Efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1

M2 — PAES electiva Media

Resumen inicial

Efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1: conceptos, teoremas, propiedades geométricas y cálculo en Congruencia, Semejanza y Homotecia.

Explicación en palabras simples

Independientemente de si una homotecia es directa o inversa, existe un factor separado que determina si la figura se agranda o se achica: el valor absoluto de la razón.

Explicación formal

Homotecia de ampliación

Definición formal

Si $|k|>1$, cada distancia en la figura imagen es $|k|$ veces la distancia correspondiente en la figura original, produciendo una figura más grande, sin importar si $k$ es positivo (directa) o negativo (inversa).

Desarrollo didáctico

Tanto k=3 como k=-3 producen una ampliación (el triple del tamaño), pero con orientación distinta: k=3 mantiene la orientación (directa), mientras que k=-3 la invierte respecto al centro (inversa).

Comprueba tu avance ¿Cuál es la propiedad o definición fundamental asociada a efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1?

Definiciones clave

  • Efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1: Elemento o propiedad fundamental en el estudio de congruencia, semejanza y homotecia.

Propiedades y relaciones importantes

  • Relaciones geométricas: Conexión entre vértices, lados, ángulos o trasformaciones asociadas a efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1.

Ejemplo guiado

En la aplicación de efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1, se establece una razón $k = 2.0$ entre dos figuras homólogas de longitud original $L = 45\text{ cm}$. Calcula la longitud transformada $L'$.

  • Aplicar el criterio o teorema de efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1.
  • Multiplicar la longitud original por la razón $k$: $L' = 2.0 \cdot 45$.
  • Concluir que la medida obtenida en efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1 es $L' = 90.0\text{ cm}$.
Comprueba tu avance Al resolver un problema numérico sobre efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1, ¿qué paso operativo es esencial?

Procedimiento

  • Paso 1: Calcula el valor absoluto de la razón de homotecia k.
  • Paso 2: Compara ese valor con 1.
  • Paso 3: Si |k|>1, la homotecia produce una ampliación de la figura.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Evita confundir las unidades de medida (longitud vs. área vs. volumen) al trabajar con efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Aplica los conceptos de efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1 para determinar la medida solicitada.
2 Analiza la propiedad geométrica de efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1 y elige la respuesta adecuada.
3 ¿Se cumple siempre la propiedad principal de efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1 en figuras congruentes?
4 ¿Puede efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1 asumir un valor negativo cuando representa una longitud geométrica?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Las transformaciones isométricas (traslación, rotación, reflexión) conservan la forma y el tamaño de la figura original."
"En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos interiores es siempre $180^\circ$."
"Declarar la altura con la mediana o la bisectriz en un triángulo arbitrario."
"Usar la fórmula de perímetro en lugar de la de área al resolver problemas de efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1."
"Omitir elevar al cuadrado la razón de semejanza al comparar áreas en efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1."
"Declarar un ángulo agudo con un ángulo obtuso en efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1."
"Sumar longitudes y áreas como si tuvieran las mismas dimensiones en efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1."

Al terminar debes poder

Identificar, calcular y aplicar las propiedades de efecto de ampliación en una homotecia con valor absoluto de la razón mayor que 1 en problemas geométricos.

Fuente: Elaboración propia.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Una homotecia produce ampliación cuando:

  2. Una homotecia con k=-2,5 produce una ampliación.

  3. ¿Qué determina si una homotecia amplía o reduce la figura?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Solo las homotecias con razón positiva pueden producir ampliación.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Una homotecia tiene razón k=4. ¿Produce ampliación?

  2. Con k=-3, un segmento de 5 cm en la figura original mide 15 cm en la imagen.

  3. ¿Cuál de las siguientes razones NO produce ampliación?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente al identificar una ampliación?

  2. Con k=3, el área de la figura imagen es 9 veces el área de la figura original.

  3. Una homotecia amplía un triángulo de área 6 cm² a un área de 96 cm². ¿Cuál es el valor absoluto de k?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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