Teorema de la tangente y la secante como igualdad entre cuadrado de tangente y producto de secante

Resumen inicial

Teorema de la tangente y la secante como igualdad entre cuadrado de tangente y producto de secante: conceptos, teoremas, propiedades geométricas y cálculo en Circunferencia y Círculo.

Explicación en palabras simples

Cuando desde un punto exterior se traza una tangente y una secante, existe una relación precisa: el cuadrado de la tangente es igual al producto de los segmentos de la secante.

Explicación formal

Teorema de la tangente y la secante: PT² = PA×PB

Definición formal

Si desde un punto exterior $P$ se traza una tangente que toca la circunferencia en $T$ y una secante que la corta en $A$ (cercano) y $B$ (lejano), se cumple $PT^2=PA\times PB$. Se demuestra mediante semejanza de los triángulos $PTA$ y $PBT$ (ángulo en $P$ compartido y el ángulo semiinscrito igual al ángulo inscrito correspondiente).

Desarrollo didáctico

Si $PA=4$ cm y $PB=9$ cm, entonces $PT^2=4\times9=36$, de donde $PT=\sqrt{36}=6$ cm. Este teorema es un caso límite del teorema de las secantes, cuando una de las dos secantes se convierte en tangente (sus dos puntos de corte se juntan en uno solo).

Definiciones clave

Teorema de la tangente y la secante como igualdad entre cuadrado de tangente y producto de secante: Elemento o propiedad fundamental en el estudio de circunferencia y círculo.

Propiedades y relaciones importantes

Relaciones geométricas: Conexión entre vértices, lados, ángulos o trasformaciones asociadas a teorema de la tangente y la secante como igualdad entre cuadrado de tangente y producto de secante.

Ejemplo guiado

En el estudio de teorema de la tangente y la secante como igualdad entre cuadrado de tangente y producto de secante, considera una circunferencia o región circular de radio $r = 6\text{ cm}$ y un parámetro angular de $79^\circ$. Calcula el valor pedido.

Aplicar la fórmula de teorema de la tangente y la secante como igualdad entre cuadrado de tangente y producto de secante con $r = 6$ y ángulo $79^\circ$.
Sustituir los valores numéricos en la expresión geométrica.
Concluir el resultado obtenido para teorema de la tangente y la secante como igualdad entre cuadrado de tangente y producto de secante.

Procedimiento

Paso 1: Identifica el segmento tangente PT y los segmentos exterior (PA) y total (PB) de la secante.
Paso 2: Plantea la igualdad PT²=PA×PB, sustituyendo los valores conocidos.
Paso 3: Despeja la incógnita, recordando sacar raíz cuadrada si la incógnita es PT.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Evita confundir las unidades de medida (longitud vs. área vs. volumen) al trabajar con teorema de la tangente y la secante como igualdad entre cuadrado de tangente y producto de secante.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos interiores es siempre $180^\circ$."

"Las transformaciones isométricas (traslación, rotación, reflexión) conservan la forma y el tamaño de la figura original."

"Usar la fórmula de perímetro en lugar de la de área al resolver problemas de teorema de la tangente y la secante como igualdad entre cuadrado de tangente y producto de secante."

"Declarar la altura con la mediana o la bisectriz en un triángulo arbitrario."

"Sumar longitudes y áreas como si tuvieran las mismas dimensiones en teorema de la tangente y la secante como igualdad entre cuadrado de tangente y producto de secante."

"Declarar un ángulo agudo con un ángulo obtuso en teorema de la tangente y la secante como igualdad entre cuadrado de tangente y producto de secante."

"Omitir elevar al cuadrado la razón de semejanza al comparar áreas en teorema de la tangente y la secante como igualdad entre cuadrado de tangente y producto de secante."

Al terminar debes poder

Identificar, calcular y aplicar las propiedades de teorema de la tangente y la secante como igualdad entre cuadrado de tangente y producto de secante en problemas geométricos.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Si PA=4 y PB=9, entonces PT=6.
El teorema de la tangente y la secante establece que:
Es el enunciado exacto del teorema.

Respuesta: A) PT²=PA×PB
¿Cómo se relaciona este teorema con el de las secantes?
Cuando los dos puntos de corte de una secante se juntan en uno, se obtiene la tangente.

Respuesta: A) Es el caso límite cuando una secante se convierte en tangente

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Al despejar PT de la ecuación PT²=PA×PB, no es necesario sacar raíz cuadrada.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Si PT=10 cm y PA=5 cm, entonces PB=20 cm.
PT=9 cm y PB=27 cm. ¿Cuánto mide PA?
9²=81=PA×27 → PA=81/27=3 cm.

Respuesta: A) 3 cm
PA=3 cm, PB=12 cm. ¿Cuánto mide PT?
PT²=3×12=36 → PT=6.

Respuesta: A) 6 cm

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

El teorema de la tangente y la secante es un caso particular del concepto de potencia de un punto exterior.
Un observador en un punto P traza una línea tangente a una isla circular y otra secante. El segmento exterior de la secante mide 5 m y el total 20 m. ¿Cuánto mide el segmento tangente?
PT²=5×20=100 → PT=10 m.

Respuesta: A) 10 m
¿Cuál es el error frecuente al aplicar este teorema?
Es un error común dejar el resultado como PA×PB sin extraer la raíz.

Respuesta: A) Olvidar sacar raíz cuadrada al despejar PT

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación