Cálculo de potencia de un punto usando cuerdas, secantes o tangentes
Calcular la potencia de un punto respecto de una circunferencia utilizando indistintamente la fórmula PO²-r², el producto de segmentos de cuerdas o secantes, o el cuadrado del segmento tangente.
Introducción
La potencia de un punto puede calcularse de varias formas equivalentes: usando la distancia al centro, o usando los segmentos de cuerdas, secantes o tangentes trazadas desde ese punto.
Explicación
Definición formal
Para un punto exterior $P$, la potencia puede calcularse de tres formas equivalentes: $\text{pot}(P)=PO^2-r^2$ (usando la distancia al centro), $\text{pot}(P)=PA\times PB$ (usando una secante que corta en $A$ y $B$), o $\text{pot}(P)=PT^2$ (usando la tangente que toca en $T$). Para un punto interior, la potencia (negativa) se calcula como $-(PA\times PB)$ usando dos cuerdas que se cruzan en $P$.
Desarrollo didáctico
Si un punto $P$ está a 10 cm del centro de una circunferencia de radio 6 cm, su potencia es $10^2-6^2=64$. Si además se traza una tangente desde $P$, esta debe medir $PT=\sqrt{64}=8$ cm; y si se traza una secante con segmento exterior $PA=4$ cm, el segmento total debe cumplir $PB=64/4=16$ cm. Los tres métodos son consistentes entre sí.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica qué información tienes disponible (distancia al centro, segmentos de secante/cuerda, o segmento tangente).
- Paso 2: Elige la fórmula correspondiente: PO²-r² (distancia), PA×PB (cuerdas o secantes), o PT² (tangente).
- Paso 3: Calcula la potencia y, si es necesario, usa ese valor para encontrar un segmento desconocido con otro de los métodos.
Ejemplos
1 Un punto P está a 10 cm del centro de una circunferencia de radio 6 cm.
- pot(P)=10²-6²=100-36=64.
2 La potencia de P es 64, y desde P se traza una tangente.
- PT²=64 → PT=√64=8 cm, consistente con el valor de la potencia.
3 ¿Los tres métodos (distancia, secante, tangente) dan siempre el mismo valor de potencia?
- Sí, son formas equivalentes de calcular la misma cantidad, la potencia del punto P.
4 ¿Se puede calcular la potencia sin conocer el radio, usando solo segmentos de una secante?
- Sí, basta con multiplicar el segmento exterior por el segmento total de la secante (PA×PB), sin necesidad de conocer el radio directamente.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Mezclar los tres métodos de cálculo sin verificar que efectivamente den el mismo resultado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar la fórmula PO²-r² sin conocer realmente la distancia al centro, confundiéndola con otro segmento."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que, para un punto interior, la potencia calculada mediante cuerdas es negativa (el producto se antepone de signo menos)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La potencia de un punto $P$ puede calcularse como $\text{pot}(P)=PO^2-r^2$, o equivalentemente como $PA\times PB$ (cuerdas o secantes) o $PT^2$ (tangente), dando siempre el mismo valor absoluto.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si la potencia de P es 64, entonces PT=8 (usando el método de la tangente).
PT²=64 → PT=8.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué método se usa para calcular la potencia de un punto interior?
Para puntos interiores se usan cuerdas, y el resultado se considera negativo.
Respuesta: A) El producto de segmentos de dos cuerdas que se cruzan en P (con signo negativo)
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¿Cuáles son las tres formas equivalentes de calcular la potencia de un punto exterior?
Los tres métodos son equivalentes y dan el mismo resultado.
Respuesta: A) PO²-r², PA×PB, PT²
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Los tres métodos de cálculo de la potencia siempre dan resultados distintos entre sí.
Los tres métodos son equivalentes y dan el mismo valor de potencia.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Un punto P está a 15 cm del centro de una circunferencia de radio 9 cm. ¿Cuál es su potencia?
pot(P)=15²-9²=225-81=144.
Respuesta: A) 144
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La potencia de un punto P es 49. Si se traza una tangente desde P, ¿cuánto mide el segmento tangente?
PT²=49 → PT=7.
Respuesta: A) 7
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Si la potencia de P es 100 y el segmento exterior de una secante mide 4 cm, el segmento total mide 25 cm.
PA×PB=100 → 4×PB=100 → PB=25.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El concepto de potencia de un punto es la base teórica que unifica los teoremas de cuerdas, secantes y tangente-secante estudiados anteriormente.
Todos esos teoremas son aplicaciones particulares del concepto general de potencia.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es el error frecuente al calcular la potencia de un punto?
Es un error común no verificar que los distintos métodos sean consistentes entre sí.
Respuesta: A) Mezclar los tres métodos sin verificar consistencia entre ellos
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Un ingeniero necesita verificar la posición de un poste P respecto de una zona circular de exclusión de radio 20 m. Mide que una secante desde P tiene segmento exterior 8 m y total 32 m. ¿Cuál es la potencia de P, y qué indica su signo respecto de la posición del poste?
pot(P)=8×32=256, positiva porque se calculó mediante una secante desde un punto exterior.
Respuesta: A) 256 (positiva, el poste está fuera de la zona)