Medida de un ángulo interior formado por dos cuerdas que se intersectan dentro de la circunferencia
Resumen inicial
La medida de un ángulo interior formado por dos cuerdas que se intersecan dentro de la circunferencia es igual a la semisuma de las medidas de los arcos interceptados: δ = (AB + CD) / 2.
Explicación en palabras simples
¿Qué pasa si dos cuerdas se cruzan como una 'X' dentro del círculo, pero el cruce no está en el centro? El ángulo que se forma en el cruce se llama ángulo interior.
Como está corrido del centro, el ángulo abre dos arcos a la vez: uno adelante (entre sus brazos) y otro atrás (entre las prolongaciones de sus brazos opuestos por el vértice). Para saber cuánto mide este ángulo, la matemática hace un promedio perfecto: sumas los dos arcos opuestos y divides el resultado entre dos (la semisuma):
$$\delta = \frac{\overset{\frown}{\text{Arco}_1} + \overset{\frown}{\text{Arco}_2}}{2}$$
¡Recuerda siempre: Ángulo INTERIOR lleva SUMA! Si un arco mide $80^\circ$ y el otro mide $40^\circ$, el ángulo interior mide $(80^\circ + 40^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.
Explicación formal
Teorema del ángulo interior
Sean $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ dos cuerdas de una circunferencia $\mathcal{C}$ que se cortan en un punto interior $P$ ($P \in \text{Int}(\mathcal{C})$). La medida del ángulo interior $\delta = \angle APD$ es la semisuma de las medidas de los arcos interceptados $\overset{\frown}{AD}$ y $\overset{\frown}{BC}$:
$$\delta = \frac{\text{med}(\overset{\frown}{AD}) + \text{med}(\overset{\frown}{BC})}{2}$$
Demostración geométrica mediante ángulo exterior de un triángulo
- Trácese la cuerda auxiliar $\overline{AC}$. Se forma el triángulo interior $\triangle APC$.
- En $\triangle APC$, el ángulo $\delta = \angle APD$ es un ángulo exterior al triángulo en el vértice $P$.
- Por el teorema del ángulo exterior, su medida es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes:
$$\delta = \angle PAC + \angle PCA$$ - Pero $\angle PAC$ es un ángulo inscrito que subtiende el arco $\overset{\frown}{BC}$, luego $\angle PAC = \frac{\text{med}(\overset{\frown}{BC})}{2}$.
- Y $\angle PCA$ es un ángulo inscrito que subtiende el arco $\overset{\frown}{AD}$, luego $\angle PCA = \frac{\text{med}(\overset{\frown}{AD})}{2}$.
- Sumando ambas igualdades:
$$\delta = \frac{\text{med}(\overset{\frown}{BC})}{2} + \frac{\text{med}(\overset{\frown}{AD})}{2} = \frac{\text{med}(\overset{\frown}{AD}) + \text{med}(\overset{\frown}{BC})}{2}$$
Complemento didáctico: Para no mezclarte con la fórmula del ángulo exterior: INterior = AÑADIR (Suma); EXterior = EXTRAER (Resta). El ángulo que vive adentro promedia los arcos sumándolos y dividiendo entre dos.
La alternativa correcta es 'La semisuma de los dos arcos interceptados: (Arco₁ + Arco₂) / 2.' El ángulo interior promedia los dos arcos opuestos sumándolos y dividiendo entre dos.
Definiciones clave
- Ángulo interior: Ángulo con vértice en el interior del círculo formado por dos cuerdas secantes.
- Arcos opuestos por el vértice: Arcos interceptados por el ángulo y por sus prolongaciones rectilíneas.
- Semisuma: Promedio aritmético de dos magnitudes dividido por 2.
Propiedades y relaciones importantes
- Caso límite central: Si el punto de corte $P$ es el centro $O$, ambos arcos son iguales y $\delta = \frac{\alpha + \alpha}{2} = \alpha$ (se recupera el ángulo del centro).
- Ángulos adyacentes suplementarios: El ángulo interior adyacente suma $180^\circ$ con $\delta$ y subtiende los otros dos arcos laterales.
- Suma total de arcos: Los cuatro arcos determinados por las dos cuerdas completan los $360^\circ$ del perímetro angular.
Ejemplo guiado
Dos cuerdas se intersecan en un punto interior $P$ de una circunferencia. Los arcos opuestos que interceptan miden $85^\circ$ y $35^\circ$. Calcula la medida del ángulo interior $\delta$. Además, si otro ángulo interior mide $75^\circ$ y uno de sus arcos mide $100^\circ$, halla la medida del otro arco opuesto.
- Paso 1: Aplicar la fórmula de la semisuma con los arcos de $85^\circ$ y $35^\circ$: $\delta = \frac{85^\circ + 35^\circ}{2}$.
- Paso 2: Sumar y dividir: $\delta = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
- Paso 3: Para el segundo problema, plantear la ecuación con $\delta = 75^\circ$ y arco conocido de $100^\circ$: $75^\circ = \frac{100^\circ + x}{2}$.
- Paso 4: Multiplicar por 2 y despejar el arco incógnita $x$: $150^\circ = 100^\circ + x \implies x = 150^\circ - 100^\circ = 50^\circ$.
La alternativa correcta es '70°.' Calculando la semisuma: $\frac{90^\circ + 50^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$.
Procedimiento
- 1. Identificar los dos arcos opuestos interceptados por las cuerdas que se cruzan.
- 2. Sumar las medidas angulares de ambos arcos.
- 3. Dividir el resultado de la suma entre 2: $\delta = \frac{\overset{\frown}{\text{Arco}_1} + \overset{\frown}{\text{Arco}_2}}{2}$.
- 4. Para despejar un arco desconocido, multiplicar el ángulo interior por 2 y restar el arco conocido.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común 1: Restar los arcos en lugar de sumarlos. Corrección: La resta se usa en ángulos EXTERIORES; en ángulos interiores se SUMA.
- Error común 2: Olvidar dividir entre dos al final. Corrección: El ángulo es la semisuma (la mitad de la suma).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Calcular medidas de ángulos interiores formados por cuerdas secantes y arcos interceptados.
Aplicando la fórmula de la semisuma $\delta = \frac{\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{CD}}{2}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si los arcos enfrentados miden 70° y 50°, el ángulo interior mide 60°.
(70+50)/2=60.
Respuesta: Verdadero
-
Un ángulo formado por dos cuerdas que se cruzan dentro de una circunferencia mide:
m(ángulo)=(arco1+arco2)/2.
Respuesta: A) La semisuma de los dos arcos que enfrenta
-
¿En qué se diferencia este ángulo del ángulo inscrito?
El ángulo interior de cuerdas usa la semisuma de dos arcos opuestos.
Respuesta: A) El interior depende de dos arcos, el inscrito de uno solo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El vértice de este ángulo está siempre sobre la circunferencia.
El vértice está en el interior del círculo, en el punto de cruce de las cuerdas, no sobre la circunferencia.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si el ángulo interior mide 55° y un arco enfrentado mide 60°, el otro arco mide 50°.
55×2=110=60+x → x=50°.
Respuesta: Verdadero
-
El ángulo formado por dos cuerdas que se cruzan mide 75°, y uno de los arcos enfrentados mide 90°. ¿Cuánto mide el otro arco?
75×2=150=90+x → x=60°.
Respuesta: A) 60°
-
Dos cuerdas se cruzan dentro de un círculo; los arcos enfrentados miden 90° y 30°. ¿Cuánto mide el ángulo?
(90+30)/2=60.
Respuesta: A) 60°
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular este ángulo?
Es un error común aplicar la fórmula del ángulo inscrito por error.
Respuesta: A) Usar solo uno de los dos arcos en vez de sumarlos antes de dividir
-
En un plato circular decorado, dos líneas (cuerdas) se cruzan en su interior. Los arcos que 'enfrenta' el cruce miden 110° y 40°. ¿Cuánto mide el ángulo del cruce?
(110+40)/2=75.
Respuesta: A) 75°
-
Los ángulos opuestos por el vértice formados por dos cuerdas que se cruzan dentro de un círculo son iguales entre sí.
Es una propiedad general de ángulos opuestos por el vértice, además de la fórmula de arcos.
Respuesta: Verdadero