Definición de homotecia como transformación determinada por un centro y una razón

M2 — PAES electiva Básica

Resumen inicial

Homotecia y transformaciones de escala: Definición de Homotecia: Centro O y Razón k.

Explicación en palabras simples

Definición de Homotecia: Centro O y Razón k

Una homotecia es una transformación geométrica en el plano que, a partir de un punto fijo llamado centro $O$ y un número real $k \neq 0$ llamado razón, asigna a cada punto $P$ un punto homólogo $P'$ tal que $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$.

Explicación formal

Definición formal (Homotecia en $\mathbb{R}^2$)

Sea $O \in \mathbb{R}^2$ un punto fijo y $k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. La homotecia $H_{(O, k)}$ es la biyección afín definida por:

$$H_{(O, k)}(P) = P' \iff \vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$$

Desglose simbólico y geométrico

  • Colinealidad: Los puntos $O, P$ y $P'$ son colineales en la recta $\overleftrightarrow{OP}$.
  • Razón métrica de distancias: $d(O, P') = |k| \cdot d(O, P)$.
  • Invarianza angular: $\angle(A'B'C') = \angle(ABC)$. La homotecia es una transformación conforme que preserva la forma.

Síntesis didáctica

Multiplica todas las distancias desde el centro $O$ por el factor $k$ respetando la recta que los une.

Comprueba tu avance ¿Qué condición geométrica deben cumplir siempre el centro $O$, un punto $P$ y su imagen homotética $P'$?

Definiciones clave

  • Homotecia $H(O, k)$: Transformación afín que dilata o contrae figuras desde un centro fijo $O$ mediante un factor de escala $k$.
  • Centro de homotecia (O): Punto fijo invariante donde concurren todas las rectas que unen puntos homólogos.
  • Razón de homotecia (k): Escalar real no nulo que determina el factor de escala lineal y la orientación relativa.
  • Efectos dimensionales: Escalamiento métrico: magnitudes lineales escalan con $|k|$, áreas con $k^2$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Ecuación vectorial: $\vec{OP^\prime} = k \cdot \vec{OP}$.
  • Paralelismo homólogo: $\overline{AB} \parallel \overline{A^\prime B^\prime} \quad \forall A \neq B$.
  • Razón de áreas: $\frac{\text{Área}^\prime}{\text{Área}} = k^2$.
  • Simetría central: $H(O, -1) \equiv S_O \equiv R(O, 180^\circ)$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Definición de Homotecia: Centro O y Razón k

Aplica las propiedades y definiciones de homotecia para determinar las coordenadas, longitudes y justificaciones geométricas requeridas.

  • Paso 1: Identificar el centro $O$ y la razón $k$ de la homotecia.
  • Paso 2: Determinar si la transformación es directa ($k > 0$) o inversa ($k < 0$).
  • Paso 3: Aplicar la fórmula correspondiente: vectorial, por coordenadas o de escalamiento métrico.
  • Paso 4: Calcular la magnitud lineal multiplicando por $|k|$ o el área multiplicando por $k^2$.
  • Paso 5: Verificar el paralelismo y la coherencia espacial de la figura homotética resultante.
Comprueba tu avance Si $d(O, P) = 5\text{ cm}$ y la razón es $k = 3$, ¿a qué distancia del centro se ubica la imagen $P'$?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el centro de homotecia $O$ y el valor numérico de la razón $k$.
  • Paso 2: Trazar los rayos desde $O$ a través de cada vértice de la figura original.
  • Paso 3: Multiplicar las distancias desde $O$ por $|k|$ (en el mismo sentido si $k > 0$, en sentido opuesto si $k < 0$).
  • Paso 4: Unir los vértices homotéticos resultantes verificando el paralelismo con los lados originales.
  • Paso 5: Calcular perímetros ($|k| \cdot P$) o áreas ($k^2 \cdot A$) según lo solicitado.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que si $k < 0$, las longitudes y perímetros son siempre positivos y se multiplican por $|k|$, mientras que la figura queda invertida 180° al otro lado del centro $O$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor o resultado geométrico obtenido al aplicar la homotecia?
2 Si una figura se transforma mediante una homotecia con razón k = -2, ¿por cuánto se multiplica su área?
3 ¿Una homotecia con k = -1 cambia el tamaño de una figura?
4 ¿Los lados homólogos de dos figuras homotéticas son siempre paralelos?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"{'error': 'Olvidar restar el centro de homotecia antes de multiplicar por k cuando el centro no es el origen.', 'correccion': 'Usa siempre la fórmula afín correcta: $P^\\prime = C + k(P - C)$, es decir, $x^\\prime = x_0 + k(x - x_0)$ e $y^\\prime = y_0 + k(y - y_0)$.'}"
"{'error': 'Multiplicar el área por k en lugar de k².', 'correccion': 'El área es una magnitud superficial bidimensional y siempre escala con el cuadrado de la razón: $\\text{Área}^\\prime = k^2 \\cdot \\text{Área}$.'}"
"{'error': 'Olvidar que las longitudes y perímetros deben multiplicarse por el valor absoluto |k|, asignando valores negativos a las distancias.', 'correccion': 'Toda longitud y perímetro es una magnitud estrictamente positiva: $L^\\prime = |k| \\cdot L$. El signo negativo de $k$ solo indica inversión espacial.'}"

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Una homotecia está determinada por:

  2. En una homotecia, cada punto y su imagen están alineados con el centro.

  3. Si P está a 5 cm de O y k=2, ¿a qué distancia está P' de O?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. La homotecia conserva el tamaño exacto de la figura original.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. La figura imagen de una homotecia es siempre:

  2. ¿Qué ocurre si la razón de homotecia es k=1?

  3. Con centro O y razón k=3, un punto a 4 cm de O tiene su imagen a 12 cm de O.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente al aplicar una homotecia?

  2. Con centro O y razón k=0,5, un punto P' está a 6 cm de O. ¿A qué distancia estaba el punto original P?

  3. La homotecia es la transformación geométrica que subyace a los modelos a escala y las ampliaciones fotográficas.

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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