Ley de De Morgan para la negación de una disyunción
Aplicar la Ley de De Morgan para la negación de una disyunción para encontrar proposiciones equivalentes.
Introducción
Imagina que alguien te dice: "No es cierto que mañana iré al cine o al parque". ¿Qué significa eso? Significa que no harás ninguna de las dos actividades. No irás al cine Y tampoco irás al parque.
En el lenguaje cotidiano, negar que ocurra una de dos opciones (unidas por "o") significa obligatoriamente que ninguna de ellas puede ocurrir. Ambas deben ser falsas a la vez.
Esta es la segunda de las Leyes de De Morgan. Nos enseña a simplificar la negación de una disyunción ("o") transformándola en una frase donde negamos cada parte individualmente unidas por la palabra "y".
Explicación
La segunda de las Leyes de De Morgan trata sobre la negación de una disyunción ("o"). Establece que decir que una disyunción es falsa equivale a afirmar que cada una de las proposiciones que la componen es individualmente falsa.
Formalmente:
$$\neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q$$
Demostración mediante Tabla de Verdad
Comprobemos la equivalencia de ambas expresiones construyendo su tabla de verdad:
| $p$ | $q$ | $p \lor q$ | $\neg(p \lor q)$ | $\neg p$ | $\neg q$ | $\neg p \land \neg q$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | F | F |
| V | F | V | F | F | V | F |
| F | V | V | F | V | F | F |
| F | F | F | V | V | V | V |
Las columnas correspondientes a $\neg(p \lor q)$ y $\neg p \land \neg q$ coinciden exactamente en todas sus filas.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identificar la estructura de negación de una disyunción de la forma $\neg(P \lor Q)$.
- Paso 2: Negar individualmente cada una de las proposiciones del interior del paréntesis, obteniendo $\neg P$ y $\neg Q$.
- Paso 3: Cambiar el conectivo de disyunción ($\lor$) por el de conjunción ($\land$).
- Paso 4: Escribir la proposición equivalente resultante: $\neg(P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$. En esquema: $\neg(p \lor q) \vdash \neg p \land \neg q$.
Ejemplos
1 Simplifica la proposición $\neg(p \lor \neg q)$ aplicando la Ley de De Morgan para la disyunción.
- Paso a: Identificamos la negación exterior de una disyunción: $\neg(P \lor Q)$, donde $P = p$ y $Q = \neg q$.
- Paso b: Aplicamos De Morgan distribuyendo la negación: $\neg p \land \neg(\neg q)$.
- Paso c: Simplificamos la doble negación del segundo término: $\neg(\neg q) \equiv q$.
- Paso d: La proposición equivalente final es $\neg p \land q$.
2 Formaliza y simplifica la frase: 'No es verdad que llueva o haga calor'.
- Paso a: Definimos las variables: sea $ll$ 'llueva' y $c$ 'haga calor'.
- Paso b: La frase original se escribe como la negación de una disyunción: $\neg(ll \lor c)$.
- Paso c: Aplicamos la Ley de De Morgan para la disyunción: $\neg(ll \lor c) \equiv \neg ll \land \neg c$.
- Paso d: Traducimos al lenguaje natural: 'No llueve y no hace calor'.
3 ¿La negación de la disyunción $\neg(\neg p \lor \neg q)$ es equivalente a $p \land q$?
- Partimos de la expresión $\neg(\neg p \lor \neg q)$.
- Aplicamos la Ley de De Morgan: negamos individualmente y cambiamos el conectivo central: $\neg(\neg p) \land \neg(\neg q)$.
- Simplificamos ambas dobles negaciones: $\neg(\neg p) \equiv p$ y $\neg(\neg q) \equiv q$.
- El resultado es $p \land q$, lo que demuestra la equivalencia lógica.
4 ¿La expresión $\neg(p \lor q)$ es lógicamente equivalente a $\neg p \lor \neg q$?
- Al aplicar la Ley de De Morgan para la disyunción, el conectivo 'o' ($\lor$) debe cambiarse a 'y' ($\land$).
- La expresión propuesta mantiene el conectivo 'o' ($\lor$), lo cual es incorrecto.
- Evaluando la combinación $p$ Verdadero y $q$ Falso (V, F), $\neg(V \lor F) \equiv \neg V \equiv F$, mientras que $\neg V \lor \neg F \equiv F \lor V \equiv V$. Al diferir, no son equivalentes.
Ejemplos Verdadero/Falso
"No cambiar el conectivo central al negar la disyunción, dejando el conectivo 'o' ($\lor$) en lugar de escribir 'y' ($\land$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Negar solo uno de los términos de la disyunción y no ambos (ej. escribir $\neg(p \lor q) \equiv \neg p \land q$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la negación de una disyunción con la negación de una conjunción."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Escribir incorrectamente los paréntesis al aplicar la ley, lo que cambia la jerarquía de las operaciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que $\neg p \land \neg q$ significa que al menos uno es falso, cuando en realidad significa obligatoriamente que ambos son falsos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La Ley de De Morgan para la disyunción establece que la negación de una disyunción es lógicamente equivalente a la conjunción de las negaciones de cada proposición. Formalmente, $\neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Decir que es falso que ocurra $p$ o $q$ equivale a decir que:
$\neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q$. Para que esta conjunción sea verdadera, ambas variables deben ser falsas simultáneamente.
Respuesta: Tanto $p$ como $q$ son falsas a la vez
-
¿Qué establece la Ley de De Morgan para la disyunción?
La Ley de De Morgan para la disyunción establece que la negación de una disyunción es la conjunción de las negaciones: $\neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q$.
Respuesta: $\neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q$
-
Al negar una disyunción, el conectivo 'o' ($\lor$) se transforma en:
Por las Leyes de De Morgan, la disyunción se transforma en conjunción al ser negada.
Respuesta: Conjunción ($\land$)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
¿Cuál de las siguientes expresiones es lógicamente equivalente a $\neg(\neg p \lor q)$?
Por De Morgan: $\neg(\neg p \lor q) \equiv \neg(\neg p) \land \neg q \equiv p \land \neg q$.
Respuesta: $p \land \neg q$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Es la proposición $\neg(p \lor q)$ verdadera cuando $p$ es verdadera y $q$ es falsa?
Si $p$ es verdadera, la disyunción $p \lor q$ es verdadera. Su negación $\neg(p \lor q)$ debe ser falsa.
Respuesta: Falso
-
¿Es la proposición $\neg(\neg p \lor \neg q)$ equivalente a $p \land q$?
Aplicando De Morgan a la disyunción interna: $\neg(\neg p) \land \neg(\neg q) \equiv p \land q$, lo cual es verdadero.
Respuesta: Verdadero
-
¿Es la frase 'No es verdad que vaya al cine o juegue videojuegos' equivalente a 'No voy al cine y no juego videojuegos'?
Formalizando: $\neg(c \lor v) \equiv \neg c \land \neg v$, lo cual coincide exactamente con la segunda frase.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
En el diseño de un puente levadizo, el sistema de seguridad prohíbe que el puente esté abierto si se cumple que hay automóviles cruzando o hay peatones en la vía. Si esto se denota como $\neg(a \lor p)$, ¿cuál de las siguientes opciones lógicas es una condición de seguridad equivalente?
Por la Ley de De Morgan para la disyunción, negar una disyunción equivale a la conjunción de los términos negados: $\neg(a \lor p) \equiv \neg a \land \neg p$.
Respuesta: $\neg a \land \neg p$
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Considere la proposición compleja $S = \neg(\neg p \lor q)$. Al aplicar la Ley de De Morgan, ¿a qué expresión equivale?
Aplicando De Morgan para la disyunción: $\neg(\neg p) \land \neg q$. Por la ley de doble negación, $\neg(\neg p) \equiv p$. El resultado es $p \land \neg q$.
Respuesta: $p \land \neg q$
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Una aerolínea publica el siguiente reglamento de equipaje: 'No está permitido llevar líquidos inflamables o herramientas afiladas en el equipaje de mano'. Si $l$ representa 'llevar líquidos inflamables' y $h$ representa 'llevar herramientas afiladas', ¿cómo se expresa correctamente la restricción en términos lógicos equivalentes?
La restricción se formaliza como $\neg(l \lor h)$. Por De Morgan, esto equivale a $\neg l \land \neg h$, es decir: no llevar líquidos inflamables Y no llevar herramientas afiladas.
Respuesta: No se puede llevar líquidos inflamables y no se puede llevar herramientas afiladas