Ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180°
Resumen inicial
Un ángulo obtuso es aquel cuya medida es estrictamente mayor que 90° y menor que 180°, con una abertura mayor a la de un ángulo recto.
Explicación en palabras simples
Imagina un libro abierto de par en par sobre una mesa o la inclinación de un sillón reclinable. La abertura es visiblemente más ancha que la esquina de un cuadrado (90°), pero sin llegar a quedar totalmente plano (180°). Eso es un ángulo obtuso.
Explicación formal
Definición formal
Un ángulo $\angle AOB$ es obtuso si su medida angular $\alpha$ es estrictamente mayor que un ángulo recto ($90^\circ$) y estrictamente menor que un ángulo extendido ($180^\circ$):
$$90^\circ < \mu(\angle AOB) < 180^\circ \iff \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \text{ rad}$$
Desglose simbólico y geométrico
- $\alpha \in (90^\circ, 180^\circ)$: Intervalo abierto de medidas angulares obtusas.
- Signos trigonométricos: $\sin \alpha > 0$ y $\cos \alpha < 0$ (segundo cuadrante).
- Suplemento agudo: Su suplemento $\beta = 180^\circ - \alpha$ es siempre un ángulo agudo.
Síntesis didáctica
Los ángulos obtusos caracterizan a los triángulos obtusángulos y a las esquinas externas de diversos polígonos convexos en el plano.
Por cumplir 90° < 135° < 180°, un ángulo de 135° es un ángulo obtuso.
Definiciones clave
- Ángulo obtuso: Ángulo con medida en el intervalo abierto $(90^\circ, 180^\circ)$.
- Triángulo obtusángulo: Triángulo que posee un ángulo obtuso y dos ángulos agudos.
Propiedades y relaciones importantes
- Convexidad: Todo ángulo obtuso pertenece a la familia de los ángulos convexos ($<180^\circ$).
- Suplemento: El suplemento de un ángulo obtuso $\theta$ es siempre un ángulo agudo ($180^\circ - \theta$).
Ejemplo guiado
En un triángulo obtusángulo, uno de sus ángulos interiores mide $\theta = 125^\circ$. Clasifica este ángulo y calcula su ángulo suplementario.
- Paso 1: Comprobar que $90^\circ < 125^\circ < 180^\circ$, lo que clasifica a $\theta$ como ángulo obtuso.
- Paso 2: Plantear la ecuación del suplemento: $\theta + \beta = 180^\circ$.
- Paso 3: Calcular $\beta = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$.
- Paso 4: Concluir que el suplemento es un ángulo agudo de $55^\circ$.
Dado que los ángulos interiores suman 180°, un triángulo solo puede tener como máximo un ángulo obtuso.
Procedimiento
- Paso 1: Medir o despejar algebraicamente el valor de $\theta$ en grados.
- Paso 2: Comprobar la desigualdad estricta $90^\circ < \theta < 180^\circ$.
- Paso 3: Clasificar como ángulo obtuso.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
No confundas ángulos mayores a 180° (cóncavos) con ángulos obtusos (entre 90° y 180°).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $110^\circ$ es mayor que $90^\circ$ y menor que $180^\circ$, por lo tanto es obtuso.
- $\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$, el cual es obtuso.
- No, 180° es un ángulo extendido o llano.
- Sí, si $\theta > 90^\circ$, entonces $180^\circ - \theta < 90^\circ$ (agudo).
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Identificar, clasificar y calcular medidas de ángulos obtusos en polígonos y figuras geométricas.
Verificando la condición $90^\circ < \theta < 180^\circ$ y aplicando propiedades de suplementariedad.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Selecciona la propiedad clave asociada con ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180°.
La conclusión específica para ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180° es “compararlo con 90° y 180° evita confundirlo con un recto o un extendido”; funciona como control del razonamiento.
Respuesta: compararlo con 90° y 180° evita confundirlo con un recto o un extendido
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¿Cuál formulación define con precisión ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180°?
Para ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180°, la formulación completa es “un ángulo obtuso mide más de 90° y menos de 180°”. Las demás alternativas describen conceptos distintos o incompletos.
Respuesta: un ángulo obtuso mide más de 90° y menos de 180°
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Selecciona el ejemplo que permite reconocer ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180°.
El caso “una abertura de 120° supera a un recto, pero todavía no forma una línea recta” cumple la definición de ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180°: un ángulo obtuso mide más de 90° y menos de 180°.
Respuesta: una abertura de 120° supera a un recto, pero todavía no forma una línea recta
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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El caso “una abertura de 120° supera a un recto, pero todavía no forma una línea recta” corresponde principalmente a uno de estos recursos. ¿A cuál?
Los datos del caso satisfacen “un ángulo obtuso mide más de 90° y menos de 180°”; por eso corresponden a Ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180°.
Respuesta: Ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180°
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Respecto de ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180°, evalúa la afirmación: “Un ángulo obtuso mide más de 90° y menos de 180°”.
Verdadero. La afirmación incluye la condición que caracteriza ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180°.
Respuesta: Verdadero
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Para ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180°, se propone el caso “una abertura de 120° supera a un recto, pero todavía no forma una línea recta”. ¿Cumple la idea “compararlo con 90° y 180° evita confundirlo con un recto o un extendido”?
Verdadero. Al aplicar la definición de ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180° al caso, se verifica que compararlo con 90° y 180° evita confundirlo con un recto o un extendido.
Respuesta: Verdadero
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La frase “un ángulo nulo mide 0° porque sus dos rayos coinciden” pertenece a un concepto cercano. ¿Basta por sí sola para definir completamente ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180°?
Falso. Esa frase no reúne las condiciones completas de ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180°; la definición pertinente es “un ángulo obtuso mide más de 90° y menos de 180°”.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En el caso “una abertura de 120° supera a un recto, pero todavía no forma una línea recta”, ¿qué definición justifica de forma completa el procedimiento o la clasificación realizada?
La justificación debe nombrar la condición de ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180°: un ángulo obtuso mide más de 90° y menos de 180°.
Respuesta: un ángulo obtuso mide más de 90° y menos de 180°
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Tras analizar “una abertura de 120° supera a un recto, pero todavía no forma una línea recta”, ¿qué afirmación permite comprobar que la interpretación de ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180° es correcta?
El control pertinente para ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180° es “compararlo con 90° y 180° evita confundirlo con un recto o un extendido”; las otras opciones se refieren a recursos vecinos.
Respuesta: compararlo con 90° y 180° evita confundirlo con un recto o un extendido
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Un estudiante concluye que “compararlo con 90° y 180° evita confundirlo con un recto o un extendido”. ¿Qué recurso matemático está usando principalmente?
Esa conclusión se obtiene al estudiar Ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180°, cuya definición es “un ángulo obtuso mide más de 90° y menos de 180°”.
Respuesta: Ángulo obtuso con medida mayor que 90° y menor que 180°