Cálculo de longitud de arco mediante proporción respecto de 360°

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

La longitud de un arco de circunferencia se calcula multiplicando el perímetro completo 2πr por la proporción del ángulo central respecto a 360°, s = (α / 360°) · 2πr.

Explicación en palabras simples

Un arco es un pedacito del borde curvo de la circunferencia. Para saber cuánto mide ese pedacito, solo tienes que pensar en qué fracción de una pizza completa representa el ángulo del centro.

Una vuelta completa son $360^\circ$. Por lo tanto, si tu ángulo central mide $\alpha$ grados, el arco representa la fracción $\frac{\alpha}{360^\circ}$ de toda la orilla. Multiplicas esa fracción por el perímetro total de la circunferencia ($2\pi r$) y ¡listo!: $s = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$ (que al simplificar el $2$ con el $360$ queda como $\frac{\alpha \pi r}{180^\circ}$).

Longitud de arco en grados

Explicación formal

Deducción por regla de tres y proporcionalidad directa

Sea $\mathcal{C}(O, r)$ una circunferencia de radio $r$. La longitud total de la curva ($2\pi r$) corresponde a un giro completo de $360^\circ$. Por linealidad de la medida angular con respecto a la métrica de arco euclidiana:
$$\frac{s}{2\pi r} = \frac{\alpha}{360^\circ} \implies s = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r = \frac{\alpha \pi r}{180^\circ}$$

Despeje del ángulo central a partir del arco

Conocida la longitud lineal del arco $s$ y el radio $r$, el ángulo central en grados sexagesimales se despeja mediante:
$$\alpha = \frac{s \cdot 360^\circ}{2\pi r} = \frac{180^\circ s}{\pi r}$$

Complemento didáctico: Para agilizar tus cálculos en la PAES, aprende de memoria las fracciones de $360^\circ$: $180^\circ = 1/2$, $120^\circ = 1/3$, $90^\circ = 1/4$, $60^\circ = 1/6$, $45^\circ = 1/8$, $30^\circ = 1/12$. Por ejemplo, para un arco de $60^\circ$, simplemente calcula el perímetro total $2\pi r$ y divídelo entre $6$.

Comprueba tu avance ¿Cuál es la fórmula simplificada para calcular la longitud de arco s con el ángulo central α en grados?

Definiciones clave

  • Longitud de arco ($s$): Distancia métrica a lo largo de la curva comprendida entre dos puntos de la circunferencia.
  • Ángulo central ($\alpha$): Ángulo con vértice en el centro $O$ que subtiende el arco.
  • Factor de proporcionalidad ($\frac{\alpha}{360^\circ}$): Porción de la circunferencia correspondiente al ángulo.

Propiedades y relaciones importantes

  • Linealidad con el radio: Si el radio se duplica manteniendo $\alpha$, la longitud de arco se duplica.
  • Linealidad con el ángulo: Si el ángulo se duplica manteniendo $r$, la longitud de arco se duplica.
  • Equivalencia angular: $\frac{s_1}{\alpha_1} = \frac{s_2}{\alpha_2} = \frac{\pi r}{180^\circ}$.

Ejemplo guiado

Ejemplos de longitud de arco en grados

En una circunferencia de radio $r = 12\text{ cm}$, un ángulo central mide $\alpha = 60^\circ$. Calcula la longitud del arco que subtiende. Además, determina el ángulo central correspondiente a un arco de longitud $5\pi\text{ cm}$ en una circunferencia de radio $r = 15\text{ cm}$.

  • Paso 1: Calcular la fracción de giro para $\alpha = 60^\circ$: $\frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{6}$.
  • Paso 2: Calcular el perímetro total: $P = 2\pi(12) = 24\pi\text{ cm}$.
  • Paso 3: Multiplicar por la fracción: $s = \frac{1}{6} \cdot 24\pi = 4\pi\text{ cm}$.
  • Paso 4: Para el segundo ejercicio, calcular el perímetro: $P = 2\pi(15) = 30\pi\text{ cm}$. La fracción es $\frac{5\pi}{30\pi} = \frac{1}{6}$, luego $\alpha = \frac{1}{6} \cdot 360^\circ = 60^\circ$.
Comprueba tu avance En una circunferencia de radio r = 8 cm, ¿cuánto mide el arco subtendido por un ángulo central recto de 90°?

Procedimiento

  • 1. Identificar el ángulo central $\alpha$ en grados y el radio $r$.
  • 2. Calcular la fracción respecto a $360^\circ$: $\frac{\alpha}{360^\circ}$.
  • 3. Calcular el perímetro completo: $2\pi r$.
  • 4. Multiplicar la fracción por el perímetro: $s = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común 1: Multiplicar por $\pi r^2$ en vez de $2\pi r$. Corrección: $\pi r^2$ calcula el área del sector; el arco es una longitud lineal y se calcula con $2\pi r$.
  • Error común 2: Dividir por $180^\circ$ manteniendo el $2$ en el numerador. Corrección: Si usas $180^\circ$, el $2$ ya fue cancelado: $s = \frac{\alpha \pi r}{180^\circ}$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Calcula la longitud del arco correspondiente a un ángulo de $45^\circ$ en una circunferencia de radio $16\text{ cm}$.
2 ¿Es la longitud del arco directamente proporcional a la medida del ángulo central que lo subtiende?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"'Usar el diámetro directamente en la fórmula sin dividirlo entre 2.'"
"'La longitud de arco es proporcional al ángulo central que lo subtiende respecto a $360^\circ$.'"
"'Dividir entre $180^\circ$ sin simplificar el $2$ de la fórmula del perímetro.'"
"'Confundir la longitud de arco con el área del sector circular.'"
"'Un ángulo central de $90^\circ$ subtiende exactamente un cuarto de la circunferencia total.'"
"'La fórmula simplificada de la longitud de arco en grados es $s = ?rac{\alpha \pi r}{180^\circ}$.'"

Al terminar debes poder

Síntesis de arco en grados

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular la longitud de un arco en grados y despejar el ángulo central correspondiente.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Empleando $s = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r = \frac{\alpha \pi r}{180^\circ}$.

Fuente: Texto escolar oficial de Matemáticas y estándares curriculares PAES

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. La longitud de un arco con ángulo central θ (grados) es:

  2. Un arco de 90° en un círculo de radio 8 cm mide aproximadamente 12,57 cm.

  3. ¿Qué representa la fracción θ/360° en esta fórmula?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Un arco de 180° corresponde a un cuarto de la circunferencia.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Un arco de 60° está en una circunferencia de radio 9 cm. ¿Cuál es su longitud aproximada (π≈3,14)?

  2. Un arco de 120° en un círculo de radio 6 cm mide aproximadamente 12,56 cm.

  3. Un arco mide 15,7 cm (aproximado) en una circunferencia de radio 10 cm. ¿Cuál es su ángulo central aproximado (π≈3,14)?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente al calcular esta longitud?

  2. La longitud de arco es directamente proporcional tanto al ángulo central como al radio.

  3. Un ventilador de techo tiene aspas que giran describiendo arcos de 45° en su punta, a 60 cm del centro. ¿Cuál es la longitud recorrida por la punta en cada giro parcial (π≈3,14)?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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