Definición de homotecia como transformación determinada por un centro y una razón
Comprender la homotecia como una transformación geométrica que amplía o reduce una figura a partir de un punto fijo (centro) y un factor de escala (razón).
Introducción
Existe una transformación geométrica especial que produce figuras semejantes a la original, ampliándolas o reduciéndolas desde un punto fijo: la homotecia.
Explicación
Definición formal
Una homotecia de centro $O$ y razón $k$ (con $k\neq0$) es la transformación que envía cada punto $P$ al punto $P'=O+k(P-O)$.
Desarrollo didáctico
A diferencia de otras transformaciones (como traslaciones o rotaciones), la homotecia SÍ cambia el tamaño de la figura (salvo que $k=\pm1$), mientras conserva su forma: la figura imagen es siempre semejante a la original.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el centro de homotecia O y la razón k dados.
- Paso 2: Para cada punto P de la figura original, traza la recta que pasa por O y P.
- Paso 3: Ubica el punto imagen P' sobre esa recta, a una distancia k veces OP desde O.
Ejemplos
1 Un punto P está a 5 cm del centro O, con razón de homotecia k=2.
- El punto imagen P' está a 2×5=10 cm de O, sobre la misma recta OP.
2 Se aplica una homotecia a un triángulo.
- El resultado es otro triángulo semejante al original, con sus vértices alineados con el centro O.
3 ¿La homotecia conserva la forma de la figura?
- Sí, la figura imagen es siempre semejante a la original.
4 ¿Todos los puntos de la figura y su imagen están alineados con el centro?
- Sí, es la condición esencial que define la homotecia.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la homotecia con una traslación, olvidando que cambia el tamaño de la figura."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que cada punto y su imagen deben estar alineados con el centro de homotecia."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la razón k sin considerar su signo, lo que puede invertir la posición del punto imagen."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una homotecia de centro $O$ y razón $k$ transforma cada punto $P$ de una figura en un nuevo punto $P'$ tal que $O$, $P$ y $P'$ están alineados, y $OP'=k\times OP$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Una homotecia está determinada por:
Son los dos elementos que definen completamente una homotecia.
Respuesta: A) Un centro y una razón
-
En una homotecia, cada punto y su imagen están alineados con el centro.
Es la condición esencial de la transformación.
Respuesta: Verdadero
-
Si P está a 5 cm de O y k=2, ¿a qué distancia está P' de O?
OP'=k×OP=2×5=10.
Respuesta: A) 10 cm
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La homotecia conserva el tamaño exacto de la figura original.
La homotecia cambia el tamaño (salvo k=±1), aunque conserva la forma.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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La figura imagen de una homotecia es siempre:
Es una propiedad fundamental de la homotecia.
Respuesta: A) Semejante a la figura original
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¿Qué ocurre si la razón de homotecia es k=1?
Con k=1, cada punto queda en su misma posición.
Respuesta: A) La figura imagen coincide exactamente con la original
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Con centro O y razón k=3, un punto a 4 cm de O tiene su imagen a 12 cm de O.
4×3=12.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al aplicar una homotecia?
Es un error conceptual común entre distintas transformaciones geométricas.
Respuesta: A) Confundirla con una traslación, sin considerar el cambio de tamaño
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Con centro O y razón k=0,5, un punto P' está a 6 cm de O. ¿A qué distancia estaba el punto original P?
OP=OP'/k=6/0,5=12.
Respuesta: A) 12 cm
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La homotecia es la transformación geométrica que subyace a los modelos a escala y las ampliaciones fotográficas.
Es su aplicación práctica más común.
Respuesta: Verdadero