Definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

La potencia de un punto respecto de una circunferencia es el valor algebraico invariante definido por P(P) = d² - r², donde d es la distancia del punto al centro y r es el radio.

Explicación en palabras simples

Imagina que tienes una circunferencia de centro $O$ y radio $r$, y marcas un punto cualquiera $P$ en el plano. La distancia en línea recta desde $P$ hasta el centro $O$ la llamamos $d$.

La potencia del punto $P$ es un número algebraico muy especial que se calcula restando los cuadrados: $$\mathbf{\mathcal{P}(P) = d^2 - r^2}$$

Este número te dice exactamente dónde está parado el punto:
- Si el punto está afuera ($d > r$), la potencia es positiva (+).
- Si el punto está justo en el borde de la circunferencia ($d = r$), la potencia es cero (0).
- Si el punto está adentro ($d < r$), la potencia es negativa (-).

Además, cuando el punto está afuera, ¡la potencia es exactamente igual al cuadrado de la recta tangente!: $\mathcal{P}(P) = PT^2$.

Definición de potencia de un punto

Explicación formal

Definición formal de la potencia de un punto

Sea $\mathcal{C}(O, r)$ una circunferencia en el plano euclidiano de centro $O$ y radio $r$. Para cualquier punto $P \in \mathbb{R}^2$, se define la potencia del punto $P$ respecto a $\mathcal{C}$ como el escalar real:
$$\mathcal{P}(P) = d(P, O)^2 - r^2 = d^2 - r^2$$

Clasificación y signo topológico

  1. Punto exterior: $d > r \iff \mathcal{P}(P) > 0$. La potencia es estrictamente positiva y coincide con el cuadrado de la longitud del segmento tangente $PT$:
    $$\mathcal{P}(P) = PT^2 = d^2 - r^2 \quad (\text{por Pitágoras en } \triangle OTP)$$
  2. Punto sobre la circunferencia: $d = r \iff \mathcal{P}(P) = 0$. El lugar geométrico de puntos con potencia nula es la propia circunferencia $\mathcal{C}$.
  3. Punto interior: $d < r \iff \mathcal{P}(P) < 0$. La potencia es estrictamente negativa. Su valor absoluto representa el producto de las distancias euclidianas a los extremos de cualquier cuerda que pase por $P$:
    $$|\mathcal{P}(P)| = r^2 - d^2 = PA \cdot PB$$

Complemento didáctico: La potencia es como el 'pasaporte' de un punto respecto al círculo: mirando solo su signo sabes si está afuera ($+$), en el borde ($0$) o adentro ($-$). ¡Nunca olvides que las dos magnitudes van al cuadrado ($d^2 - r^2$)!

Comprueba tu avance ¿Cuál es la fórmula algebraica de la potencia de un punto P a distancia d del centro de una circunferencia de radio r?

Definiciones clave

  • Potencia de un punto ($\mathcal{P}(P)$): Valor escalar algebraico $d^2 - r^2$.
  • Distancia al centro ($d$): Segmento $OP = d(P, O)$.
  • Radio de la circunferencia ($r$): Distancia del centro a la curva.

Propiedades y relaciones importantes

  • Signo invariante: Positivo afuera, cero en la curva, negativo adentro.
  • Mínimo absoluto: Se alcanza en el centro $P = O$ ($d = 0$), donde $\mathcal{P}(O) = -r^2$.
  • Eje radical: Lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto a dos circunferencias dadas.

Ejemplo guiado

Ejemplos de potencia de un punto

Una circunferencia tiene radio $r = 5\text{ cm}$. Calcula la potencia de tres puntos distintos:
1. Un punto $P_1$ a distancia $d_1 = 13\text{ cm}$ del centro.
2. Un punto $P_2$ a distancia $d_2 = 5\text{ cm}$ del centro.
3. Un punto $P_3$ a distancia $d_3 = 3\text{ cm}$ del centro.

  • Paso 1: Para $P_1$ (exterior): $\mathcal{P}(P_1) = d_1^2 - r^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ (positiva).
  • Paso 2: Para $P_2$ (sobre la curva): $\mathcal{P}(P_2) = d_2^2 - r^2 = 5^2 - 5^2 = 25 - 25 = 0$ (nula).
  • Paso 3: Para $P_3$ (interior): $\mathcal{P}(P_3) = d_3^2 - r^2 = 3^2 - 5^2 = 9 - 25 = -16$ (negativa).
Comprueba tu avance ¿Qué signo tiene la potencia de un punto ubicado en el interior de la circunferencia?

Procedimiento

  • 1. Identificar la distancia del punto al centro ($d = OP$) y el radio de la circunferencia ($r$).
  • 2. Elevar ambas cantidades al cuadrado: $d^2$ y $r^2$.
  • 3. Restar: $\mathcal{P}(P) = d^2 - r^2$.
  • 4. Verificar coherencia del signo según la posición del punto (exterior $> 0$, borde $= 0$, interior $< 0$).

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común 1: Restar sin elevar al cuadrado ($d - r$). Corrección: La potencia requiere obligatoriamente elevar ambas variables al cuadrado ($d^2 - r^2$).
  • Error común 2: Creer que la potencia siempre es positiva. Corrección: Para puntos interiores es negativa ($d < r \implies d^2 - r^2 < 0$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Un punto $P$ está a $10\text{ cm}$ del centro de una circunferencia de radio $r = 6\text{ cm}$. ¿Cuál es su potencia?
2 ¿Es la potencia de cualquier punto que pertenezca a la circunferencia igual a 0?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"'La potencia de un punto respecto a una circunferencia se define como $\mathcal{P}(P) = d^2 - r^2$.'"
"'La potencia es positiva para puntos exteriores, cero en la circunferencia y negativa en el interior.'"
"'Restar $d - r$ olvidando elevar los términos al cuadrado.'"
"'Confundir la distancia al centro $d$ con la distancia al borde de la circunferencia.'"
"'Para un punto exterior, la potencia coincide con el cuadrado del segmento tangente ($PT^2$).'"
"'Considerar la potencia de un punto interior como positiva sin respetar el signo negativo.'"

Al terminar debes poder

Síntesis de definición de potencia

🎯 QUÉ Objetivo

Definir y calcular la potencia de un punto respecto a una circunferencia e interpretar su signo geométrico.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Aplicando la fórmula $\mathcal{P}(P) = d^2 - r^2$.

Fuente: Texto escolar oficial de Matemáticas y estándares curriculares PAES

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. La potencia de un punto P respecto de una circunferencia de centro O y radio r se define como:

  2. Si el punto P está sobre la circunferencia, su potencia es cero.

  3. ¿Qué indica una potencia negativa?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. La potencia de un punto exterior siempre es negativa.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Un punto P está a 13 cm del centro de una circunferencia de radio 5 cm. ¿Cuál es su potencia?

  2. Un punto a 4 cm del centro de una circunferencia de radio 9 cm tiene potencia -65.

  3. Un punto tiene potencia 0 respecto de una circunferencia de radio 8 cm. ¿A qué distancia del centro está?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un dron se ubica a 17 m del centro de una zona de exclusión circular de radio 15 m. ¿Cuál es su potencia respecto de esa circunferencia, y qué indica el signo?

  2. La potencia de un punto unifica en una sola fórmula los teoremas de cuerdas, secantes y tangente-secante.

  3. ¿Cuál es el error frecuente al interpretar la potencia de un punto?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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