Conjuntos disjuntos

M1 — PAES obligatoria Básica

Resumen inicial

Definición, características y condición algebraica ($A \cap B = \emptyset$) de los conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes.

Explicación en palabras simples

Infografía: Conjuntos disjuntos, intersección vacía y suma aditiva

Dos conjuntos son disjuntos (o mutuamente excluyentes) cuando no tienen absolutamente ningún elemento en común. Es decir, su intersección es el conjunto vacío: $A \cap B = \emptyset$. Por ejemplo, el conjunto de los números pares $P = \{2, 4, 6\}$ y el conjunto de los números impares $I = \{1, 3, 5\}$ son disjuntos, porque ningún número entero puede ser par e impar al mismo tiempo. En un diagrama de Venn, los conjuntos disjuntos se dibujan como dos círculos completamente separados, sin tocarse.

Explicación formal

Definición formal

En la teoría de conjuntos y la probabilidad axiomática, dos conjuntos $A$ y $B$ son disjuntos (o mutuamente disjuntos) si y solo si su intersección es el conjunto vacío:
$$A \cap B = \emptyset \quad \iff \quad \forall x \, \neg(x \in A \land x \in B)$$
Para una familia arbitraria de conjuntos $\{A_i\}_{i \in I}$, se dice que son disjuntos dos a dos (o disjuntos por pares) si:
$$\forall i, j \in I \, (i \neq j \implies A_i \cap A_j = \emptyset)$$

Desglose simbólico

  • Condición algebraica: $A \cap B = \emptyset$.
  • Principio de Adición exacta: Si $A$ y $B$ son finitos y disjuntos, entonces $|A \cup B| = |A| + |B|$.
  • Diferencia de conjuntos disjuntos: $A \setminus B = A$ y $B \setminus A = B$.
  • Inclusión en el complemento: $A \cap B = \emptyset \iff A \subseteq B^c$.

Complemento didáctico: La disyunción de conjuntos representa la exclusión mutua categórica, fundamental para el cálculo de probabilidades de eventos incompatibles.

Comprueba tu avance ¿Cuál es la condición algebraica necesaria y suficiente para que dos conjuntos $A$ y $B$ sean disjuntos?

Definiciones clave

  • Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos cuya intersección carece de elementos ($A \cap B = \emptyset$).
  • Disjuntos dos a dos (mutuamente disjuntos): Familia de conjuntos donde cualquier par de miembros distintos tiene intersección vacía.
  • Eventos mutuamente excluyentes: Denominación equivalente en teoría de probabilidades.

Propiedades y relaciones importantes

  • Diferencia simétrica de disjuntos: Si $A \cap B = \emptyset$, entonces $A \bigtriangleup B = A \cup B$.
  • Intersección con el vacío: Todo conjunto $A$ es disjunto con el conjunto vacío ($A \cap \emptyset = \emptyset$).

Ejemplo guiado

Diagrama: Disyunción por propiedades y resta de conjuntos disjuntos

Determina si los conjuntos $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}$ y $B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ es múltiplo de } 5\}$ son disjuntos.

  • Paso 1: Escribir el conjunto $A$ por extensión: $A = \{1, 2, 3, 4\}$.
  • Paso 2: Escribir los primeros elementos del conjunto $B$ por extensión: $B = \{5, 10, 15, 20, \dots\}$.
  • Paso 3: Calcular la intersección $A \cap B$ buscando elementos compartidos: - Ningún elemento de $\{1, 2, 3, 4\}$ es múltiplo de 5.
  • Paso 4: Comprobar el resultado: $A \cap B = \emptyset$.
  • Paso 5: Concluir formalmente que los conjuntos $A$ y $B$ son **disjuntos**.
Comprueba tu avance Si $A$ y $B$ son conjuntos finitos y disjuntos con $|A| = 7$ y $|B| = 5$, ¿cuál es la cardinalidad de su unión $|A \cup B|$?

Procedimiento

  • Paso 1: Determinar los elementos de ambos conjuntos $A$ y $B$.
  • Paso 2: Calcular la intersección $A \cap B$ buscando elementos comunes.
  • Paso 3: Si se encuentra al menos un elemento compartido, declarar que NO son disjuntos.
  • Paso 4: Si no existe ningún elemento común ($A \cap B = \emptyset$), declarar formalmente que $A$ y $B$ son disjuntos.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Afirmar que dos conjuntos son disjuntos porque tienen cardinalidades diferentes. Cómo corregirlo: La condición de ser disjuntos depende de la naturaleza de los elementos (que no se repitan entre conjuntos), no de su cantidad.
  • Error 2: Creer que $A \setminus B = \emptyset$ para conjuntos disjuntos. Cómo corregirlo: Si son disjuntos, quitarle $B$ a $A$ no le quita nada, por lo que $A \setminus B = A$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Son disjuntos los números enteros pares y los impares?
2 Si $A \cap B = \emptyset$, ¿cuánto vale $A \setminus B$?
3 Si $A$ y $B$ son disjuntos dentro de $\mathcal{U}$, ¿se cumple que $A \subseteq B^c$?
4 ¿Es el conjunto vacío disjunto con cualquier conjunto $A$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Dos conjuntos $A$ y $B$ son disjuntos si y solo si su intersección es el conjunto vacío ($A \cap B = \emptyset$)."
"La afirmación de que la unión de dos conjuntos disjuntos produce el conjunto vacío."
"La afirmación de que un conjunto no vacío puede ser disjunto consigo mismo."
"Para dos conjuntos finitos disjuntos, la cardinalidad de la unión es exactamente igual a la suma de sus cardinalidades ($|A \cup B| = |A| + |B|$)."
"La afirmación de que la diferencia $A \setminus B$ de dos conjuntos disjuntos es igual al conjunto vacío."
"La afirmación de que dos conjuntos con distinta cardinalidad son automáticamente conjuntos disjuntos."
"La afirmación de que dos conjuntos disjuntos no pueden pertenecer al mismo conjunto universal."

Al terminar debes poder

Cuadro resumen: Conjuntos disjuntos, cardinalidad y complemento

🎯 QUÉ Objetivo

Definir, verificar y operar con conjuntos disjuntos ($A \cap B = \emptyset$).

⚙️ CÓMO Procedimiento

Comprobar la ausencia de elementos compartidos, aplicar el principio aditivo de cardinalidad y relacionarlos con el complemento ($A \subseteq B^c$).

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Si $A$ y $B$ son disjuntos, ¿qué ocurre al calcular la diferencia de conjuntos $A \\setminus B$?

  2. ¿Qué propiedad define que dos conjuntos sean disjuntos?

  3. Si $A$ y $B$ son conjuntos finitos disjuntos, ¿cuál es el resultado de $|A \\cup B|$?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. ¿Cuál de las siguientes parejas de conjuntos es disjunta?

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si dos conjuntos no comparten elementos, la cardinalidad de su intersección es cero?

  2. ¿El conjunto de números primos y el conjunto de números compuestos son no disjuntos?

  3. ¿Los conjuntos $M = \\{x \\in \\mathbb{Z} : x < 0\\}$ y $N = \\{x \\in \\mathbb{Z} : x > 0\\}$ son disjuntos?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. En un centro deportivo, se sabe que el conjunto $F$ de personas que practican fútbol y el conjunto $N$ de personas que practican natación son disjuntos. Si en total hay 25 futbolistas y 18 nadadores, ¿cuántas personas practican al menos uno de estos dos deportes?

  2. Sean los conjuntos $A = \\{x \\in \\mathbb{Z} : x^2 - 4 = 0\\}$ y $B = \\{x \\in \\mathbb{N} : x \\text{ es divisor de } 15\\}$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto a su intersección?

  3. En una estantería escolar hay libros de literatura ($L$) y libros de ciencias ($C$). Ningún libro de ciencias contiene literatura y viceversa. Si se define el conjunto $T$ como el total de libros en la estantería ($T = L \\cup C$), ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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