Definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

Definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia: conceptos, teoremas, propiedades geométricas y cálculo en Circunferencia y Círculo.

Explicación en palabras simples

La potencia de un punto es un número que resume, en una sola fórmula, si un punto está dentro, fuera o justo sobre una circunferencia, y sirve de base para los teoremas de cuerdas, secantes y tangentes.

Explicación formal

Potencia de un punto: los tres casos

Definición formal

Dada una circunferencia de centro $O$ y radio $r$, la potencia de un punto $P$ respecto de ella es $\text{pot}(P)=PO^2-r^2$, donde $PO$ es la distancia de $P$ al centro. Si $P$ es exterior ($PO>r$), la potencia es positiva; si $P$ es interior ($PO<r$), es negativa; si $P$ está sobre la circunferencia ($PO=r$), la potencia es exactamente cero.</p>

Desarrollo didáctico

Esta definición unifica los teoremas de cuerdas, secantes y tangente-secante: en todos los casos, el producto de segmentos (o su negativo, según la posición) es igual al valor absoluto de la potencia del punto. Así, $\text{pot}(P)$ es una única fórmula que sintetiza los tres teoremas de proporcionalidad métrica en la circunferencia.

Comprueba tu avance ¿Cuál es la propiedad o definición fundamental asociada a definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia?

Definiciones clave

  • Definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia: Elemento o propiedad fundamental en el estudio de circunferencia y círculo.

Propiedades y relaciones importantes

  • Relaciones geométricas: Conexión entre vértices, lados, ángulos o trasformaciones asociadas a definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia.

Ejemplo guiado

En el estudio de definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia, considera una circunferencia o región circular de radio $r = 10\text{ cm}$ y un parámetro angular de $141^\circ$. Calcula el valor pedido.

  • Aplicar la fórmula de definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia con $r = 10$ y ángulo $141^\circ$.
  • Sustituir los valores numéricos en la expresión geométrica.
  • Concluir el resultado obtenido para definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia.
Comprueba tu avance Al resolver un problema numérico sobre definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia, ¿qué paso operativo es esencial?

Procedimiento

  • Paso 1: Calcula la distancia PO entre el punto P y el centro O de la circunferencia.
  • Paso 2: Aplica la fórmula pot(P)=PO²-r², usando el radio r de la circunferencia.
  • Paso 3: Interpreta el signo del resultado: positivo (exterior), negativo (interior) o cero (sobre la circunferencia).

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Evita confundir las unidades de medida (longitud vs. área vs. volumen) al trabajar con definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Aplica los conceptos de definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia para determinar la medida solicitada.
2 Analiza la propiedad geométrica de definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia y elige la respuesta adecuada.
3 ¿Se cumple siempre la propiedad principal de definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia en figuras congruentes?
4 ¿Puede definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia asumir un valor negativo cuando representa una longitud geométrica?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Las transformaciones isométricas (traslación, rotación, reflexión) conservan la forma y el tamaño de la figura original."
"Declarar un ángulo agudo con un ángulo obtuso en definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia."
"Usar la fórmula de perímetro en lugar de la de área al resolver problemas de definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia."
"En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos interiores es siempre $180^\circ$."
"Declarar la altura con la mediana o la bisectriz en un triángulo arbitrario."
"Sumar longitudes y áreas como si tuvieran las mismas dimensiones en definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia."
"Omitir elevar al cuadrado la razón de semejanza al comparar áreas en definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia."

Al terminar debes poder

Identificar, calcular y aplicar las propiedades de definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia en problemas geométricos.

Fuente: Elaboración propia (sin fuente específica).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. La potencia de un punto P respecto de una circunferencia de centro O y radio r se define como:

  2. Si el punto P está sobre la circunferencia, su potencia es cero.

  3. ¿Qué indica una potencia negativa?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. La potencia de un punto exterior siempre es negativa.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Un punto P está a 13 cm del centro de una circunferencia de radio 5 cm. ¿Cuál es su potencia?

  2. Un punto a 4 cm del centro de una circunferencia de radio 9 cm tiene potencia -65.

  3. Un punto tiene potencia 0 respecto de una circunferencia de radio 8 cm. ¿A qué distancia del centro está?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un dron se ubica a 17 m del centro de una zona de exclusión circular de radio 15 m. ¿Cuál es su potencia respecto de esa circunferencia, y qué indica el signo?

  2. La potencia de un punto unifica en una sola fórmula los teoremas de cuerdas, secantes y tangente-secante.

  3. ¿Cuál es el error frecuente al interpretar la potencia de un punto?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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