Conjuntos no disjuntos
Identificar y justificar si dos conjuntos no son disjuntos comprobando que comparten al menos un elemento en común.
Introducción
Imagina que tú tienes un estuche con lápices de pasta azul, negro y rojo, y tu compañero tiene otro estuche con lápices de pasta rojo, verde y morado. Si revisan los estuches, ambos verán que tienen en común un lápiz de pasta rojo. Ese objeto pertenece a los dos estuches al mismo tiempo.
En matemáticas, cuando dos conjuntos tienen al menos una cosa en común, decimos que son conjuntos no disjuntos (o conjuntos intersectados). Es como dos calles que se cruzan en una esquina; esa esquina pertenece a ambas calles.
Saber identificar conjuntos no disjuntos te ayudará a resolver problemas de encuestas y grupos donde las personas pueden realizar más de una actividad a la vez.
Explicación
La relación de conjuntos no disjuntos describe la superposición o intersección de elementos entre colecciones.
Definición Formal:
Dos conjuntos $A$ y $B$ no son disjuntos si y solo si:
$$A \cap B \neq \emptyset$$
Esto significa que existe al menos un elemento $x$ tal que pertenece a ambos conjuntos simultáneamente:
$$\exists x : (x \in A \land x \in B)$$
Propiedades y Consecuencias:
1. Intersección No Vacía: La intersección de ambos conjuntos contiene al menos un elemento.
2. Cardinalidad de la Unión: Si $A$ y $B$ son conjuntos finitos no disjuntos, para calcular la cardinalidad de su unión se debe aplicar el principio de inclusión-exclusión:
$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$
(Debemos restar los elementos comunes para no contarlos dos veces).
3. Diferencia de Conjuntos: Si $A$ y $B$ no son disjuntos, entonces quitarle $B$ a $A$ eliminará elementos de $A$, por lo que $A \setminus B$ será un subconjunto propio de $A$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los elementos de los conjuntos $A$ y $B$.
- Paso 2: Compara los elementos buscando si existe al menos un elemento común que pertenezca a ambos conjuntos.
- Paso 3: Si encuentras al menos un elemento común, concluye que los conjuntos no son disjuntos ($A \cap B \neq \emptyset$). Si no hay ninguno, entonces son disjuntos.
Ejemplos
1 Determina si los conjuntos $A = \{1, 2, 3\}$ y $B = \{3, 4, 5\}$ son no disjuntos.
- Paso a: Listamos los elementos de ambos conjuntos. $A = \{1, 2, 3\}$ y $B = \{3, 4, 5\}$.
- Paso b: Buscamos elementos en común. Vemos que el número 3 está en la lista de $A$ y también está en la lista de $B$.
- Paso c: Como el elemento 3 pertenece a la intersección ($3 \in A \cap B$), la intersección no es vacía. Por lo tanto, $A$ y $B$ son conjuntos no disjuntos.
2 Analiza si el conjunto de los múltiplos de 2 y el conjunto de los múltiplos de 3 (en los números naturales) son no disjuntos.
- Paso a: Escribimos los primeros elementos de cada conjunto. Sean $M_2 = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, \dots\}$ y $M_3 = \{3, 6, 9, 12, 15, \dots\}$.
- Paso b: Buscamos elementos en común. El número 6 y el número 12, por ejemplo, pertenecen a ambos conjuntos.
- Paso c: Como existen elementos comunes que son múltiplos de ambos (múltiplos comunes), concluimos que los conjuntos de múltiplos de 2 y de 3 son no disjuntos.
3 ¿Son no disjuntos los conjuntos de letras de las palabras 'SOL' y 'LUNA'?
- Identificamos las letras de la palabra SOL: $\{S, O, L\}$.
- Identificamos las letras de la palabra LUNA: $\{L, U, N, A\}$.
- Comparamos ambos conjuntos y encontramos la letra L en común.
- Dado que comparten al menos un elemento, los conjuntos no son disjuntos.
4 ¿El conjunto vacío $\\emptyset$ y el conjunto $C = \\{1, 2\\}$ son conjuntos no disjuntos?
- Para que sean no disjuntos, deben compartir al menos un elemento en común.
- El conjunto vacío no tiene ningún elemento, por lo que es imposible que comparta elementos con $C$.
- Su intersección es vacía ($C \cap \emptyset = \emptyset$), por lo que son conjuntos disjuntos, no no disjuntos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Pensar que "no disjuntos" significa que un conjunto debe estar completamente contenido dentro del otro. Solo basta con que compartan un elemento."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que si dos conjuntos son diferentes, automáticamente son disjuntos. Pueden ser diferentes y compartir elementos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No comprobar todos los elementos, pasando por alto elementos comunes implícitos (por ejemplo, en definiciones por comprensión)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la cardinalidad de la unión con la de la intersección."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que el conjunto vacío nunca puede formar parte de una relación de no disjuntos con ningún conjunto."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Dos conjuntos $A$ y $B$ no son disjuntos (es decir, son conjuntos con intersección no vacía) si comparten al menos un elemento en común ($A \cap B \neq \emptyset$). Su cardinalidad de la intersección es mayor o igual a uno ($|A \cap B| \ge 1$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué significa que dos conjuntos $A$ y $B$ sean no disjuntos?
La relación de no disjuntos requiere que haya una superposición en sus elementos, haciendo que su intersección no sea vacía.
Respuesta: Que comparten al menos un elemento en común, por lo que $A \\cap B \\neq \\emptyset$
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Al aplicar el principio de inclusión-exclusión para dos conjuntos no disjuntos $A$ y $B$, ¿por qué se resta la cardinalidad de la intersección?
Los elementos comunes pertenecen a $A$ y a $B$. Al sumar $|A| + |B|$, se están contando dos veces, por lo que se debe restar una vez su intersección.
Respuesta: Para evitar contar dos veces los elementos que están en ambos conjuntos
-
Si $A$ y $B$ son no disjuntos, ¿cuál de las siguientes opciones describe mejor a la intersección $A \\cap B$?
Dado que comparten elementos en común, la intersección no es vacía, lo que significa que tiene al menos un elemento en su interior.
Respuesta: Contiene al menos un elemento
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes parejas de conjuntos no es disjunta (es decir, es no disjunta)?
Ambos conjuntos contienen a los divisores de 6 menores o iguales a 6 (como 1, 2, 3, 6). Como su intersección no es vacía, no son disjuntos.
Respuesta: $A = \\{x \\in \\mathbb{N} : x \\le 6\\}$ y $B = \\{x \\in \\mathbb{N} : x \\text{ es divisor de } 6\\}$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Los conjuntos $C_1 = \\{2, 3, 5\\}$ y $C_2 = \\{5, 7, 11\\}$ son no disjuntos?
El número 5 pertenece a ambos conjuntos, por lo que su intersección no es vacía y son no disjuntos.
Respuesta: Verdadero
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¿Si la intersección de dos conjuntos es vacía, entonces los conjuntos son no disjuntos?
Si la intersección es vacía, por definición los conjuntos son disjuntos, no 'no disjuntos'.
Respuesta: Falso
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¿Los conjuntos $A = \\{x \\in \\mathbb{N} : x \\text{ es múltiplo de } 4\\}$ y $B = \\{x \\in \\mathbb{N} : x \\text{ es múltiplo de } 6\\}$ son no disjuntos?
Comparten elementos como el 12, 24, 36, etc., que son múltiplos comunes de 4 y 6, haciendo que su intersección no sea vacía.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En un grupo de 100 personas, 60 leen la revista $A$, 50 leen la revista $B$ y 20 leen ambas revistas. ¿Cómo se clasifican los conjuntos $A$ y $B$ y cuál es el número total de lectores que leen al menos una revista?
Son no disjuntos porque 20 personas leen ambas revistas ($|A \\cap B| = 20 > 0$). El total de lectores de al menos una es $|A \\cup B| = 60 + 50 - 20 = 90$.
Respuesta: Son no disjuntos y el total es 90 lectores.
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Sean los conjuntos de números enteros $X = \\{x \\in \\mathbb{Z} : x^2 - 5x + 6 = 0\\}$ y $Y = \\{x \\in \\mathbb{Z} : x^2 - 6x + 8 = 0\\}$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe de forma correcta su relación?
Por extensión: $X = \\{2, 3\\}$ e $Y = \\{2, 4\\}$. Tienen en común el elemento 2. Por tanto, no son disjuntos.
Respuesta: Son no disjuntos porque comparten el número 2.
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En un curso de 40 estudiantes, 22 estudian inglés y 18 estudian francés. Si se sabe que hay estudiantes que cursan ambos idiomas, ¿qué se puede afirmar sobre la cardinalidad de la unión de los estudiantes de inglés ($I$) y francés ($F$)?
Como hay estudiantes en la intersección ($|I \\cap F| \\ge 1$), la cardinalidad de la unión es $|I \\cup F| = 22 + 18 - |I \\cap F| = 40 - |I \\cap F|$, que es estrictamente menor que 40.
Respuesta: La cardinalidad es estrictamente menor que 40.