Medida de un ángulo interior formado por dos cuerdas que se intersectan dentro de la circunferencia
Calcular la medida de un ángulo formado por dos cuerdas que se cruzan en un punto interior de la circunferencia, a partir de los arcos que dicho ángulo y su opuesto por el vértice determinan.
Introducción
Cuando dos cuerdas se cruzan dentro de un círculo, el ángulo que forman no es simplemente la mitad de un arco, sino el promedio de dos arcos opuestos.
Explicación
Definición formal
Si dos cuerdas $AC$ y $BD$ de una circunferencia se intersectan en un punto interior $P$, la medida del ángulo $\angle APB$ (o su opuesto por el vértice $\angle CPD$) es igual a la semisuma de los arcos que dicho ángulo y su ángulo opuesto interceptan: $m(\angle APB)=\frac{m(\text{arco }AB)+m(\text{arco }CD)}{2}$.
Desarrollo didáctico
Si el arco $AB$ mide 70° y el arco $CD$ mide 50°, el ángulo formado entre las cuerdas en su punto de intersección mide $\frac{70°+50°}{2}=60°$. Este resultado se obtiene trazando una cuerda auxiliar y usando la propiedad del ángulo exterior de un triángulo junto con el teorema del ángulo inscrito.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica las dos cuerdas que se intersectan y el punto de intersección interior.
- Paso 2: Identifica los dos arcos que quedan 'enfrentados' por el ángulo de interés y su opuesto por el vértice.
- Paso 3: Suma ambos arcos y divide el resultado entre 2 para obtener la medida del ángulo.
Ejemplos
1 Dos cuerdas se cruzan dentro de una circunferencia; los arcos que enfrenta el ángulo miden 70° y 50°.
- m(ángulo)=(70°+50°)/2=120°/2=60°.
2 El ángulo formado por dos cuerdas que se cruzan mide 65°, y uno de los arcos enfrentados mide 80°.
- 65×2=130=80+x → x=130-80=50°; el otro arco mide 50°.
3 ¿Este ángulo depende de dos arcos y no de uno solo?
- Sí, a diferencia del ángulo inscrito (que depende de un solo arco), este ángulo depende de la suma de dos arcos opuestos.
4 ¿Este ángulo puede calcularse igual que un ángulo inscrito simple?
- No, requiere promediar dos arcos, no solo tomar la mitad de un único arco.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Usar solo uno de los dos arcos en vez de sumar ambos antes de dividir entre 2."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir los arcos que 'enfrenta' el ángulo con los arcos adyacentes a las cuerdas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la fórmula del ángulo inscrito (mitad de un solo arco) en vez de la del ángulo interior (semisuma de dos arcos)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si dos cuerdas $AB$ y $CD$ se intersectan en un punto interior $P$, la medida del ángulo formado es $m(\angle APC)=\frac{m(\text{arco }AC)+m(\text{arco }BD)}{2}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si los arcos enfrentados miden 70° y 50°, el ángulo interior mide 60°.
(70+50)/2=60.
Respuesta: Verdadero
-
Un ángulo formado por dos cuerdas que se cruzan dentro de una circunferencia mide:
m(ángulo)=(arco1+arco2)/2.
Respuesta: A) La semisuma de los dos arcos que enfrenta
-
¿En qué se diferencia este ángulo del ángulo inscrito?
El ángulo interior de cuerdas usa la semisuma de dos arcos opuestos.
Respuesta: A) El interior depende de dos arcos, el inscrito de uno solo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El vértice de este ángulo está siempre sobre la circunferencia.
El vértice está en el interior del círculo, en el punto de cruce de las cuerdas, no sobre la circunferencia.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si el ángulo interior mide 55° y un arco enfrentado mide 60°, el otro arco mide 50°.
55×2=110=60+x → x=50°.
Respuesta: Verdadero
-
El ángulo formado por dos cuerdas que se cruzan mide 75°, y uno de los arcos enfrentados mide 90°. ¿Cuánto mide el otro arco?
75×2=150=90+x → x=60°.
Respuesta: A) 60°
-
Dos cuerdas se cruzan dentro de un círculo; los arcos enfrentados miden 90° y 30°. ¿Cuánto mide el ángulo?
(90+30)/2=60.
Respuesta: A) 60°
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular este ángulo?
Es un error común aplicar la fórmula del ángulo inscrito por error.
Respuesta: A) Usar solo uno de los dos arcos en vez de sumarlos antes de dividir
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En un plato circular decorado, dos líneas (cuerdas) se cruzan en su interior. Los arcos que 'enfrenta' el cruce miden 110° y 40°. ¿Cuánto mide el ángulo del cruce?
(110+40)/2=75.
Respuesta: A) 75°
-
Los ángulos opuestos por el vértice formados por dos cuerdas que se cruzan dentro de un círculo son iguales entre sí.
Es una propiedad general de ángulos opuestos por el vértice, además de la fórmula de arcos.
Respuesta: Verdadero