Medida de un ángulo exterior formado por una tangente y una secante
Calcular la medida de un ángulo formado por una recta tangente y una recta secante, ambas trazadas desde un mismo punto exterior a la circunferencia.
Introducción
Cuando desde un punto exterior se traza una tangente y también una secante, el ángulo entre ambas también depende de una semidiferencia de arcos, igual que con dos secantes.
Explicación
Definición formal
Si desde un punto exterior $P$ se traza una tangente (que toca la circunferencia en $T$) y una secante (que la corta en $A$ y $B$, con $B$ el punto más alejado de $P$), entonces $m(\angle P)=\frac{m(\text{arco }TB)-m(\text{arco }TA)}{2}$, la semidiferencia entre el arco lejano y el arco cercano (ambos medidos desde el punto de tangencia $T$).
Desarrollo didáctico
Si el arco lejano $TB$ mide 110° y el arco cercano $TA$ mide 40°, el ángulo en $P$ mide $\frac{110°-40°}{2}=35°$. Esta fórmula es análoga a la del ángulo exterior de dos secantes, reemplazando uno de los puntos de intersección por el punto de tangencia.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el punto exterior P, el punto de tangencia T y los dos puntos de corte de la secante (A cercano, B lejano).
- Paso 2: Identifica el arco lejano TB y el arco cercano TA (ambos medidos desde el punto de tangencia).
- Paso 3: Resta el arco cercano al arco lejano y divide el resultado entre 2 para obtener la medida del ángulo en P.
Ejemplos
1 Desde un punto exterior P se traza una tangente (toca en T) y una secante (corta en A y B); el arco TB mide 110° y el arco TA mide 40°.
- m(∠P)=(110°-40°)/2=70°/2=35°.
2 El ángulo en P mide 28°, y el arco TB (lejano) mide 96°.
- 28×2=56=96-x → x=96-56=40°; el arco TA mide 40°.
3 ¿Ambos arcos (TA y TB) se miden desde el mismo punto de tangencia T?
- Sí, ambos arcos parten del punto de tangencia T hacia cada uno de los puntos de corte de la secante.
4 ¿Esta fórmula sería válida si P estuviera dentro de la circunferencia?
- No, esta fórmula exige que P sea un punto exterior; dentro de la circunferencia se aplicaría la fórmula del ángulo interior (semisuma, no semidiferencia).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir esta fórmula con la del ángulo exterior de dos secantes, olvidando que un extremo ahora es el punto de tangencia T."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar los arcos en vez de restarlos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir el orden de la resta (arco cercano menos lejano), obteniendo un resultado negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si desde un punto exterior $P$ se traza una tangente que toca la circunferencia en $T$ y una secante que la corta en $A$ y $B$ (siendo $B$ el punto más lejano), la medida del ángulo es $m(\angle P)=\frac{m(\text{arco }TB)-m(\text{arco }TA)}{2}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El ángulo formado por una tangente y una secante desde un punto exterior es:
m(∠P)=(arco TB-arco TA)/2.
Respuesta: A) La semidiferencia entre el arco lejano y el arco cercano (medidos desde el punto de tangencia)
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Si el arco TB mide 110° y el arco TA mide 40°, el ángulo exterior mide 35°.
(110-40)/2=35.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué diferencia esta situación de la del ángulo exterior de dos secantes?
La tangente 'toca' en un solo punto T en vez de cortar en dos puntos.
Respuesta: A) Uno de los puntos de corte se reemplaza por el punto de tangencia T
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El punto de tangencia T cuenta como los dos extremos del arco 'cercano' y 'lejano' simultáneamente.
T es el punto común desde el cual se miden ambos arcos (TA y TB).
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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El arco TB mide 130° y el arco TA mide 50°. ¿Cuánto mide el ángulo exterior en P?
(130-50)/2=40.
Respuesta: A) 40°
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Si el ángulo exterior mide 22° y el arco TA mide 46°, el arco TB mide 90°.
22×2=44=x-46 → x=90°.
Respuesta: Verdadero
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El ángulo exterior en P mide 33° y el arco TB mide 106°. ¿Cuánto mide el arco TA?
33×2=66=106-x → x=40°.
Respuesta: A) 40°
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al calcular este ángulo?
Es un error común confundirlo con la fórmula del ángulo interior.
Respuesta: A) Sumar los arcos en vez de restarlos
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Si la secante se convierte también en tangente (es decir, ambas rectas tocan la circunferencia en un solo punto cada una), el ángulo se calcularía como la semidiferencia de los dos arcos determinados por los puntos de tangencia.
Es el caso de ángulo exterior formado por dos tangentes, análogo pero con ambos puntos de tangencia en vez de uno.
Respuesta: Verdadero
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Un dron sobrevuela en línea recta tangente a una laguna circular en el punto T, y otro dron sigue una trayectoria secante que corta la laguna en A (cercano) y B (lejano). Ambas trayectorias parten del mismo punto P. Si el arco TB mide 140° y el arco TA mide 60°, ¿cuál es el ángulo entre ambas trayectorias en P?
(140-60)/2=40.
Respuesta: A) 40°