Propiedad distributiva de la unión sobre la intersección
Aplicar la propiedad distributiva de la unión sobre la intersección para simplificar y resolver operaciones combinadas entre tres conjuntos.
Introducción
Imagina que en un colegio deciden premiar a los estudiantes que pertenecen a 1° Medio ($A$), O que participan simultáneamente en el taller de Ajedrez ($B$) Y en el de Robótica ($C$). Esto se puede expresar como $A \cup (B \cap C)$. La propiedad distributiva nos dice que esto es exactamente equivalente a premiar a los alumnos que están en (1° Medio o Ajedrez) Y que también están en (1° Medio o Robótica), es decir, $(A \cup B) \cap (A \cup C)$. Esta regla nos permite reorganizar las condiciones de manera más simple.
Explicación
La propiedad distributiva de la unión sobre la intersección es una ley fundamental en la teoría de conjuntos que nos permite relacionar y reescribir expresiones algebraicas de conjuntos que combinan las operaciones de unión e intersección.
Definición Formal
Sean $A$, $B$ y $C$ tres conjuntos en un universo $U$. Se cumple la siguiente igualdad:
$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$
Demostración
Esta propiedad se basa en la ley distributiva de la disyunción proposicional sobre la conjunción proposicional en lógica matemática. Por definición de las operaciones de conjuntos:
$$A \cup (B \cap C) = \{x \in U \mid x \in A \lor x \in (B \cap C)\}$$
$$= \{x \in U \mid x \in A \lor (x \in B \land x \in C)\}$$
Aplicando la propiedad distributiva de la lógica de proposiciones, donde $p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r)$, tenemos:
$$= \{x \in U \mid (x \in A \lor x \in B) \land (x \in A \lor x \in C)\}$$
$$= \{x \in U \mid x \in (A \cup B) \land x \in (A \cup C)\} = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$
Esto demuestra analíticamente que ambos miembros son iguales.
Diferencia con la Aritmética Común
En el álgebra numérica ordinaria, el producto se distribuye sobre la suma ($a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$), pero la suma NO se distribuye sobre el producto ($a + (b \cdot c) \neq (a+b) \cdot (a+c)$). Sin embargo, en el álgebra de conjuntos, la unión sí se distribuye sobre la intersección y viceversa.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los tres conjuntos $A$, $B$ y $C$. El conjunto $A$ es el que se une externamente, mientras que $B$ y $C$ se intersectan.
- Paso 2: Resuelve el lado izquierdo $A \cup (B \cap C)$ calculando primero la intersección $B \cap C$ y luego uniendo el resultado con $A$.
- Paso 3: Resuelve el lado derecho $(A \cup B) \cap (A \cup C)$ calculando por separado las uniones $A \cup B$ y $A \cup C$, para luego intersectar ambos conjuntos resultantes.
- Paso 4: Compara los conjuntos finales de ambos lados y comprueba que sus elementos coinciden.
Ejemplos
1 Sean los conjuntos $A = \{1, 2\}$, $B = \{2, 3\}$ y $C = \{2, 4\}$. Comprueba la propiedad distributiva calculando $A \cup (B \cap C)$ y $(A \cup B) \cap (A \cup C)$.
- Paso a: Evaluamos el lado izquierdo. Primero calculamos la intersección: $B \cap C = \{2\}$.
- Paso b: Unimos $A$ con el resultado anterior: $A \cup (B \cap C) = \{1, 2\} \cup \{2\} = \{1, 2\}$.
- Paso c: Evaluamos el lado derecho. Primero calculamos las uniones parciales: $A \cup B = \{1, 2, 3\}$ y $A \cup C = \{1, 2, 4\}$.
- Paso d: Ahora intersectamos ambos resultados: $(A \cup B) \cap (A \cup C) = \{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4\} = \{1, 2\}$.
- Paso e: Ambos lados dan como resultado $\{1, 2\}$, verificando la propiedad distributiva.
2 Sean los conjuntos $X = \{a\}$, $Y = \{b\}$ y $Z = \{c\}$. Comprueba la propiedad distributiva de la unión sobre la intersección.
- Paso a: Para el lado izquierdo, calculamos primero $Y \cap Z = \varnothing$. Luego, $X \cup \varnothing = \{a\}$.
- Paso b: Para el lado derecho, calculamos $X \cup Y = \{a, b\}$ y $X \cup Z = \{a, c\}$. La intersección entre $\{a, b\}$ y $\{a, c\}$ es $\{a\}$.
- Paso c: Ambos lados resultan en el conjunto $\{a\}$, confirmando la equivalencia.
3 ¿Es la expresión $A \cup (B \cap C)$ equivalente a $(A \cup B) \cap (A \cup C)$ para cualquier trío de conjuntos?
- La propiedad distributiva de la unión sobre la intersección es una ley lógica universal de la teoría de conjuntos.
- Se cumple siempre, sin importar la naturaleza o el tamaño de los conjuntos involucrados.
4 ¿Qué ocurre con la propiedad si los conjuntos $B$ y $C$ son disjuntos?
- Si $B \cap C = \varnothing$, el lado izquierdo se reduce a $A \cup \varnothing = A$.
- El lado derecho también se reducirá a $A$, por lo que la propiedad sigue siendo perfectamente válida.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir esta propiedad con la distributiva de la intersección sobre la unión, escribiendo $A \cap (B \cup C)$ en lugar de $A \cup (B \cap C)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Distribuir la unión como si fuera multiplicación aritmética y escribir erróneamente $(A \cup B) \cup (A \cup C)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que la intersección final en el lado derecho es de dos conjuntos ya unidos, no de los conjuntos originales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que esta propiedad no se aplica si alguno de los conjuntos es vacío."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que la propiedad asociativa y la distributiva son lo mismo, omitiendo los cambios de operaciones entre unión e intersección."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La propiedad distributiva de la unión sobre la intersección establece que la unión de un conjunto con la intersección de otros dos es equivalente a la intersección de las uniones del primer conjunto con cada uno de los otros dos. Formalmente: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para demostrar analíticamente que $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$, nos basamos en la propiedad de la lógica proposicional que distribuye:
Como la unión corresponde a la disyunción ($\lor$) y la intersección a la conjunción ($\land$), la distributividad proposicional justifica esta ley de conjuntos.
Respuesta: La disyunción sobre la conjunción ($p \lor (q \land r$)
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A diferencia de la aritmética ordinaria de números reales, en el álgebra de conjuntos se cumple que:
En aritmética ordinaria, la suma no se distribuye sobre el producto ($a + (b \cdot c) \neq (a+b) \cdot (a+c)$), pero en conjuntos la unión sí se distribuye sobre la intersección.
Respuesta: La unión (análoga a la suma) se distribuye sobre la intersección (análoga al producto).
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¿Cuál de las siguientes igualdades representa la propiedad distributiva de la unión sobre la intersección?
La propiedad distributiva de la unión sobre la intersección establece que $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$.
Respuesta: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si sabemos que $B \cap C = \varnothing$, ¿en qué se convierte la expresión $A \cup (B \cap C)$ al aplicar la distributiva de la unión sobre la intersección?
Si $B \cap C = \varnothing$, entonces $A \cup (B \cap C) = A \cup \varnothing = A$. Por ende, $(A \cup B) \cap (A \cup C)$ también es igual a $A$.
Respuesta: $(A \cup B) \cap (A \cup C) = A$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Sean $A = \{1, 2\}$, $B = \{2, 3\}$ y $C = \{2, 4\}$. ¿Da el mismo resultado evaluar $A \cup (B \cap C)$ que $(A \cup B) \cap (A \cup C)$?
Sí, en ambos casos el resultado es el conjunto $\{1, 2\}$.
Respuesta: Verdadero
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La expresión $A \cup (B \cap C)$ es equivalente a $(A \cup B) \cup (A \cup C)$.
Es falsa, la operación correcta exterior es la intersección: $(A \cup B) \cap (A \cup C)$.
Respuesta: Falso
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La propiedad distributiva de la unión sobre la intersección es válida incluso si los conjuntos $A$, $B$ y $C$ no tienen elementos en común.
Sí, es una ley fundamental de la teoría de conjuntos y es válida para cualquier combinación de conjuntos.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Considere tres conjuntos de números $A = \{2, 4\}$, $B = \{1, 2\}$ y $C = \{2, 3\}$. Se quiere comprobar la validez de la propiedad distributiva de la unión sobre la intersección. ¿Cuál es el conjunto resultante que se obtiene por cualquiera de los dos lados de la igualdad?
Calculando por el lado izquierdo: $B \cap C = \{2\}$. Luego, $A \cup (B \cap C) = \{2, 4\} \cup \{2\} = \{2, 4\}$.
Respuesta: $\{2, 4\}$
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En un club deportivo, los socios que juegan tenis son $T$, los que juegan fútbol son $F$ y los que juegan golf son $G$. Un beneficio se otorga al grupo $T \cup (F \cap G)$. Si se sabe que ningún socio juega fútbol y golf a la vez ($F \cap G = \varnothing$), ¿cuál de las siguientes opciones describe correctamente a los que reciben el beneficio?
Como $F \cap G = \varnothing$, entonces $T \cup (F \cap G) = T \cup \varnothing = T$. Por lo tanto, el beneficio lo reciben exactamente los del conjunto $T$.
Respuesta: Exclusivamente los socios que juegan tenis ($T$).
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En una clínica médica, un investigador selecciona pacientes que tienen hipertensión ($H$) O que tienen simultáneamente diabetes ($D$) e hipotiroidismo ($T$). Expresa esta búsqueda como $H \cup (D \cap T)$. El software del sistema solo permite realizar cruces del tipo 'intersección de dos grupos de pacientes'. ¿Cómo puede el investigador reescribir su criterio para usar el software de la clínica?
Por la propiedad distributiva, $H \cup (D \cap T) = (H \cup D) \cap (H \cup T)$. Esto equivale a intersectar la lista $(H \cup D)$ con la lista $(H \cup T)$.
Respuesta: Seleccionando a los pacientes que están en (Hipertensión o Diabetes) y, de ellos, ver quiénes están en (Hipertensión o Hipotiroidismo).