Identificación de segmentos determinados por cuerdas que se intersectan dentro de la circunferencia

Resumen inicial

Al cruzarse dos cuerdas dentro de una circunferencia, el punto de intersección común determina dos segmentos medidos sobre cada cuerda desde dicho punto hacia los extremos.

Explicación en palabras simples

Imagina dos palitos rectos (dos cuerdas $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$) cruzados formando una 'X' dentro de una pizza redonda. El punto donde se tocan los palitos es el punto de cruce $P$.

Ese punto $P$ parte a cada palito en dos trozos:
- El palito $AB$ queda dividido en dos partes: el trozo $PA$ y el trozo $PB$.
- El palito $CD$ queda dividido en dos partes: el trozo $PC$ y el trozo $PD$.

¡El secreto para no equivocarse nunca en la PAES es que todos los trozos se miden saliendo desde el punto de cruce $P$! La longitud total del palito es simplemente la suma de sus dos trozos: $AB = PA + PB$ y $CD = PC + PD$.

Segmentos determinados por cuerdas

Explicación formal

Partición de cuerdas por intersección interior

Sean $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ dos cuerdas de una circunferencia $\mathcal{C}(O, r)$ que se intersecan en un punto interior $P$ ($P \in \text{Int}(\mathcal{C})$). Por el axioma de ordenación lineal de los puntos en el plano euclidiano:
- El punto $P$ pertenece al segmento abierto $(A, B)$, determinando los segmentos componentes $\overline{PA}$ y $\overline{PB}$ colineales y disjuntos en su interior, tales que:
$$AB = PA + PB$$
- Análogamente, $P \in (C, D)$, determinando los segmentos componentes $\overline{PC}$ y $\overline{PD}$ con:
$$CD = PC + PD$$

Parámetro de origen común en $P$

En las relaciones métricas del círculo, el punto $P$ actúa como el origen común de los cuatro vectores o distancias escalares $d(P, A)$, $d(P, B)$, $d(P, C)$ y $d(P, D)$. La identificación correcta exige no mezclar segmentos pertenecientes a distintas cuerdas ni medir distancias que no tengan a $P$ como uno de sus extremos.

Complemento didáctico: Pon tu lápiz en el punto de cruce $P$. Desde allí, dibuja cuatro flechas hacia los cuatro extremos de la circunferencia: $P \to A$, $P \to B$, $P \to C$ y $P \to D$. ¡Esos cuatro caminos son exactamente los cuatro segmentos que usarás en las fórmulas!

Definiciones clave

Punto de intersección interior ($P$): Punto coplanar donde se cortan dos cuerdas dentro del círculo.
Segmentos de una cuerda ($\overline{PA}, \overline{PB}$): Las dos subdivisiones generadas por $P$ sobre la cuerda $\overline{AB}$.
Longitud total aditiva: Relación métrica $AB = PA + PB$.

Propiedades y relaciones importantes

Colinealidad: $A, P, B$ son colineales y $C, P, D$ son colineales.
Invarianza del centro: El punto $P$ no tiene por qué coincidir con el centro $O$.
Punto medio: Si $P$ es el punto medio de $\overline{AB}$, entonces $PA = PB = \frac{AB}{2}$.

Ejemplo guiado

Ejemplos de segmentos de cuerdas

Una cuerda $\overline{AB}$ de $14\text{ cm}$ se corta con otra cuerda en el punto interior $P$. Si el segmento $PA$ mide $5\text{ cm}$, determina la longitud del segmento $PB$. Si en la otra cuerda $PC = 3\text{ cm}$ y $CD = 10\text{ cm}$, determina $PD$.

Paso 1: Identificar la suma total para la primera cuerda: $AB = PA + PB = 14\text{ cm}$.
Paso 2: Despejar el segmento desconocido $PB$: $PB = AB - PA = 14 - 5 = 9\text{ cm}$.
Paso 3: Identificar la suma total para la segunda cuerda: $CD = PC + PD = 10\text{ cm}$.
Paso 4: Despejar $PD$: $PD = CD - PC = 10 - 3 = 7\text{ cm}$.

Procedimiento

1. Localizar el punto de cruce $P$ de las dos cuerdas en el interior de la circunferencia.
2. Identificar los dos extremos de la primera cuerda ($A$ y $B$) y definir sus segmentos $PA$ y $PB$.
3. Identificar los dos extremos de la segunda cuerda ($C$ y $D$) y definir sus segmentos $PC$ y $PD$.
4. Verificar que la suma de segmentos coincida con la longitud total de cada cuerda.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común 1: Medir los segmentos desde el centro $O$ cuando el cruce está en otro punto $P$. Corrección: Los segmentos se miden siempre desde el punto de cruce $P$.
Error común 2: Mezclar extremos de cuerdas distintas (ej. considerar $AC$ como segmento de cuerda). Corrección: Los segmentos deben ser partes colineales de la misma cuerda.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"'Todos los segmentos de cuerdas tienen como origen de medición el punto común de corte $P$.'"

"'Medir los segmentos desde el centro $O$ en vez de medirlos desde el punto de cruce $P$.'"

"'El punto de intersección $P$ divide a cada cuerda en dos segmentos colineales.'"

"'Restar en lugar de sumar para obtener la longitud total de la cuerda ($AB = PA + PB$).'"

"'Confundir las distancias entre extremos de distintas cuerdas con los segmentos de una misma cuerda.'"

"'La longitud total de una cuerda es la suma de los dos segmentos determinados por $P$ ($AB = PA + PB$).'"

Al terminar debes poder

Síntesis de segmentos de cuerdas

Identificar con precisión los segmentos determinados por dos cuerdas que se cruzan en un punto interior $P$.

Verificando el origen común $P$ y las sumas $AB = PA + PB$, $CD = PC + PD$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

El punto de cruce P divide a cada cuerda en dos segmentos.
Cuando dos cuerdas AB y CD se cruzan en un punto P, ¿cuántos segmentos quedan determinados en total?
PA, PB, PC y PD: dos segmentos por cada cuerda.

Respuesta: A) Cuatro
Si las cuerdas son AB y CD, y se cruzan en P, ¿cuáles son los segmentos de la cuerda CD?
Los segmentos de la cuerda CD son PC y PD, determinados por el punto P.

Respuesta: A) PC y PD

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

PA y PD siempre pertenecen a la misma cuerda.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Si una cuerda EF se cruza con otra cuerda GH en el punto P, los segmentos PE y PF pertenecen a la misma cuerda EF.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente la ubicación del punto P?
Por definición del teorema de las cuerdas, P es interior al círculo.

Respuesta: A) P es el punto interior donde se cruzan ambas cuerdas
En una circunferencia, las cuerdas MN y OQ se cruzan en el punto P. ¿Cuáles son los cuatro segmentos determinados?
Cada cuerda se divide en dos segmentos por el punto de cruce P.

Respuesta: A) PM, PN, PO, PQ

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

La correcta identificación de estos cuatro segmentos es un paso previo necesario para aplicar el teorema de las cuerdas.
En el diseño de una vidriera circular, dos varillas rectas (cuerdas) se cruzan en un punto P dentro del círculo. ¿Cuántos tramos de varilla quedan determinados en total por ese cruce?
Cada varilla (cuerda) queda dividida en dos tramos por el punto de cruce, dando cuatro en total.

Respuesta: A) Cuatro
¿Cuál es el error frecuente al identificar estos segmentos?
Es un error común no distinguir a qué cuerda pertenece cada segmento.

Respuesta: A) Mezclar segmentos de una cuerda con los de la otra

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación