Efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1
Reconocer que una homotecia con |k|>1 produce una ampliación de la figura original, sin importar si k es positivo o negativo.
Introducción
Independientemente de si una homotecia es directa o inversa, existe un factor separado que determina si la figura se agranda o se achica: el valor absoluto de la razón.
Explicación
Definición formal
Si $|k|>1$, cada distancia en la figura imagen es $|k|$ veces la distancia correspondiente en la figura original, produciendo una figura más grande, sin importar si $k$ es positivo (directa) o negativo (inversa).
Desarrollo didáctico
Tanto k=3 como k=-3 producen una ampliación (el triple del tamaño), pero con orientación distinta: k=3 mantiene la orientación (directa), mientras que k=-3 la invierte respecto al centro (inversa).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula el valor absoluto de la razón de homotecia k.
- Paso 2: Compara ese valor con 1.
- Paso 3: Si |k|>1, la homotecia produce una ampliación de la figura.
Ejemplos
1 Una homotecia tiene razón k=3.
- |3|=3>1, por lo tanto es una ampliación (y además directa, por ser k positivo).
2 Una homotecia tiene razón k=-2,5.
- |-2,5|=2,5>1, por lo tanto también es una ampliación (e inversa, por ser k negativo).
3 ¿El signo de k determina si hay ampliación?
- No, el signo determina si es directa o inversa; el valor absoluto determina si amplía o reduce.
4 ¿Una razón k=1,5 produce ampliación?
- Sí, porque |1,5|=1,5>1.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el efecto de ampliación/reducción (que depende de |k|) con la clasificación directa/inversa (que depende del signo de k)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que solo valores positivos de k pueden producir ampliación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar tomar el valor absoluto antes de comparar con 1, especialmente con razones negativas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una homotecia produce una ampliación cuando el valor absoluto de su razón es mayor que 1 ($|k|>1$): la figura imagen es más grande que la original.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Una homotecia produce ampliación cuando:
Es la condición para que la figura imagen sea más grande.
Respuesta: A) |k|>1
-
Una homotecia con k=-2,5 produce una ampliación.
|-2,5|=2,5>1.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué determina si una homotecia amplía o reduce la figura?
Es independiente del signo, que solo determina directa/inversa.
Respuesta: A) El valor absoluto de k
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Solo las homotecias con razón positiva pueden producir ampliación.
También las homotecias inversas (k negativo) pueden ampliar, si |k|>1.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Una homotecia tiene razón k=4. ¿Produce ampliación?
|4|=4>1.
Respuesta: A) Sí
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Con k=-3, un segmento de 5 cm en la figura original mide 15 cm en la imagen.
5×|-3|=15.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál de las siguientes razones NO produce ampliación?
|0,8|=0,8<1, produce reducción, no ampliación.
Respuesta: A) k=0,8
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al identificar una ampliación?
Es un error común no separar el efecto de tamaño del signo de k.
Respuesta: A) Creer que solo valores positivos de k pueden ampliar
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Con k=3, el área de la figura imagen es 9 veces el área de la figura original.
El área escala con k²=9.
Respuesta: Verdadero
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Una homotecia amplía un triángulo de área 6 cm² a un área de 96 cm². ¿Cuál es el valor absoluto de k?
k²=96/6=16 → |k|=4.
Respuesta: A) 4