Propiedad de perpendicularidad entre el radio y la tangente en el punto de tangencia
Reconocer que el radio trazado hacia el punto de tangencia siempre es perpendicular a la recta tangente en ese punto.
Introducción
Existe una propiedad geométrica muy poderosa que conecta el radio de una circunferencia con cualquier recta tangente a ella.
Explicación
Definición formal
Si $L$ es tangente a una circunferencia de centro $O$ en el punto $T$, entonces $\overline{OT}\perp L$.
Desarrollo didáctico
Esta propiedad se puede demostrar por contradicción: si el radio OT no fuera perpendicular a la tangente, existiría otro punto de la recta más cercano a O que T, lo que implicaría que ese otro punto está dentro de la circunferencia, contradiciendo que L es tangente (toca la circunferencia en un solo punto).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el punto de tangencia entre la recta tangente y la circunferencia.
- Paso 2: Traza el radio desde el centro hasta ese punto de tangencia.
- Paso 3: Ese radio siempre forma un ángulo de 90° con la recta tangente.
Ejemplos
1 Una recta es tangente a una circunferencia en el punto T, con centro O.
- El radio OT es perpendicular a la recta tangente en T.
2 Una recta tangente pasa por un punto exterior P, con radio OT=5 cm y OP=13 cm.
- Como OT⊥TP, se forma un triángulo rectángulo, y se puede usar Pitágoras: TP=√(13²-5²)=√144=12 cm.
3 ¿Esta propiedad se cumple para cualquier recta tangente?
- Sí, es una propiedad universal de la tangencia, sin excepciones.
4 ¿Se puede usar esta propiedad para construir una tangente desde un punto exterior?
- Sí, es la base del método de construcción geométrica de tangentes desde un punto exterior.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que el radio y la tangente forman un ángulo distinto de 90° en algunos casos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar aplicar esta propiedad al resolver problemas donde se forma un triángulo rectángulo con el radio y la tangente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el punto de tangencia con otro punto cualquiera de la recta tangente al aplicar esta propiedad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El radio trazado desde el centro hasta el punto de tangencia es siempre perpendicular a la recta tangente en ese punto.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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El radio trazado al punto de tangencia forma con la recta tangente un ángulo de:
Es la propiedad de perpendicularidad.
Respuesta: A) 90°
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El radio OT es siempre perpendicular a la tangente en T.
Es una propiedad universal de la tangencia.
Respuesta: Verdadero
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¿Por qué se cumple esta propiedad de perpendicularidad?
Es la demostración por contradicción de esta propiedad.
Respuesta: A) Porque si no fuera perpendicular, existiría un punto más cercano al centro sobre la recta, contradiciendo la tangencia
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Esta propiedad de perpendicularidad solo se cumple en algunos casos especiales.
Se cumple siempre, sin excepciones, para cualquier recta tangente.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Una recta tangente toca una circunferencia de radio 5 cm en T, con centro O. ¿Cuánto mide el ángulo OTP (P sobre la tangente)?
OT es perpendicular a la tangente.
Respuesta: A) 90°
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Con OT=5 cm y OP=13 cm (P un punto exterior en la recta tangente), TP mide 12 cm.
√(13²-5²)=√144=12.
Respuesta: Verdadero
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Una circunferencia de radio 8 cm tiene un punto exterior P a 17 cm del centro. ¿Cuánto mide el segmento tangente desde P al punto de tangencia?
√(17²-8²)=√(289-64)=√225=15.
Respuesta: A) 15 cm
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente respecto a esta propiedad?
Es un error común, ya que OP (distancia al punto exterior) es siempre la hipotenusa.
Respuesta: A) Aplicar Pitágoras con el lado equivocado como hipotenusa
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Esta propiedad es la base para construir geométricamente una recta tangente desde un punto exterior usando regla y compás.
Se usa trazando una circunferencia auxiliar con diámetro OP, cuya intersección con la circunferencia original da los puntos de tangencia.
Respuesta: Verdadero
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Una circunferencia de radio r tiene un punto exterior P. Si la distancia OP es el doble del radio, ¿cuánto mide el segmento tangente en función de r?
TP=√((2r)²-r²)=√(4r²-r²)=√(3r²)=r√3.
Respuesta: A) r√3