Identificación de la cuerda como segmento cuyos extremos pertenecen a la circunferencia
Resumen inicial
Una cuerda es cualquier segmento de recta cuyos dos extremos pertenecen a la circunferencia.
Explicación en palabras simples
Si marcas dos puntos cualesquiera sobre el borde de una circunferencia (por ejemplo, el punto $A$ y el punto $B$) y tomas una regla para unirlos con una línea recta por dentro, habrás dibujado una cuerda.
A diferencia del radio (que empieza en el centro y va al borde), la cuerda va de un borde a otro borde. Una cuerda común no pasa por el centro. Si una cuerda mide mucho, estará cerca del centro; si mide poco, estará arrinconada cerca de la orilla. La regla fundamental es: ninguna cuerda puede medir más que el diámetro ($L \le 2r$).
Explicación formal
Definición formal de cuerda
Sea $\mathcal{C}$ una circunferencia euclidiana de centro $O$ y radio $r$. Se define una cuerda como cualquier segmento de recta $\overline{AB}$ cuyos extremos pertenecen a la circunferencia:
$$\overline{AB} \text{ es cuerda} \iff A, B \in \mathcal{C}$$
Teorema fundamental de la mediatriz de la cuerda
La recta mediatriz $\mathcal{M}$ de cualquier cuerda $\overline{AB}$ pasa necesariamente por el centro $O$ de la circunferencia. Como corolario directo:
1. La recta que pasa por el centro y es perpendicular a una cuerda, biseca a la cuerda en dos mitades congruentes ($AM = MB = \frac{AB}{2}$).
2. La recta que pasa por el centro y por el punto medio de una cuerda es estrictamente perpendicular a ella.
Relación métrica con Pitágoras (Distancia cuerda-centro)
Al trazar la perpendicular desde el centro $O$ hasta el punto medio $M$ de una cuerda de longitud $L$, se forma un triángulo rectángulo de hipotenusa $r$, cateto base $L/2$ y cateto altura $d$ (distancia del centro a la cuerda):
$$r^2 = d^2 + \left(\frac{L}{2}\right)^2 \implies d = \sqrt{r^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2}$$
Complemento didáctico: El triángulo rectángulo que forman el centro $O$, el punto medio de la cuerda y un extremo de la cuerda ($d$, $L/2$, $r$) es una de las figuras más repetidas en la PAES. Con Pitágoras $r^2 = d^2 + (L/2)^2$ calculas cualquiera de los tres datos conociendo los otros dos.
La alternativa correcta es 'La divide exactamente en dos segmentos congruentes (la biseca).' Por el Teorema de la Mediatriz, el radio perpendicular biseca siempre a la cuerda.
Definiciones clave
- Cuerda: Segmento rectilíneo que conecta dos puntos de una circunferencia.
- Distancia del centro a la cuerda ($d$): Longitud del segmento perpendicular trazado desde el centro hasta la cuerda.
- Punto medio de la cuerda: Punto que divide a la cuerda en dos segmentos iguales de medida $L/2$.
Propiedades y relaciones importantes
- Acotación de longitud: Toda cuerda satisface $0 < \text{long}(AB) \le 2r$.
- Relación distancia-longitud: A menor distancia del centro ($d$), mayor es la longitud de la cuerda ($L$). Si $d = 0$, la cuerda es máxima (diámetro).
- Cuerdas congruentes: Dos cuerdas tienen la misma longitud si y solo si equidistan del centro ($d_1 = d_2$).
Ejemplo guiado
En una circunferencia de radio $r = 10\text{ cm}$, se traza una cuerda de longitud $L = 16\text{ cm}$. Calcula la distancia perpendicular desde el centro $O$ hasta dicha cuerda.
- Paso 1: Identificar la mitad de la cuerda: La perpendicular que viene del centro biseca la cuerda: $L / 2 = 16 / 2 = 8\text{ cm}$.
- Paso 2: Reconocer el triángulo rectángulo interior: La hipotenusa es el radio $r = 10\text{ cm}$, un cateto es la semirecta de la cuerda $8\text{ cm}$ y el otro cateto es la distancia buscada $d$.
- Paso 3: Aplicar el Teorema de Pitágoras: $d^2 + 8^2 = 10^2 \implies d^2 + 64 = 100$.
- Paso 4: Despejar la distancia $d$: $d^2 = 100 - 64 = 36 \implies d = \sqrt{36} = 6\text{ cm}$.
La alternativa correcta es '6 cm.' Por Pitágoras, el semicateto es $\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$ cm. La cuerda completa mide $2 \times 3 = 6$ cm.
Procedimiento
- 1. Identificar los dos extremos $A$ y $B$ sobre la circunferencia.
- 2. Unir ambos puntos mediante un segmento rectilíneo.
- 3. Si se requiere relacionar con el centro, trazar la distancia perpendicular $d$ hacia el punto medio de la cuerda.
- 4. Aplicar el Teorema de Pitágoras con el radio como hipotenusa: $r^2 = d^2 + (L/2)^2$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común 1: Confundir una cuerda con una recta secante. Corrección: La cuerda es un segmento acotado que termina en la circunferencia; la recta secante es infinita y continúa hacia el exterior.
- Error común 2: Olvidar duplicar el semieje al calcular la cuerda con Pitágoras. Corrección: El cateto hallado es $L/2$, por lo que la cuerda total es $2 \times (L/2)$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Identificar cuerdas y resolver problemas métricos de distancias al centro y longitudes en la circunferencia.
Utilizando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo $r^2 = d^2 + (L/2)^2$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Una cuerda de una circunferencia es:
Es la definición de cuerda.
Respuesta: A) Un segmento cuyos dos extremos están sobre la circunferencia
-
Todas las cuerdas de una circunferencia tienen igual longitud.
Las cuerdas pueden tener longitudes muy variadas.
Respuesta: Falso
-
¿Qué relación tiene el diámetro con las cuerdas?
Es un caso particular de cuerda, la que pasa por el centro.
Respuesta: A) El diámetro es la cuerda de mayor longitud posible
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Un radio es un caso particular de cuerda.
El radio tiene un extremo en el centro, no en la circunferencia; no cumple la definición de cuerda.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál es la cuerda más larga posible en una circunferencia de radio 8 cm?
El diámetro (2×8=16) es la cuerda de mayor longitud posible.
Respuesta: A) 16 cm (el diámetro)
-
¿Cuántos puntos de la circunferencia se necesitan para trazar una cuerda?
Una cuerda se define por sus dos extremos, ambos en la circunferencia.
Respuesta: A) 2
-
Una cuerda puede pasar por el centro de la circunferencia.
En ese caso especial, la cuerda se llama diámetro.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una cuerda de una circunferencia de radio 10 cm está a 6 cm del centro (distancia perpendicular). Usando Pitágoras, ¿cuánto mide la mitad de la cuerda?
√(10²-6²)=√(100-36)=√64=8 (la mitad de la cuerda, el radio y la distancia al centro forman un triángulo rectángulo).
Respuesta: A) 8 cm
-
¿Cuál es el error frecuente al identificar una cuerda?
Es un error común, especialmente al no distinguir dónde deben estar los extremos.
Respuesta: A) Confundirla con un radio
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Mientras más cerca esté una cuerda del centro de la circunferencia, más larga es (hasta el máximo del diámetro).
Es una propiedad geométrica de las cuerdas: a mayor distancia al centro, menor longitud.
Respuesta: Verdadero