Medida de un ángulo exterior formado por una tangente y una secante
Resumen inicial
Medida de un ángulo exterior formado por una tangente y una secante: conceptos, teoremas, propiedades geométricas y cálculo en Circunferencia y Círculo.
Explicación en palabras simples
Cuando desde un punto exterior se traza una tangente y también una secante, el ángulo entre ambas también depende de una semidiferencia de arcos, igual que con dos secantes.
Explicación formal
Definición formal
Si desde un punto exterior $P$ se traza una tangente (que toca la circunferencia en $T$) y una secante (que la corta en $A$ y $B$, con $B$ el punto más alejado de $P$), entonces $m(\angle P)=\frac{m(\text{arco }TB)-m(\text{arco }TA)}{2}$, la semidiferencia entre el arco lejano y el arco cercano (ambos medidos desde el punto de tangencia $T$).
Desarrollo didáctico
Si el arco lejano $TB$ mide 110° y el arco cercano $TA$ mide 40°, el ángulo en $P$ mide $\frac{110°-40°}{2}=35°$. Esta fórmula es análoga a la del ángulo exterior de dos secantes, reemplazando uno de los puntos de intersección por el punto de tangencia.
La alternativa correcta es: Aplicar correctamente las definiciones y propiedades fundamentales de medida de un ángulo exterior formado por una tangente y una secante. Corresponde al fundamento conceptual de medida de un ángulo exterior formado por una tangente y una secante.
Definiciones clave
- Medida de un ángulo exterior formado por una tangente y una secante: Elemento o propiedad fundamental en el estudio de circunferencia y círculo.
Propiedades y relaciones importantes
- Relaciones geométricas: Conexión entre vértices, lados, ángulos o trasformaciones asociadas a medida de un ángulo exterior formado por una tangente y una secante.
Ejemplo guiado
Para analizar medida de un ángulo exterior formado por una tangente y una secante, considera un ángulo $\alpha = 119^\circ$ ubicado en la posición dada. Determina el valor de la medida asociada sabiendo que $x + 1044^\circ = 119^\circ$.
- Identificar la propiedad de medida de un ángulo exterior formado por una tangente y una secante referida a $\alpha = 119^\circ$.
- Plantear la ecuación de cálculo: $x + 1044 = 119 \implies x = 119 - 1044$.
- Concluir que la medida calculada para medida de un ángulo exterior formado por una tangente y una secante es $x = -925^\circ$.
La alternativa correcta es: Sustituir adecuadamente los valores conocidos en la fórmula de medida de un ángulo exterior formado por una tangente y una secante para obtener el resultado. Procedimiento estándar de resolución geométrica.
Procedimiento
- Paso 1: Identifica el punto exterior P, el punto de tangencia T y los dos puntos de corte de la secante (A cercano, B lejano).
- Paso 2: Identifica el arco lejano TB y el arco cercano TA (ambos medidos desde el punto de tangencia).
- Paso 3: Resta el arco cercano al arco lejano y divide el resultado entre 2 para obtener la medida del ángulo en P.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
Evita confundir las unidades de medida (longitud vs. área vs. volumen) al trabajar con medida de un ángulo exterior formado por una tangente y una secante.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Desarrollo paso a paso aplicando medida de un ángulo exterior formado por una tangente y una secante.
- Verificación de las condiciones de medida de un ángulo exterior formado por una tangente y una secante.
- Sí, porque las figuras congruentes conservan todas sus medidas y ángulos.
- No, las longitudes y distancias geométricas en el espacio real son siempre valores no negativos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Identificar, calcular y aplicar las propiedades de medida de un ángulo exterior formado por una tangente y una secante en problemas geométricos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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El ángulo formado por una tangente y una secante desde un punto exterior es:
m(∠P)=(arco TB-arco TA)/2.
Respuesta: A) La semidiferencia entre el arco lejano y el arco cercano (medidos desde el punto de tangencia)
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Si el arco TB mide 110° y el arco TA mide 40°, el ángulo exterior mide 35°.
(110-40)/2=35.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué diferencia esta situación de la del ángulo exterior de dos secantes?
La tangente 'toca' en un solo punto T en vez de cortar en dos puntos.
Respuesta: A) Uno de los puntos de corte se reemplaza por el punto de tangencia T
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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El punto de tangencia T cuenta como los dos extremos del arco 'cercano' y 'lejano' simultáneamente.
T es el punto común desde el cual se miden ambos arcos (TA y TB).
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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El arco TB mide 130° y el arco TA mide 50°. ¿Cuánto mide el ángulo exterior en P?
(130-50)/2=40.
Respuesta: A) 40°
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Si el ángulo exterior mide 22° y el arco TA mide 46°, el arco TB mide 90°.
22×2=44=x-46 → x=90°.
Respuesta: Verdadero
-
El ángulo exterior en P mide 33° y el arco TB mide 106°. ¿Cuánto mide el arco TA?
33×2=66=106-x → x=40°.
Respuesta: A) 40°
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al calcular este ángulo?
Es un error común confundirlo con la fórmula del ángulo interior.
Respuesta: A) Sumar los arcos en vez de restarlos
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Si la secante se convierte también en tangente (es decir, ambas rectas tocan la circunferencia en un solo punto cada una), el ángulo se calcularía como la semidiferencia de los dos arcos determinados por los puntos de tangencia.
Es el caso de ángulo exterior formado por dos tangentes, análogo pero con ambos puntos de tangencia en vez de uno.
Respuesta: Verdadero
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Un dron sobrevuela en línea recta tangente a una laguna circular en el punto T, y otro dron sigue una trayectoria secante que corta la laguna en A (cercano) y B (lejano). Ambas trayectorias parten del mismo punto P. Si el arco TB mide 140° y el arco TA mide 60°, ¿cuál es el ángulo entre ambas trayectorias en P?
(140-60)/2=40.
Respuesta: A) 40°