Definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia
Definir la potencia de un punto respecto de una circunferencia y reconocer su signo según la posición del punto (exterior, interior o sobre la circunferencia).
Introducción
La potencia de un punto es un número que resume, en una sola fórmula, si un punto está dentro, fuera o justo sobre una circunferencia, y sirve de base para los teoremas de cuerdas, secantes y tangentes.
Explicación
Definición formal
Dada una circunferencia de centro $O$ y radio $r$, la potencia de un punto $P$ respecto de ella es $\text{pot}(P)=PO^2-r^2$, donde $PO$ es la distancia de $P$ al centro. Si $P$ es exterior ($PO>r$), la potencia es positiva; si $P$ es interior ($PO<r$), es negativa; si $P$ está sobre la circunferencia ($PO=r$), la potencia es exactamente cero.</p>
Desarrollo didáctico
Esta definición unifica los teoremas de cuerdas, secantes y tangente-secante: en todos los casos, el producto de segmentos (o su negativo, según la posición) es igual al valor absoluto de la potencia del punto. Así, $\text{pot}(P)$ es una única fórmula que sintetiza los tres teoremas de proporcionalidad métrica en la circunferencia.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula la distancia PO entre el punto P y el centro O de la circunferencia.
- Paso 2: Aplica la fórmula pot(P)=PO²-r², usando el radio r de la circunferencia.
- Paso 3: Interpreta el signo del resultado: positivo (exterior), negativo (interior) o cero (sobre la circunferencia).
Ejemplos
1 Un punto P está a 10 cm del centro de una circunferencia de radio 6 cm.
- pot(P)=10²-6²=100-36=64 (positiva, ya que P es exterior).
2 Un punto P está a 3 cm del centro de una circunferencia de radio 7 cm.
- pot(P)=3²-7²=9-49=-40 (negativa, ya que P es interior).
3 ¿La potencia de un punto sobre la circunferencia es siempre cero?
- Sí, porque en ese caso PO=r, por lo que PO²-r²=0.
4 ¿Una potencia negativa significa que el cálculo está mal hecho?
- No, una potencia negativa simplemente indica que el punto es interior a la circunferencia; es un resultado válido y esperado.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Interpretar una potencia negativa como un error de cálculo, en vez de reconocerla como indicador de punto interior."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar elevar al cuadrado tanto la distancia PO como el radio r antes de restar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el orden de la resta (r²-PO² en vez de PO²-r²), lo que invierte el signo del resultado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La potencia de un punto $P$ respecto de una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ se define como $\text{pot}(P)=PO^2-r^2$: es positiva si $P$ es exterior, negativa si es interior, y cero si $P$ está sobre la circunferencia.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La potencia de un punto P respecto de una circunferencia de centro O y radio r se define como:
Es la definición formal de potencia de un punto.
Respuesta: A) PO²-r²
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Si el punto P está sobre la circunferencia, su potencia es cero.
Cuando PO=r, PO²-r²=0.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué indica una potencia negativa?
Cuando PO<r, PO²-r² resulta negativo.
Respuesta: A) Que el punto es interior a la circunferencia
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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La potencia de un punto exterior siempre es negativa.
La potencia de un punto exterior es positiva, ya que PO>r.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Un punto P está a 13 cm del centro de una circunferencia de radio 5 cm. ¿Cuál es su potencia?
pot(P)=13²-5²=169-25=144.
Respuesta: A) 144
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Un punto a 4 cm del centro de una circunferencia de radio 9 cm tiene potencia -65.
4²-9²=16-81=-65.
Respuesta: Verdadero
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Un punto tiene potencia 0 respecto de una circunferencia de radio 8 cm. ¿A qué distancia del centro está?
pot(P)=PO²-64=0 → PO²=64 → PO=8, es decir, está sobre la circunferencia.
Respuesta: A) 8 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un dron se ubica a 17 m del centro de una zona de exclusión circular de radio 15 m. ¿Cuál es su potencia respecto de esa circunferencia, y qué indica el signo?
pot=17²-15²=289-225=64, positiva porque 17>15 (exterior).
Respuesta: A) 64 (positiva, el dron está fuera de la zona)
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La potencia de un punto unifica en una sola fórmula los teoremas de cuerdas, secantes y tangente-secante.
Todos esos teoremas son casos particulares del concepto general de potencia de un punto.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es el error frecuente al interpretar la potencia de un punto?
Es un error común no aceptar valores negativos como resultado válido.
Respuesta: A) Pensar que una potencia negativa es un error de cálculo