Relación entre ángulo semiinscrito y mitad del arco correspondiente

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

La medida de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad de la medida angular del arco que encierra entre sus lados: γ = med(TA) / 2.

Explicación en palabras simples

Aunque un ángulo semiinscrito tiene un lado por fuera de la circunferencia (la recta tangente), ¡se comporta matemáticamente exactamente igual que un ángulo inscrito normal!

Su medida en grados es siempre la mitad del arco que queda atrapado entre la tangente y la cuerda: $\gamma = \frac{\overset{\frown}{TA}}{2}$.

Por ejemplo, si la cuerda delimita un arco de $140^\circ$, el ángulo semiinscrito que lo abraza mide la mitad: $140^\circ / 2 = 70^\circ$. Y al revés, el arco que encierra mide el doble del ángulo: $\overset{\frown}{TA} = 2\gamma$.

Medida del ángulo semiinscrito

Explicación formal

Teorema del ángulo semiinscrito

Sea $\mathcal{L}_T$ la recta tangente a la circunferencia $\mathcal{C}(O, r)$ en $T$ y sea $\overline{TA}$ una cuerda. La medida angular del ángulo semiinscrito $\gamma$ es estrictamente la mitad de la medida del arco subtendido $\overset{\frown}{TA}$:
$$\gamma = \frac{\text{med}(\overset{\frown}{TA})}{2} \iff \text{med}(\overset{\frown}{TA}) = 2\gamma$$

Demostración geométrica mediante perpendicularidad radial

  1. Trácese el radio $\overline{OT}$. Por el teorema de perpendicularidad radio-tangente: $\overline{OT} \perp \mathcal{L}_T$ (el ángulo total es de $90^\circ$).
  2. Trácese el radio $\overline{OA}$, formando el triángulo isósceles $\triangle OTA$ con $OT = OA = r$.
  3. En $\triangle OTA$, el ángulo central es $\angle TOA = \alpha = \text{med}(\overset{\frown}{TA})$.
  4. Como los ángulos de la base son iguales: $\angle OTA = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.
  5. El ángulo semiinscrito $\gamma$ es el complemento de $\angle OTA$ respecto a la perpendicular de $90^\circ$:
    $$\gamma = 90^\circ - \angle OTA = 90^\circ - \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\alpha}{2} = \frac{\text{med}(\overset{\frown}{TA})}{2}$$

Complemento didáctico: Recuerda esta equivalencia directa para la PAES: un ángulo semiinscrito y un ángulo inscrito que subtienden el mismo arco $\overset{\frown}{TA}$ miden exactamente lo mismo. Si calculas uno, ¡tienes el otro de inmediato!

Comprueba tu avance Si el arco subtendido por una cuerda y una recta tangente mide 110°, ¿cuánto mide el ángulo semiinscrito correspondiente?

Definiciones clave

  • Teorema del ángulo semiinscrito: Fórmula $\gamma = \overset{\frown}{TA} / 2$.
  • Equivalencia inscrito-semiinscrito: Igualdad de medidas ante un mismo arco subtendido.
  • Doble del arco: $\overset{\frown}{TA} = 2\gamma$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Ángulo suplementario adyacente: El otro ángulo semiinscrito que forma la recta tangente mide $180^\circ - \gamma = \frac{360^\circ - \overset{\frown}{TA}}{2}$.
  • Límite tangencial: El ángulo semiinscrito es el caso límite de un ángulo inscrito cuando uno de los extremos del arco coincide con el vértice ($V \to T$).
  • Caso de $90^\circ$: Si $\overset{\frown}{TA} = 180^\circ$ (semicircunferencia), $\gamma = 90^\circ$ (recto).

Ejemplo guiado

Ejemplos de cálculo de ángulo semiinscrito

Una recta es tangente a una circunferencia en $T$. Se traza la cuerda $\overline{TA}$ delimitando un arco menor de $124^\circ$. Calcula la medida del ángulo semiinscrito $\gamma$ y la del ángulo semiinscrito suplementario que se forma al otro lado de la recta tangente.

  • Paso 1: Aplicar el teorema al arco menor $\overset{\frown}{TA} = 124^\circ$: $\gamma = \frac{124^\circ}{2}$.
  • Paso 2: Calcular la medida del ángulo semiinscrito: $\gamma = 62^\circ$.
  • Paso 3: Calcular el ángulo semiinscrito suplementario: Como están sobre una recta, suman $180^\circ$: $\gamma' = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$ (o calculando la mitad del arco mayor: $\frac{360^\circ - 124^\circ}{2} = \frac{236^\circ}{2} = 118^\circ$).
Comprueba tu avance Si un ángulo semiinscrito mide 43°, ¿cuál es la medida angular del arco que encierra?

Procedimiento

  • 1. Identificar el punto de tangencia $T$ y el arco $\overset{\frown}{TA}$ encerrado por el ángulo.
  • 2. Para calcular el ángulo semiinscrito, dividir la medida del arco entre 2: $\gamma = \frac{\overset{\frown}{TA}}{2}$.
  • 3. Para calcular el arco a partir del ángulo semiinscrito, multiplicar por 2: $\overset{\frown}{TA} = 2\gamma$.
  • 4. Si se solicita el ángulo del otro lado de la tangente, restar de $180^\circ$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común 1: Asumir que el ángulo semiinscrito es igual al arco. Corrección: Es la MITAD del arco, exactamente como un ángulo inscrito.
  • Error común 2: Confundir el arco menor con el arco mayor al elegir el ángulo correspondiente. Corrección: Observar hacia qué lado de la tangente abre el ángulo.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Un ángulo semiinscrito subtiende un arco de $76^\circ$. ¿Cuánto mide el ángulo?
2 ¿Mide lo mismo un ángulo semiinscrito que un ángulo inscrito que subtienda exactamente su mismo arco?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"'Un ángulo semiinscrito y un ángulo inscrito que subtienden el mismo arco son congruentes.'"
"'Creer que por tener un lado tangente, su fórmula es diferente a la de un ángulo inscrito.'"
"'El arco encerrado por un ángulo semiinscrito mide el doble de la medida de dicho ángulo ($2\gamma$).'"
"'Olvidar dividir entre dos el arco al calcular el ángulo semiinscrito.'"
"'Restar de $90^\circ$ en lugar de dividir por dos el arco.'"
"'El ángulo semiinscrito mide la mitad del arco comprendido entre la tangente y la cuerda ($\gamma = \frac{\overset{\frown}{TA}}{2}$).'"

Al terminar debes poder

Síntesis de ángulo semiinscrito mitad de arco

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular medidas de ángulos semiinscritos y arcos subtendidos.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Aplicando $\gamma = \frac{\overset{\frown}{TA}}{2}$ y $\overset{\frown}{TA} = 2\gamma$.

Fuente: Texto escolar oficial de Matemáticas y estándares curriculares PAES

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Si el arco TB mide 120°, el ángulo semiinscrito correspondiente mide 60°.

  2. La medida de un ángulo semiinscrito respecto de su arco correspondiente es:

  3. ¿Con qué otra relación angular de la circunferencia comparte esta propiedad de 'mitad del arco'?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. El ángulo semiinscrito mide lo mismo que el arco que subtiende.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. El arco TB mide 90°. ¿Cuánto mide el ángulo semiinscrito?

  2. Si el ángulo semiinscrito mide 70°, el arco correspondiente mide 140°.

  3. Un ángulo semiinscrito mide 55° y el ángulo inscrito que subtiende el mismo arco mide:

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un ángulo semiinscrito y un ángulo inscrito que subtienden el mismo arco son siempre congruentes entre sí.

  2. Una carretera es tangente a una rotonda circular en el punto T, y desde T sale también un desvío que corta la rotonda en el punto B, con arco TB de 100°. ¿Cuánto mide el ángulo entre la carretera y el desvío?

  3. ¿Cuál es el error frecuente al aplicar esta relación?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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