Teorema de la tangente y la secante como igualdad entre cuadrado de tangente y producto de secante
Aplicar el teorema de la tangente y la secante para calcular longitudes desconocidas mediante la igualdad entre el cuadrado del segmento tangente y el producto de los segmentos de la secante.
Introducción
Cuando desde un punto exterior se traza una tangente y una secante, existe una relación precisa: el cuadrado de la tangente es igual al producto de los segmentos de la secante.
Explicación
Definición formal
Si desde un punto exterior $P$ se traza una tangente que toca la circunferencia en $T$ y una secante que la corta en $A$ (cercano) y $B$ (lejano), se cumple $PT^2=PA\times PB$. Se demuestra mediante semejanza de los triángulos $PTA$ y $PBT$ (ángulo en $P$ compartido y el ángulo semiinscrito igual al ángulo inscrito correspondiente).
Desarrollo didáctico
Si $PA=4$ cm y $PB=9$ cm, entonces $PT^2=4\times9=36$, de donde $PT=\sqrt{36}=6$ cm. Este teorema es un caso límite del teorema de las secantes, cuando una de las dos secantes se convierte en tangente (sus dos puntos de corte se juntan en uno solo).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el segmento tangente PT y los segmentos exterior (PA) y total (PB) de la secante.
- Paso 2: Plantea la igualdad PT²=PA×PB, sustituyendo los valores conocidos.
- Paso 3: Despeja la incógnita, recordando sacar raíz cuadrada si la incógnita es PT.
Ejemplos
1 PA=4 cm y PB=9 cm.
- PT²=4×9=36 → PT=√36=6 cm.
2 PT=8 cm y PA=4 cm.
- 8²=4×PB → 64=4×PB → PB=64/4=16 cm.
3 ¿Se debe sacar raíz cuadrada al despejar PT?
- Sí, ya que la ecuación involucra PT al cuadrado, se debe extraer la raíz cuadrada al despejar.
4 ¿Este teorema es un caso particular del teorema de las secantes?
- Sí, corresponde al caso límite en que una secante se convierte en tangente (sus dos puntos de corte coinciden en T).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar elevar al cuadrado el segmento tangente al plantear la ecuación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar sacar raíz cuadrada al despejar PT a partir del producto PA×PB."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el segmento exterior con el total de la secante al sustituir en la fórmula."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si desde un punto exterior $P$ se traza una tangente (que toca en $T$) y una secante (que corta en $A$ cercano y $B$ lejano), entonces $PT^2 = PA \times PB$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si PA=4 y PB=9, entonces PT=6.
PT²=4×9=36 → PT=6.
Respuesta: Verdadero
-
El teorema de la tangente y la secante establece que:
Es el enunciado exacto del teorema.
Respuesta: A) PT²=PA×PB
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¿Cómo se relaciona este teorema con el de las secantes?
Cuando los dos puntos de corte de una secante se juntan en uno, se obtiene la tangente.
Respuesta: A) Es el caso límite cuando una secante se convierte en tangente
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Al despejar PT de la ecuación PT²=PA×PB, no es necesario sacar raíz cuadrada.
Es necesario extraer la raíz cuadrada, ya que la ecuación tiene PT al cuadrado.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si PT=10 cm y PA=5 cm, entonces PB=20 cm.
10²=5×PB → 100=5×PB → PB=20.
Respuesta: Verdadero
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PT=9 cm y PB=27 cm. ¿Cuánto mide PA?
9²=81=PA×27 → PA=81/27=3 cm.
Respuesta: A) 3 cm
-
PA=3 cm, PB=12 cm. ¿Cuánto mide PT?
PT²=3×12=36 → PT=6.
Respuesta: A) 6 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El teorema de la tangente y la secante es un caso particular del concepto de potencia de un punto exterior.
La potencia de un punto exterior puede calcularse como PT² (o equivalentemente PA×PB).
Respuesta: Verdadero
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Un observador en un punto P traza una línea tangente a una isla circular y otra secante. El segmento exterior de la secante mide 5 m y el total 20 m. ¿Cuánto mide el segmento tangente?
PT²=5×20=100 → PT=10 m.
Respuesta: A) 10 m
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar este teorema?
Es un error común dejar el resultado como PA×PB sin extraer la raíz.
Respuesta: A) Olvidar sacar raíz cuadrada al despejar PT