Propiedad distributiva de la intersección sobre la unión
Resumen inicial
Demostración lógica, propiedades y aplicación de la propiedad distributiva de la intersección sobre la unión: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
Explicación en palabras simples
La propiedad distributiva de la intersección sobre la unión establece que el conjunto $A$ "se distribuye" con la intersección $\cap$ hacia cada elemento de la unión:
$$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$$
Esto significa que intersectar $A$ con la unión de $B$ y $C$ es exactamente lo mismo que intersectar $A$ con $B$, intersectar $A$ con $C$, y luego juntar o unir ambos resultados. Es análoga a la clásica multiplicación sobre la suma en álgebra: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
Explicación formal
Definición formal
En la teoría de conjuntos y el retículo distributivo $(\mathcal{P}(\mathcal{U}), \cup, \cap)$, la intersección distribuye sobre la unión:
$$\forall A, B, C \subseteq \mathcal{U}, \quad A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$$
Demostración formal basada en la distributividad lógica de la conjunción sobre la disyunción ($\land$ sobre $\lor$):
$$x \in (A \cap (B \cup C)) \iff x \in A \land (x \in B \lor x \in C) \iff (x \in A \land x \in B) \lor (x \in A \land x \in C) \iff x \in ((A \cap B) \cup (A \cap C))$$
Por el axioma de extensionalidad, se concluye la identidad conjuntista.
Desglose simbólico
- Ley lógica subyacente: $P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)$.
- Extensión a uniones generalizadas: $A \cap \left(\bigcup_{i \in I} B_i\right) = \bigcup_{i \in I} (A \cap B_i)$.
- Cálculo de probabilidades: $P(A \cap (B \cup C)) = P((A \cap B) \cup (A \cap C))$.
Complemento didáctico: Esta propiedad permite descomponer la intersección de un conjunto con una estructura compuesta en partes más sencillas y analizables de forma independiente.
La alternativa correcta es '$A \cap (B \cup C)$'. Se extrae el factor común $A \cap$ quedando la unión de $B$ y $C$.
Definiciones clave
- Distributividad de la intersección sobre la unión: Expansión $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
- Factorización por intersección: Proceso inverso $(A \cap B) \cup (A \cap C) = A \cap (B \cup C)$.
- Tautología de conjunción distributiva: Equivalencia $P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)$.
Propiedades y relaciones importantes
- Simplificación con complementos: $(A \cap B) \cup (A \cap B^c) = A \cap (B \cup B^c) = A \cap \mathcal{U} = A$.
- Conjuntos disjuntos: Si $A \cap B = \emptyset$ y $A \cap C = \emptyset$, entonces $A \cap (B \cup C) = \emptyset \cup \emptyset = \emptyset$.
Ejemplo guiado
Dados $A = \{2, 4, 6\}$, $B = \{1, 2, 3\}$ y $C = \{3, 4, 5\}$, demuestra por extensión que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
- Paso 1: Resolver el lado izquierdo $A \cap (B \cup C)$: - Calcular la unión: $B \cup C = \{1, 2, 3\} \cup \{3, 4, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. - Intersectar con $A$: $A \cap (B \cup C) = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 2, 3, 4, 5\} = \{2, 4\}$.
- Paso 2: Resolver el lado derecho $(A \cap B) \cup (A \cap C)$: - Primera intersección: $A \cap B = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 2, 3\} = \{2\}$. - Segunda intersección: $A \cap C = \{2, 4, 6\} \cap \{3, 4, 5\} = \{4\}$. - Unir ambas intersecciones: $(A \cap B) \cup (A \cap C) = \{2\} \cup \{4\} = \{2, 4\}$.
- Paso 3: Comparar ambos resultados: $\{2, 4\} = \{2, 4\}$.
- Paso 4: Concluir formalmente que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
La alternativa correcta es '$X$'. Factorizando: $X \cap (Y \cup Y^c) = X \cap \mathcal{U} = X$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el conjunto exterior $A$ y el operador $\cap$ que antecede a la unión $(B \cup C)$.
- Paso 2: Distribuir la intersección con $A$ hacia $B$ y hacia $C$: $(A \cap B)$ y $(A \cap C)$.
- Paso 3: Unir ambos resultados con el operador $\cup$ intermedio.
- Paso 4: Para factorizar, detectar el término repetido $A \cap$ y extraerlo fuera de la unión $(B \cup C)$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Confundir la distributiva de la intersección con la asociativa. Cómo corregirlo: La distributiva mezcla dos operadores distintos ($\cap$ afuera y $\cup$ adentro); la asociativa tiene el mismo operador en toda la expresión.
- Error 2: Olvidar que la unión $Y \cup Y^c = \mathcal{U}$ permite simplificar factorizaciones a $X \cap \mathcal{U} = X$. Cómo corregirlo: Aplicar la ley del tercero excluido para sustituir $Y \cup Y^c$ por el universo referencial.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $A \cap B = \emptyset$.
- $A \cap C = \{3\}$.
- $\emptyset \cup \{3\} = \{3\}$.
- $A \cap (B_1 \cup B_2) = A \cap \mathcal{U} = A$.
- $A \cap B \cup (A \cap \emptyset) = (A \cap B) \cup \emptyset = A \cap B$.
- Representa la porción de $A$ que comparte elementos con $B$ o con $C$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Enunciar, demostrar y aplicar la propiedad distributiva de la intersección sobre la unión ($A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$).
Expandir y factorizar expresiones conjuntistas aplicando la ley lógica $P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)$ y simplificar con identidades booleanas.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En un diagrama de Venn de tres conjuntos $A$, $B$ y $C$, la región $A \cap (B \cup C)$ representa a:
Representa el área donde el círculo de $A$ se superpone con los círculos de $B$ y $C$ combinados.
Respuesta: Los elementos comunes entre $A$ y la unión de $B$ con $C$
-
La equivalencia lógica $p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r)$ fundamenta qué propiedad de conjuntos:
Como la intersección se asocia a la conjunción ($\land$) y la unión a la disyunción ($\lor$), esta ley proposicional demuestra la distributividad de la intersección sobre la unión.
Respuesta: La propiedad distributiva de la intersección sobre la unión
-
¿Cuál de las siguientes expresiones representa la propiedad distributiva de la intersección sobre la unión?
La propiedad distributiva de la intersección sobre la unión indica que intersectar un conjunto con una unión es equivalente a unir las intersecciones individuales: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
Respuesta: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si se expande la expresión $X \cap (Y \cup Z)$ usando la propiedad distributiva, ¿cuál de las siguientes opciones se obtiene?
La intersección externa de $X$ se distribuye a cada conjunto del paréntesis conservando la unión como la operación principal entre los dos términos resultantes.
Respuesta: $(X \cap Y) \cup (X \cap Z)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Sean $A = \{1, 2\}$, $B = \{2, 3\}$ y $C = \{4\}$. ¿Es cierto que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$?
Sí, calculando el lado izquierdo: $B \cup C = \{2, 3, 4\}$, entonces $A \cap \{2, 3, 4\} = \{2\}$. Lado derecho: $(A \cap B) = \{2\}$, $(A \cap C) = \varnothing$. Su unión es $\{2\} \cup \varnothing = \{2\}$. Ambos lados son iguales.
Respuesta: Verdadero
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La propiedad distributiva de la intersección sobre la unión establece que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cap (A \cap C)$.
La operación central debe ser la unión: $(A \cap B) \cup (A \cap C)$. La afirmación usa intersección en su lugar, lo cual es incorrecto.
Respuesta: Falso
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La propiedad distributiva de la intersección sobre la unión es válida incluso si alguno de los conjuntos involucrados es el conjunto vacío.
La distributividad es una ley algebraica general de los conjuntos y se cumple para todos los casos, incluyendo conjuntos vacíos.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Considere los conjuntos de números reales $A = [3, 7]$, $B = [1, 4]$ y $C = [6, 9]$. Se quiere calcular la intersección de $A$ con la unión de $B$ y $C$. ¿Cuál de los siguientes intervalos representa el resultado obtenido?
Aplicando distributividad: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$. Calculamos $A \cap B = [3, 7] \cap [1, 4] = [3, 4]$. Calculamos $A \cap C = [3, 7] \cap [6, 9] = [6, 7]$. La unión de ambos da $[3, 4] \cup [6, 7]$.
Respuesta: $[3, 4] \cup [6, 7]$
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Sean $A$, $B$ y $C$ tres conjuntos de números. Si se sabe que $A$ y $B$ son disjuntos, y que $A$ y $C$ también son disjuntos, ¿cuál es el resultado de evaluar $A \cap (B \cup C)$?
Por la propiedad distributiva, $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$. Como $A \cap B = \varnothing$ y $A \cap C = \varnothing$, entonces $\varnothing \cup \varnothing = \varnothing$.
Respuesta: $\varnothing$
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Una municipalidad organiza talleres de deportes para jóvenes. El conjunto $M$ representa a los inscritos en el taller de natación, $T$ a los de tenis de mesa y $F$ a los de fútbol. Se decide dar una beca a los jóvenes de natación que además practiquen tenis de mesa O fútbol. Expresado en conjuntos, esto es $M \cap (T \cup F)$. Si el software de la municipalidad solo puede buscar 'jóvenes que están en natación y tenis de mesa' ($M \cap T$) por un lado, y 'jóvenes que están en natación y fútbol' ($M \cap F$) por otro, ¿cómo se debe programar la combinación de estas búsquedas para obtener la lista de becados?
Por la propiedad distributiva de la intersección sobre la unión, $M \cap (T \cup F) = (M \cap T) \cup (M \cap F)$. Esto equivale a unir las dos listas parciales.
Respuesta: Realizando la unión de ambas listas: $(M \cap T) \cup (M \cap F)$