Relación de igualdad entre la medida del ángulo del centro y la medida del arco correspondiente
Aplicar la relación de igualdad entre la medida de un ángulo del centro y la medida (en grados) del arco que dicho ángulo subtiende.
Introducción
Un ángulo del centro y el arco que este determina comparten exactamente la misma medida en grados, lo que permite pasar de uno a otro directamente.
Explicación
Definición formal
Por definición, la medida en grados de un arco de circunferencia se establece igual a la medida del ángulo del centro que lo subtiende: $m(\angle AOB)=m(\text{arco }AB)$.
Desarrollo didáctico
Si el ángulo del centro $\angle AOB$ mide 80°, entonces el arco $AB$ correspondiente también mide 80°. Esta igualdad es la base para relacionar ángulos y arcos en todos los teoremas posteriores de la circunferencia.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el ángulo del centro y su arco correspondiente.
- Paso 2: Aplica la igualdad m(∠AOB) = m(arco AB): ambas medidas son iguales en grados.
- Paso 3: Usa el valor conocido (ángulo o arco) para determinar el valor desconocido.
Ejemplos
1 El ángulo del centro ∠AOB mide 80°.
- Como m(∠AOB)=m(arco AB), el arco AB también mide 80°.
2 El arco AB mide 115°.
- Como la medida del ángulo del centro es igual a la del arco, ∠AOB mide 115°.
3 ¿Si el ángulo del centro mide 40°, el arco correspondiente también mide 40°?
- Sí, por la igualdad directa entre ángulo del centro y arco correspondiente.
4 ¿Esta igualdad aplica también a ángulos inscritos?
- No, el ángulo inscrito mide la mitad del arco, no lo mismo; la igualdad directa es exclusiva del ángulo del centro.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Aplicar esta igualdad directa a un ángulo inscrito, olvidando que este mide la mitad del arco."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el arco correspondiente con el arco opuesto (el que no subtiende el ángulo)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que ángulo y arco se miden en las mismas unidades (grados) para esta igualdad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La medida de un ángulo del centro es igual a la medida del arco que subtiende: $m(\angle AOB) = m(\text{arco }AB)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La medida de un ángulo del centro respecto de su arco correspondiente es:
m(∠AOB)=m(arco AB): son exactamente iguales.
Respuesta: A) Igual
-
Si un ángulo del centro mide 80°, su arco correspondiente también mide 80°.
Igualdad directa entre ángulo del centro y arco.
Respuesta: Verdadero
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¿Por qué es útil esta igualdad?
Es la base para relacionar arcos y ángulos centrales.
Respuesta: A) Permite pasar directamente de la medida del ángulo a la del arco y viceversa
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Esta igualdad de medidas aplica igual para ángulos inscritos que para ángulos del centro.
Es exclusiva del ángulo del centro; el inscrito mide la mitad del arco.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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El arco AB mide 95°. ¿Cuánto mide el ángulo del centro ∠AOB?
m(∠AOB)=m(arco AB)=95°.
Respuesta: A) 95°
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Si el arco CD mide 130°, el ángulo del centro ∠COD mide 130°.
Igualdad directa: ambos miden 130°.
Respuesta: Verdadero
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Dos ángulos del centro consecutivos miden 70° y 110° y juntos completan una semicircunferencia. ¿Cuánto mide el arco restante para completar los 360°?
70+110=180; 360-180=180° restantes.
Respuesta: A) 180°
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente relacionado con esta igualdad?
Es un error muy común mezclar ambas relaciones (igual vs. mitad).
Respuesta: A) Aplicarla erróneamente a ángulos inscritos
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La suma de todos los ángulos del centro no superpuestos en una circunferencia completa es 360°.
Corresponde a la suma de todos los arcos, que completan la circunferencia (360°).
Respuesta: Verdadero
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Una torta circular se reparte en 3 porciones con ángulos del centro de 150°, 90° y x°. ¿Cuánto vale x?
150+90+x=360 → x=360-240=120°.
Respuesta: A) 120°