Cálculo de perímetros en polígonos circunscritos usando segmentos tangentes congruentes

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

En polígonos circunscritos a una circunferencia, los lados se descomponen en pares de segmentos tangentes congruentes, cumpliéndose el Teorema de Pitot en cuadriláteros.

Explicación en palabras simples

Un polígono está circunscrito a una circunferencia cuando está apretado alrededor de ella y todos sus lados son tangentes al círculo interior (la circunferencia está inscrita adentro).

Para calcular su perímetro, solo tienes que usar el Teorema del Sombrero en cada una de sus esquinas: cada vértice exterior manda dos brazos tangentes que miden lo mismo hacia los dos lados que lo forman. Así, si desde el vértice $A$ salen dos trozos de 3 cm, desde $B$ dos de 4 cm y desde $C$ dos de 5 cm, el perímetro total es simplemente el doble de la suma de esos trozos: $P = 2(3 + 4 + 5) = 24\text{ cm}$.

Y en los cuadriláteros circunscritos ocurre una magia matemática llamada Teorema de Pitot: la suma de los lados de arriba y abajo es exactamente igual a la suma de los lados de izquierda y derecha: $AB + CD = BC + DA$.

Polígonos circunscritos

Explicación formal

Definición de polígono circunscrito

Un polígono convexo $\mathcal{P} = (V_1, V_2, \dots, V_n)$ está circunscrito a una circunferencia $\mathcal{C}(O, r)$ si y solo si todas sus aristas o lados son tangentes a $\mathcal{C}$:
$$\forall i \in \{1, \dots, n\}, \quad \overline{V_i V_{i+1}} \text{ es tangente a } \mathcal{C}$$

Descomposición perimetral por vértices tangentes

Sea $T_i$ el punto de tangencia sobre el lado $\overline{V_i V_{i+1}}$. Por el teorema de las tangentes desde un punto exterior, cada vértice $V_i$ determina dos segmentos congruentes de longitud $x_i$ hacia los puntos de contacto adyacentes:
$$\text{long}(V_i T_{i-1}) = \text{long}(V_i T_i) = x_i$$
El perímetro total del polígono circunscrito es la suma de todos los segmentos pares:
$$P = 2\sum_{i=1}^n x_i = 2(x_1 + x_2 + \dots + x_n)$$

Teorema de Pitot (Cuadriláteros circunscritos)

En todo cuadrilátero convexo $ABCD$ circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de un par de lados opuestos es estrictamente igual a la suma del otro par de lados opuestos:
$$AB + CD = BC + DA$$
Demostración: Expresando cada lado como suma de segmentos tangentes:
$$AB = a + b, \quad CD = c + d, \quad BC = b + c, \quad DA = d + a$$
$$AB + CD = (a + b) + (c + d) = a + b + c + d = (b + c) + (d + a) = BC + DA$$
Como corolario, el perímetro total es el doble de la suma de cualquier par de lados opuestos: $P = 2(AB + CD) = 2(BC + DA)$.

Complemento didáctico: El Teorema de Pitot es un 'salvavidas' en cuadriláteros con círculos adentro: 'arriba + abajo = izquierda + derecha'. Si te dan 3 lados de un cuadrilátero circunscrito, despejas el cuarto de inmediato en un solo paso.

Comprueba tu avance ¿Qué establece el Teorema de Pitot para un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia?

Definiciones clave

  • Polígono circunscrito: Polígono cuyos lados son todos tangentes a una circunferencia inscrita.
  • Teorema de Pitot: Igualdad de sumas de lados opuestos en cuadriláteros tangenciales ($AB + CD = BC + DA$).
  • Segmentos tangentes por vértice: Pares de segmentos congruentes que se extienden desde cada vértice hasta los puntos de contacto.

Propiedades y relaciones importantes

  • Área del polígono circunscrito: $A = s_{\text{semi}} \cdot r = \frac{P \cdot r}{2}$, donde $r$ es el inradio de la circunferencia inscrita.
  • Condición necesaria y suficiente para cuadriláteros: Un cuadrilátero convexo admite circunferencia inscrita si y solo si cumple la condición de Pitot $AB + CD = BC + DA$.
  • Aplicación en trapecios circunscritos: En un trapecio circunscrito de bases $B$ y $b$ y lados laterales $c_1$ y $c_2$, se verifica $B + b = c_1 + c_2$, por lo que $P = 2(B + b) = 4M$.

Ejemplo guiado

Ejemplos de polígonos circunscritos

Un cuadrilátero $ABCD$ está circunscrito a una circunferencia. Tres de sus lados miden $AB = 9\text{ cm}$, $BC = 7\text{ cm}$ y $CD = 11\text{ cm}$. Calcula la longitud del cuarto lado $DA$ y el perímetro total del cuadrilátero.

  • Paso 1: Aplicar el Teorema de Pitot: La suma de lados opuestos es igual: $AB + CD = BC + DA$.
  • Paso 2: Sustituir las medidas conocidas: $9 + 11 = 7 + DA$.
  • Paso 3: Despejar la longitud del lado $DA$: $20 = 7 + DA \implies DA = 20 - 7 = 13\text{ cm}$.
  • Paso 4: Calcular el perímetro total sumando los cuatro lados: $P = AB + BC + CD + DA = 9 + 7 + 11 + 13 = 40\text{ cm}$ (o $P = 2(20) = 40\text{ cm}$).
Comprueba tu avance En un triángulo circunscrito a una circunferencia, los segmentos tangentes medidos desde cada vértice hasta los puntos de contacto miden 2 cm, 3 cm y 6 cm. ¿Cuál es su perímetro total?

Procedimiento

  • 1. Identificar si el polígono está circunscrito (sus lados son tangentes a la circunferencia inscrita).
  • 2. En triángulos, descomponer los lados en pares de segmentos tangentes congruentes desde cada vértice.
  • 3. En cuadriláteros, aplicar el Teorema de Pitot: $AB + CD = BC + DA$.
  • 4. Calcular el perímetro sumando los lados o duplicando la suma de los lados opuestos: $P = 2(AB + CD)$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común 1: Aplicar el Teorema de Pitot a polígonos inscritos. Corrección: Pitot es exclusivo de cuadriláteros CIRCUNSCRITOS (lados tangentes a la circunferencia).
  • Error común 2: Olvidar duplicar la suma de los segmentos tangentes de cada vértice al calcular el perímetro. Corrección: Cada vértice aporta dos segmentos de igual medida, luego $P = 2\sum x_i$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Un trapecio circunscrito a una circunferencia tiene bases de $14\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$. ¿Cuál es su perímetro total?
2 ¿Tienen los polígonos circunscritos a una circunferencia todos sus lados tangentes a ella?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"'En todo cuadrilátero circunscrito, la suma de lados opuestos es constante ($AB + CD = BC + DA$).'"
"'El perímetro de un cuadrilátero circunscrito equivale al doble de la suma de dos de sus lados opuestos ($P = 2(AB + CD)$).'"
"'Aplicar el Teorema de Pitot sumando lados adyacentes en lugar de lados opuestos.'"
"'En un polígono circunscrito, cada vértice determina dos segmentos tangentes congruentes.'"
"'Olvidar que en cuadriláteros circunscritos el perímetro es $P = 2(\text{suma opuestos})$.'"
"'Confundir polígono circunscrito (lados tangentes) con polígono inscrito (vértices en la circunferencia).'"

Al terminar debes poder

Síntesis de polígonos circunscritos

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular perímetros de polígonos circunscritos y resolver problemas aplicando el Teorema de Pitot.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Empleando $P = 2\sum x_i$ y $AB + CD = BC + DA$.

Fuente: Texto escolar oficial de Matemáticas y estándares curriculares PAES

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Un polígono está circunscrito a una circunferencia cuando:

  2. En cada vértice de un polígono circunscrito, los dos segmentos tangentes son congruentes.

  3. Un triángulo circunscrito tiene segmentos tangentes de 4, 5 y 6 cm desde sus vértices. ¿Cuál es su perímetro?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Todos los polígonos pueden circunscribirse a alguna circunferencia.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Un triángulo circunscrito tiene segmentos tangentes de 3, 4 y 5 cm. ¿Cuál es su perímetro?

  2. Un triángulo circunscrito tiene perímetro 40 cm, con segmentos tangentes de 6 y 8 cm en dos de sus vértices. ¿Cuánto mide el segmento tangente del tercer vértice?

  3. El lado de un triángulo circunscrito es la suma de los dos segmentos tangentes de sus vértices extremos.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente al calcular este tipo de perímetro?

  2. Un triángulo rectángulo circunscrito tiene catetos 6 y 8 cm, e hipotenusa 10 cm. Si el radio de la circunferencia inscrita es 2 cm, ¿cuál es el segmento tangente desde el vértice del ángulo recto?

  3. Un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia cumple que la suma de sus lados opuestos es igual (teorema de Pitot).

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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