Teorema de la tangente y la secante como igualdad entre cuadrado de tangente y producto de secante

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

El Teorema de la Tangente y la Secante establece que el cuadrado del segmento tangente es igual al producto del segmento exterior por el segmento total de la secante: PT² = PA · PB.

Explicación en palabras simples

Este teorema es una de las fórmulas más elegantes y preguntadas de toda la geometría:

Si desde un punto exterior $P$ trazas una recta tangente ($PT$) y una recta secante ($PA$ exterior, $PB$ total):
¡El segmento tangente al cuadrado es igual al segmento exterior multiplicado por el segmento total!

$$\mathbf{PT^2 = PA \cdot PB}$$
$$\mathbf{PT = \sqrt{PA \cdot PB}}$$

Por ejemplo, si la secante tiene un trozo exterior de $4\text{ cm}$ y una cuerda de $5\text{ cm}$, su segmento total es $4 + 5 = 9\text{ cm}$. Multiplicamos: $4 \cdot 9 = 36$. Por lo tanto, $PT^2 = 36$, y sacando la raíz cuadrada descubrimos que la tangente mide $PT = \sqrt{36} = 6\text{ cm}$.

¡Recuerda siempre: la tangente va al CUADRADO, y la secante es Exterior por TOTAL!

Teorema de la tangente y secante

Explicación formal

Teorema de la tangente y la secante

Sea $P$ un punto exterior a una circunferencia $\mathcal{C}$. Si $\overline{PT}$ es un segmento tangente con contacto en $T \in \mathcal{C}$ y $\overline{PB}$ es un segmento secante que corta a $\mathcal{C}$ en $A$ y $B$ (con $A$ entre $P$ y $B$), entonces:
$$PT^2 = PA \cdot PB \iff PT^2 = PA \cdot (PA + AB)$$

Demostración geométrica por semejanza de triángulos

  1. Trácense los segmentos auxiliares $\overline{TA}$ y $\overline{TB}$. Se forman los triángulos $\triangle PTA$ y $\triangle PBT$.
  2. Ambos triángulos comparten el ángulo común en el vértice exterior $P$:
    $$\angle TPA \cong \angle BPT$$
  3. El ángulo $\angle PTA$ es un ángulo semiinscrito que subtiende el arco $\overset{\frown}{TA}$, por lo que mide $\frac{\text{med}(\overset{\frown}{TA})}{2}$.
  4. El ángulo $\angle PBT$ (o $\angle ABT$) es un ángulo inscrito que subtiende exactamente el mismo arco $\overset{\frown}{TA}$, luego también mide $\frac{\text{med}(\overset{\frown}{TA})}{2}$.
  5. En consecuencia, ambos ángulos son congruentes:
    $$\angle PTA \cong \angle PBT$$
  6. Por el criterio Ángulo-Ángulo (AA), los triángulos son semejantes:
    $$\triangle PTA \sim \triangle PBT$$
  7. Estableciendo la razón de proporcionalidad entre lados homólogos:
    $$\frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT} \iff PT \cdot PT = PA \cdot PB \iff PT^2 = PA \cdot PB$$

Complemento didáctico: La tangente $PT$ es la media geométrica entre el segmento exterior $PA$ y el segmento total $PB$: $PT = \sqrt{PA \cdot PB}$. Si te dan el exterior y el total, ¡multiplícalos y saca la raíz para encontrar la tangente al instante!

Comprueba tu avance ¿Cuál es la fórmula del Teorema de la Tangente y la Secante?

Definiciones clave

  • Teorema de tangente y secante: Relación cuadrática $PT^2 = PA \cdot PB$.
  • Media geométrica: Propiedad de $PT$ como raíz del producto exterior por total ($PT = \sqrt{PA \cdot PB}$).
  • Semejanza semiinscrito-inscrito ($\triangle PTA \sim \triangle PBT$): Demostración euclidiana rigurosa.

Propiedades y relaciones importantes

  • Límite unificado: Coincide con el Teorema de las Secantes cuando los dos puntos de corte de una de ellas colapsan en $T$.
  • Despeje de tangente: $PT = \sqrt{PA \cdot PB}$.
  • Despeje de total de secante: $PB = \frac{PT^2}{PA}$.
  • Despeje de exterior de secante: $PA = \frac{PT^2}{PB}$.

Ejemplo guiado

Ejemplos de cálculo con teorema tangente-secante

Desde un punto exterior $P$ se traza una tangente $\overline{PT}$ y una secante que corta a la circunferencia en $A$ y $B$. El segmento exterior es $PA = 3\text{ cm}$ y la cuerda interior es $AB = 9\text{ cm}$. Calcula la longitud del segmento tangente $PT$. Además, si en otra figura $PT = 10\text{ cm}$ y $PA = 5\text{ cm}$, calcula la longitud de la cuerda interior $AB$.

  • Paso 1: Calcular el segmento total de la secante: $PB = PA + AB = 3 + 9 = 12\text{ cm}$.
  • Paso 2: Aplicar el Teorema de la Tangente y Secante: $PT^2 = PA \cdot PB = 3 \cdot 12 = 36$.
  • Paso 3: Extraer la raíz cuadrada: $PT = \sqrt{36} = 6\text{ cm}$.
  • Paso 4: Para el segundo caso con $PT = 10$ y $PA = 5$, plantear la ecuación: $10^2 = 5 \cdot PB \implies 100 = 5 \cdot PB$.
  • Paso 5: Despejar $PB$: $PB = \frac{100}{5} = 20\text{ cm}$.
  • Paso 6: Hallar la cuerda interior: $AB = PB - PA = 20 - 5 = 15\text{ cm}$.
Comprueba tu avance Si una secante tiene segmento exterior PA = 2 cm y segmento total PB = 18 cm, ¿cuánto mide el segmento tangente PT?

Procedimiento

  • 1. Calcular el segmento total de la secante sumando exterior más cuerda ($PB = PA + AB$).
  • 2. Multiplicar el exterior por el total: $\text{Producto} = PA \cdot PB$.
  • 3. Igualar al cuadrado de la tangente: $PT^2 = PA \cdot PB$.
  • 4. Extraer raíz cuadrada para hallar la longitud de la tangente: $PT = \sqrt{PA \cdot PB}$.
  • 5. Si se conoce la tangente, elevar al cuadrado y despejar el total de la secante: $PB = \frac{PT^2}{PA}$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común 1: Olvidar elevar la tangente al cuadrado ($PT = PA \cdot PB$). Corrección: La relación es cuadrática: $PT^2 = PA \cdot PB$.
  • Error común 2: Multiplicar el exterior por la cuerda interior en vez del total ($PT^2 = PA \cdot AB$). Corrección: Debe multiplicarse siempre por el TOTAL ($PB = PA + AB$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Una secante tiene segmento exterior $PA = 4\text{ cm}$ y segmento total $PB = 16\text{ cm}$. ¿Cuánto mide el segmento tangente $PT$?
2 ¿Es el cuadrado del segmento tangente igual al producto del segmento exterior por el segmento total de cualquier secante trazada desde el mismo punto?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"'No extraer la raíz cuadrada al despejar el segmento tangente $PT$.'"
"'La demostración se basa en la semejanza de triángulos $\triangle PTA \sim \triangle PBT$.'"
"'Multiplicar por la cuerda interna en vez del segmento total de la secante.'"
"'El segmento tangente es la media geométrica entre el segmento exterior y el total de la secante ($PT = \sqrt{PA \cdot PB}$).'"
"'El Teorema de la Tangente y Secante establece que $PT^2 = PA \cdot PB$.'"
"'Olvidar elevar el segmento tangente al cuadrado.'"

Al terminar debes poder

Síntesis de teorema de tangente y secante

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular longitudes de segmentos tangentes y secantes mediante el Teorema de la Tangente y Secante.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Resolviendo $PT^2 = PA \cdot PB$ con $PT = \sqrt{PA \cdot (PA + AB)}$.

Fuente: Texto escolar oficial de Matemáticas y estándares curriculares PAES

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Si PA=4 y PB=9, entonces PT=6.

  2. El teorema de la tangente y la secante establece que:

  3. ¿Cómo se relaciona este teorema con el de las secantes?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Al despejar PT de la ecuación PT²=PA×PB, no es necesario sacar raíz cuadrada.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Si PT=10 cm y PA=5 cm, entonces PB=20 cm.

  2. PT=9 cm y PB=27 cm. ¿Cuánto mide PA?

  3. PA=3 cm, PB=12 cm. ¿Cuánto mide PT?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. El teorema de la tangente y la secante es un caso particular del concepto de potencia de un punto exterior.

  2. Un observador en un punto P traza una línea tangente a una isla circular y otra secante. El segmento exterior de la secante mide 5 m y el total 20 m. ¿Cuánto mide el segmento tangente?

  3. ¿Cuál es el error frecuente al aplicar este teorema?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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