Medida de un ángulo exterior formado por dos secantes trazadas desde un punto exterior
Calcular la medida de un ángulo formado por dos rectas secantes trazadas desde un punto exterior a la circunferencia, a partir de los arcos que quedan comprendidos entre ellas.
Introducción
Desde un punto fuera de un círculo se pueden trazar dos secantes, cada una cortando la circunferencia en dos puntos; el ángulo entre ellas depende de la diferencia de los arcos que abarcan.
Explicación
Definición formal
Si desde un punto exterior $P$ se trazan dos secantes a una circunferencia, cortándola en $A,B$ (la primera) y $C,D$ (la segunda), con $B$ y $D$ los puntos más alejados de $P$, entonces $m(\angle P)=\frac{m(\text{arco }BD)-m(\text{arco }AC)}{2}$, es decir, la semidiferencia entre el arco lejano y el arco cercano.
Desarrollo didáctico
Si el arco lejano $BD$ mide 100° y el arco cercano $AC$ mide 30°, el ángulo en $P$ mide $\frac{100°-30°}{2}=35°$. Esta relación se demuestra trazando la cuerda auxiliar $BC$ y usando la propiedad del ángulo exterior de un triángulo junto con el teorema del ángulo inscrito.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el punto exterior P y las dos secantes trazadas desde él.
- Paso 2: Identifica el arco lejano (entre los dos puntos más alejados de P) y el arco cercano (entre los dos puntos más próximos a P).
- Paso 3: Resta el arco cercano al arco lejano y divide el resultado entre 2 para obtener la medida del ángulo en P.
Ejemplos
1 Dos secantes trazadas desde un punto exterior P determinan un arco lejano de 100° y un arco cercano de 30°.
- m(∠P)=(100°-30°)/2=70°/2=35°.
2 El ángulo en P mide 25°, y el arco lejano mide 80°.
- 25×2=50=80-x → x=80-50=30°; el arco cercano mide 30°.
3 ¿Se resta el arco cercano al lejano (y no al revés)?
- Sí, siempre se resta el arco menor (cercano) del arco mayor (lejano) para obtener un resultado positivo.
4 ¿Este ángulo podría calcularse sumando ambos arcos en vez de restarlos?
- No, a diferencia del ángulo interior (que suma arcos), el ángulo exterior siempre resta los arcos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Sumar los arcos en vez de restarlos (esa es la fórmula del ángulo interior, no del exterior)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Restar el arco lejano menos el cercano en el orden incorrecto, obteniendo un valor negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir cuál arco es el lejano y cuál el cercano respecto del punto exterior P."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si desde un punto exterior $P$ se trazan dos secantes que cortan la circunferencia en $A,B$ y $C,D$ (siendo $B$ y $D$ los puntos más lejanos), la medida del ángulo es $m(\angle P)=\frac{m(\text{arco }BD)-m(\text{arco }AC)}{2}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si el arco lejano mide 100° y el cercano 30°, el ángulo exterior mide 35°.
(100-30)/2=35.
Respuesta: Verdadero
-
¿En qué se diferencia esta fórmula de la del ángulo interior de cuerdas?
Interior: semisuma; exterior: semidiferencia.
Respuesta: A) Esta resta los arcos, la interior los suma
-
El ángulo formado por dos secantes desde un punto exterior es:
m(∠P)=(arco lejano-arco cercano)/2.
Respuesta: A) La semidiferencia entre el arco lejano y el arco cercano
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El vértice de este ángulo está dentro de la circunferencia.
El vértice P está fuera de la circunferencia, no dentro.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
El arco lejano mide 120° y el cercano 40°. ¿Cuánto mide el ángulo exterior?
(120-40)/2=40.
Respuesta: A) 40°
-
Si el ángulo exterior mide 20° y el arco cercano mide 50°, el arco lejano mide 90°.
20×2=40=x-50 → x=90°.
Respuesta: Verdadero
-
El ángulo exterior en P mide 30° y el arco lejano mide 100°. ¿Cuánto mide el arco cercano?
30×2=60=100-x → x=40°.
Respuesta: A) 40°
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular este ángulo?
Es un error común confundir esta fórmula con la del ángulo interior de cuerdas.
Respuesta: A) Sumar los arcos en vez de restarlos
-
Un ángulo exterior formado por dos secantes siempre es menor que el ángulo inscrito que subtiende el arco lejano.
Al restar el arco cercano, el resultado siempre es menor que la mitad del arco lejano solo.
Respuesta: Verdadero
-
Un fotógrafo se ubica en un punto P fuera de una fuente circular y apunta su cámara trazando dos líneas de visión que cortan el borde de la fuente. El arco lejano entre ambas líneas mide 130° y el cercano 20°. ¿Cuál es el ángulo de apertura de la cámara?
(130-20)/2=55.
Respuesta: A) 55°