la homotecia?
2 Si una figura se transforma mediante una homotecia con razón k = -2, ¿por cuánto se multiplica su área?
3 ¿Una homotecia con k = -1 cambia el tamaño de una figura?
4 ¿Los lados homólogos de dos figuras homotéticas son siempre paralelos?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"{'error': 'Olvidar que las longitudes y perímetros deben multiplicarse por el valor absoluto |k|, asignando valores negativos a las distancias.', 'correccion': 'Toda longitud y perímetro es una magnitud estrictamente positiva: $L^\\prime = |k| \\cdot L$. El signo negativo de $k$ solo indica inversión espacial.'}"
"{'error': 'Olvidar restar el centro de homotecia antes de multiplicar por k cuando el centro no es el origen.', 'correccion': 'Usa siempre la fórmula afín correcta: $P^\\prime = C + k(P - C)$, es decir, $x^\\prime = x_0 + k(x - x_0)$ e $y^\\prime = y_0 + k(y - y_0)$.'}"
"{'error': 'Multiplicar el área por k en lugar de k².', 'correccion': 'El área es una magnitud superficial bidimensional y siempre escala con el cuadrado de la razón: $\\text{Área}^\\prime = k^2 \\cdot \\text{Área}$.'}"

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Una homotecia produce reducción cuando:

  2. Una homotecia con k=-0,3 produce una reducción.

  3. ¿Una razón k negativa siempre implica reducción?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Todo valor negativo de k produce necesariamente una reducción.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Una homotecia tiene razón k=0,25. ¿Produce reducción?

  2. Con k=0,2, un segmento de 20 cm en la figura original mide 4 cm en la imagen.

  3. ¿Cuál de las siguientes razones produce reducción?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente al identificar una reducción?

  2. Con k=0,5, el área de la figura imagen es 1/4 del área de la figura original.

  3. Una homotecia reduce un cuadrado de área 100 cm² a un área de 4 cm². ¿Cuál es el valor absoluto de k?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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