Definición de arco de circunferencia
Resumen inicial
Un arco es una porción continua de circunferencia delimitada por dos de sus puntos, cuya longitud es proporcional al ángulo del centro.
Explicación en palabras simples
Si tomas un trozo de alambre circular y lo cortas en dos partes, cada uno de esos trozos curvos es un arco de circunferencia (se anota como $\overset{\frown}{AB}$).
Un arco tiene dos formas de medirse: 1) En grados sexagesimales (su apertura angular, que es exactamente igual al ángulo del centro que lo ilumina, de $0^\circ$ a $360^\circ$), y 2) En centímetros o metros (su longitud física real si lo estiras como una cuerda recta).
Para calcular cuánto mide de largo un arco ($s$), solo tienes que calcular una regla de tres con la vuelta completa: divides el ángulo $\alpha$ entre $360^\circ$ y lo multiplicas por el perímetro completo: $s = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$.
Explicación formal
Definición formal de arco
Sean $A, B \in \mathcal{C}(O, r)$ dos puntos distintos de una circunferencia. El conjunto de puntos de la curva comprendidos entre $A$ y $B$ en un sentido de recorrido dado se denomina arco de circunferencia, denotado por $\overset{\frown}{AB}$.
Medida angular vs Longitud métrica lineal
Es imperativo distinguir dos magnitudes de naturaleza física y matemática distinta:
1. Medida angular ($m(\overset{\frown}{AB})$): Magnitud dimensional de rotación, idéntica a la medida del ángulo central subtendido:
$$m(\overset{\frown}{AB}) = \alpha \quad (\text{en grados sexagesimales o radianes})$$
- Longitud métrica lineal ($s = \text{long}(\overset{\frown}{AB})$): Longitud de trayectoria unidimensional rectificable:
$$s = \left(\frac{\alpha}{360^\circ}\right) \cdot 2\pi r = \frac{\alpha \pi r}{180^\circ}$$
En radianes (donde $\theta = \frac{\alpha \pi}{180^\circ}$), la relación adquiere su forma más elegante: $s = r\theta$.
Complemento didáctico: ¡Cuidado con confundir la medida angular con la longitud métrica! Si dos circunferencias concéntricas (una chica y una gigante) tienen un ángulo central de $60^\circ$, AMBOS arcos miden $60^\circ$ en apertura angular, pero la longitud en centímetros del arco de la circunferencia gigante es muchísimo mayor.
La alternativa correcta es 's = (α / 360°) · 2πr.' El arco es la fracción $(\alpha / 360^\circ)$ del perímetro de la circunferencia ($2\pi r$).
Definiciones clave
- Arco ($\overset{\frown}{AB}$): Sección continua de la curva de una circunferencia.
- Ángulo del centro ($\alpha$): Ángulo cuyo vértice es el centro $O$ y sus lados son radios que subtienden el arco.
- Longitud de arco ($s$): Distancia euclidiana recorrida a lo largo de la curva dada por $s = \frac{\alpha \pi r}{180^\circ}$.
Propiedades y relaciones importantes
- Proporcionalidad directa: La longitud del arco es directamente proporcional al ángulo del centro y al radio.
- Arco menor y arco mayor: Dos puntos $A$ y $B$ determinan dos arcos complementarios cuya suma angular es $360^\circ$ y cuya suma métrica es $2\pi r$.
- Diferencia con la cuerda: La longitud del arco $s$ es siempre estrictamente mayor que la longitud de la cuerda recta que une los mismos puntos ($s > L_{\text{cuerda}}$).
Ejemplo guiado
En una circunferencia de radio $r = 12\text{ cm}$, un ángulo del centro mide $\alpha = 60^\circ$. Calcula la longitud lineal del arco $\overset{\frown}{AB}$ subtendido.
- Paso 1: Calcular la fracción del giro completo: $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{6}$.
- Paso 2: Calcular el perímetro de la circunferencia completa: $P = 2\pi r = 2\pi(12) = 24\pi\text{ cm}$.
- Paso 3: Multiplicar la fracción por el perímetro total: $s = \frac{1}{6} \cdot 24\pi = 4\pi\text{ cm}$.
- Paso 4: Verificación alternativa con la fórmula directa: $s = \frac{60^\circ \cdot \pi \cdot 12}{180^\circ} = \frac{720\pi}{180} = 4\pi\text{ cm}$.
La alternativa correcta es '90°.' Perímetro total $2\pi(10) = 20\pi$ cm. Fracción: $\frac{5\pi}{20\pi} = \frac{1}{4}$ de vuelta $\implies \frac{1}{4} \times 360^\circ = 90^\circ$.
Procedimiento
- 1. Identificar el radio $r$ y la medida del ángulo del centro $\alpha$.
- 2. Calcular la fracción de circunferencia correspondiente: $\alpha / 360^\circ$.
- 3. Multiplicar dicha fracción por la longitud de la circunferencia completa: $s = (\alpha / 360^\circ) \cdot 2\pi r$.
- 4. Simplificar algebraicamente manteniendo el factor $\pi$ o reemplazando según solicite el ejercicio.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común 1: Multiplicar por $\pi r^2$ en lugar de $2\pi r$. Corrección: $\pi r^2$ es para el área del sector; el arco es una longitud lineal y usa el perímetro $2\pi r$.
- Error común 2: Confundir la longitud métrica en cm con los grados sexagesimales del ángulo. Corrección: La apertura es en grados, la longitud es en cm.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Calcular la longitud lineal de arcos y relacionarlos con sus ángulos del centro.
Empleando la proporción de escala $s = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r = \frac{\alpha \pi r}{180^\circ}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Un arco de circunferencia es:
Es la definición de arco.
Respuesta: A) Una porción continua de la circunferencia entre dos puntos
-
Dos puntos distintos en una circunferencia determinan dos arcos posibles.
Un arco menor y un arco mayor.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es la diferencia entre un arco y una cuerda entre los mismos dos puntos?
Es la diferencia esencial entre ambos conceptos.
Respuesta: A) El arco es curvo (parte de la circunferencia); la cuerda es un segmento recto
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Un arco es un segmento de recta.
Un arco es una porción curva de la circunferencia.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si dos puntos de una circunferencia son diametralmente opuestos, ¿cómo son los dos arcos que determinan?
Es el caso especial de puntos diametralmente opuestos.
Respuesta: A) Iguales (cada uno es una semicircunferencia)
-
El arco menor y el arco mayor entre dos puntos suman la circunferencia completa.
Juntos forman toda la circunferencia.
Respuesta: Verdadero
-
Un arco menor mide 80° de una circunferencia de 360°. ¿Cuánto mide el arco mayor correspondiente?
360-80=280°.
Respuesta: A) 280°
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al identificar un arco?
Es un error común no distinguir la porción curva del segmento recto.
Respuesta: A) Confundirlo con la cuerda entre los mismos puntos
-
La longitud de un arco depende tanto del radio de la circunferencia como del ángulo que subtiende.
Es la base de la fórmula de longitud de arco, estudiada más adelante.
Respuesta: Verdadero
-
Si el arco AB (menor) mide 110°, ¿cuánto mide el ángulo central correspondiente a ese arco?
La medida del arco coincide con la medida del ángulo central correspondiente (propiedad estudiada en el tema de ángulos).
Respuesta: A) 110°