Cálculo de potencia de un punto usando cuerdas, secantes o tangentes

Resumen inicial

El Teorema de la Potencia Unificada vincula todas las relaciones métricas del círculo, demostrando que d² - r², PT² (tangente), PA · PB (secante) y PC · PD (cuerdas) son exactamente el mismo valor constante.

Explicación en palabras simples

¿Te has preguntado por qué el Teorema de las Cuerdas, el de las Secantes y el de la Tangente se parecen tanto? ¡Porque todos son la misma cosa vista desde distintos ángulos!

El concepto que une a todos los teoremas métricos del círculo es la potencia de un punto:
- Si el punto $P$ está afuera, $d^2 - r^2$ es igual al cuadrado de la tangente ($PT^2$) y al producto de cualquier secante ($PA \cdot PB$):
$$\mathcal{P}(P) = PT^2 = PA \cdot PB = d^2 - r^2$$
- Si el punto $P$ está adentro, el producto de los trozos de cualquier cuerda es igual a $r^2 - d^2$:
$$|\mathcal{P}(P)| = PA \cdot PB = r^2 - d^2$$

Esto te da un superpoder matemático en la PAES: si te dan los trozos de una secante, ¡puedes averiguar la distancia al centro $d$ o el radio $r$ al instante!

Cálculo unificado de potencia

Explicación formal

Teorema general de la potencia de un punto

Sea $\mathcal{C}(O, r)$ una circunferencia y sea $P$ un punto del plano a distancia $d = d(P, O)$. Para cualquier recta secante que pase por $P$ e interseque a $\mathcal{C}$ en los puntos orientados $A$ y $B$, el producto escalar con signo de los vectores satisface:
$$\vec{PA} \cdot \vec{PB} = d^2 - r^2 = \mathcal{P}(P)$$

Equivalencias métricas fundamentales

Desde punto exterior ($d > r$):
$$\mathcal{P}(P) = PT^2 = PA \cdot PB = PC \cdot PD = d^2 - r^2$$
Esto permite despejar directamente la distancia al centro $d = \sqrt{PT^2 + r^2} = \sqrt{PA \cdot PB + r^2}$.
Desde punto interior ($d < r$):
Como los vectores $\vec{PA}$ y $\vec{PB}$ tienen sentidos opuestos, su producto escalar es negativo:
$$\vec{PA} \cdot \vec{PB} = - (PA \cdot PB) = d^2 - r^2 \iff PA \cdot PB = r^2 - d^2 = |\mathcal{P}(P)|$$
El producto de los segmentos de cualquier cuerda que pase por $P$ es constante e igual a la diferencia $r^2 - d^2$.

Complemento didáctico: ¡El puente de oro de la geometría! Si un ejercicio te da los segmentos de una secante ($PA$ y $PB$) y te pide la distancia al centro $d$, no te asustes: simplemente iguala $PA \cdot PB = d^2 - r^2$ y despeja $d$ con una raíz cuadrada. ¡Así de directo y elegante!

Definiciones clave

Potencia unificada: Principio invariante que engloba a los teoremas de cuerdas, secantes y tangentes.
Media geométrica tangencial: Relación $PT = \sqrt{d^2 - r^2}$.
Producto de cuerda interior: Igualdad $PA \cdot PB = r^2 - d^2$.

Propiedades y relaciones importantes

Despeje de distancia $d$: $d = \sqrt{PA \cdot PB + r^2}$ (para $P$ exterior).
Despeje de radio $r$: $r = \sqrt{d^2 - PA \cdot PB}$ (para $P$ exterior).
Independencia de la inclinación: Cualquier secante que pase por $P$ arroja exactamente el mismo valor constante de producto.

Ejemplo guiado

Ejemplos de cálculo de potencia unificada

Desde un punto exterior $P$ se traza una secante a una circunferencia de radio $r = 6\text{ cm}$. El segmento exterior es $PA = 9\text{ cm}$ y la cuerda interior es $AB = 7\text{ cm}$. Calcula el segmento total $PB$, la potencia del punto $\mathcal{P}(P)$, la longitud del segmento tangente $PT$ y la distancia $d$ desde el punto $P$ hasta el centro $O$.

Paso 1: Calcular el segmento total de la secante: $PB = PA + AB = 9 + 7 = 16\text{ cm}$.
Paso 2: Calcular el producto de la secante: $\mathcal{P}(P) = PA \cdot PB = 9 \cdot 16 = 144$.
Paso 3: Calcular el segmento tangente aplicando $PT^2 = \mathcal{P}(P)$: $PT = \sqrt{144} = 12\text{ cm}$.
Paso 4: Calcular la distancia al centro mediante la potencia: $d^2 - r^2 = 144 \implies d^2 - 6^2 = 144 \implies d^2 - 36 = 144$.
Paso 5: Despejar $d$: $d^2 = 180 \implies d = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \approx 13,42\text{ cm}$.

Procedimiento

1. Determinar si el punto $P$ es exterior o interior.
2. Si es exterior, igualar las expresiones: $\mathcal{P}(P) = PT^2 = PA \cdot PB = d^2 - r^2$.
3. Si es interior, igualar el producto de cuerdas al valor absoluto: $PA \cdot PB = r^2 - d^2$.
4. Sustituir los datos conocidos y despejar la magnitud solicitada (distancia al centro $d$, radio $r$, tangente $PT$ o segmentos de secante).

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común 1: Confundir la fórmula de punto interior con la de exterior. Corrección: Afuera es $d^2 - r^2$; adentro es $r^2 - d^2$.
Error común 2: No relacionar el teorema de secantes con el Teorema de Pitágoras del triángulo rectángulo radio-tangente. Corrección: Ambos son manifestaciones idénticas de la potencia.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"'Para todo punto exterior se cumple la equivalencia $\mathcal{P}(P) = PT^2 = PA \cdot PB = d^2 - r^2$.'"

"'Para todo punto interior el producto de segmentos de cuerda es constante e igual a $r^2 - d^2$.'"

"'Olvidar que $PT = \sqrt{d^2 - r^2}$ requiere calcular la raíz cuadrada final.'"

"'La potencia permite calcular distancias al centro y radios a partir de longitudes de cuerdas y secantes.'"

"'Restar $d^2 - r^2$ para un punto interior obteniendo un resultado negativo sin considerar el valor absoluto $r^2 - d^2$.'"

"'Confundir el radio $r$ con el diámetro $2r$ al calcular $d^2 - r^2$.'"

Al terminar debes poder

Síntesis de cálculo de potencia unificada

Calcular y vincular la potencia de un punto mediante cuerdas, secantes, tangentes y distancias al centro.

Aplicando las equivalencias $\mathcal{P}(P) = PT^2 = PA \cdot PB = d^2 - r^2$ y $PA \cdot PB = r^2 - d^2$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Si la potencia de P es 64, entonces PT=8 (usando el método de la tangente).
¿Qué método se usa para calcular la potencia de un punto interior?
Para puntos interiores se usan cuerdas, y el resultado se considera negativo.

Respuesta: A) El producto de segmentos de dos cuerdas que se cruzan en P (con signo negativo)
¿Cuáles son las tres formas equivalentes de calcular la potencia de un punto exterior?
Los tres métodos son equivalentes y dan el mismo resultado.

Respuesta: A) PO²-r², PA×PB, PT²

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Los tres métodos de cálculo de la potencia siempre dan resultados distintos entre sí.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Un punto P está a 15 cm del centro de una circunferencia de radio 9 cm. ¿Cuál es su potencia?
pot(P)=15²-9²=225-81=144.

Respuesta: A) 144
La potencia de un punto P es 49. Si se traza una tangente desde P, ¿cuánto mide el segmento tangente?
PT²=49 → PT=7.

Respuesta: A) 7
Si la potencia de P es 100 y el segmento exterior de una secante mide 4 cm, el segmento total mide 25 cm.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

El concepto de potencia de un punto es la base teórica que unifica los teoremas de cuerdas, secantes y tangente-secante estudiados anteriormente.
¿Cuál es el error frecuente al calcular la potencia de un punto?
Es un error común no verificar que los distintos métodos sean consistentes entre sí.

Respuesta: A) Mezclar los tres métodos sin verificar consistencia entre ellos
Un ingeniero necesita verificar la posición de un poste P respecto de una zona circular de exclusión de radio 20 m. Mide que una secante desde P tiene segmento exterior 8 m y total 32 m. ¿Cuál es la potencia de P, y qué indica su signo respecto de la posición del poste?
pot(P)=8×32=256, positiva porque se calculó mediante una secante desde un punto exterior.

Respuesta: A) 256 (positiva, el poste está fuera de la zona)

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación