Ley de De Morgan para el complemento de una unión
Resumen inicial
Demostración lógica, propiedades, diagramas de Venn y aplicación de la Primera Ley de De Morgan: $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
Explicación en palabras simples
La Primera Ley de De Morgan establece que el complemento de una unión es igual a la intersección de los complementos:
$$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$$
En palabras cotidianas: no estar en la unión de $A$ con $B$ significa no estar en $A$ Y al mismo tiempo no estar en $B$. Es la regla que nos enseña cómo distribuir el complemento hacia adentro de un paréntesis: se niega cada conjunto individual ($A^c$ y $B^c$) y el símbolo de unión $\cup$ se da vuelta para transformarse en intersección $\cap$.
Explicación formal
Definición formal
En la teoría de conjuntos y el álgebra booleana, la Primera Ley de De Morgan establece la dualidad de la unión bajo la complementación:
$$\forall A, B \subseteq \mathcal{U}, \quad (A \cup B)^c = A^c \cap B^c$$
Demostración formal basada en la negación lógica de la disyunción:
$$x \in (A \cup B)^c \iff \neg(x \in (A \cup B)) \iff \neg(x \in A \lor x \in B) \iff (\neg(x \in A) \land \neg(x \in B)) \iff (x \in A^c \land x \in B^c) \iff x \in (A^c \cap B^c)$$
Por el axioma de extensionalidad, se concluye formalmente que $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
Desglose simbólico
- Ley lógica subyacente: $\neg(P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$.
- Generalización a familias arbitrarias de conjuntos:
$$\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right)^c = \bigcap_{i \in I} A_i^c$$ - En diagramas de Venn: Representa exactamente la región exterior al trazado de ambos círculos dentro del rectángulo $\mathcal{U}$.
Síntesis didáctica
La Primera Ley de De Morgan transforma un problema de exclusión de una unión en la exigencia simultánea de pertenecer al exterior de cada conjunto individual.
La alternativa correcta es 'Cada conjunto se complementa individualmente y la unión se transforma en intersección ($A^c \cap B^c$)'. El operador $\cup$ se transforma en $\cap$.
Definiciones clave
- Primera Ley de De Morgan: Teorema fundamental que establece $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
- Dualidad de De Morgan: Principio por el cual el operador complemento intercambia uniones e intersecciones.
- Negación de la disyunción: Equivalencia lógica $\neg(P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$.
Propiedades y relaciones importantes
- Cardinalidad del complemento de la unión: $|(A \cup B)^c| = |\mathcal{U}| - |A \cup B| = |\mathcal{U}| - (|A| + |B| - |A \cap B|)$.
- Inversión de inclusión: Permite probar que $A \subseteq B \implies B^c \subseteq A^c$.
Ejemplo guiado
Dado el universo $\mathcal{U} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ y los subconjuntos $A = \{1, 2, 3\}$ y $B = \{3, 4\}$, demuestra paso a paso la Primera Ley de De Morgan calculando $(A \cup B)^c$ y $A^c \cap B^c$.
- Paso 1: Resolver el lado izquierdo $(A \cup B)^c$: - Calcular la unión: $A \cup B = \{1, 2, 3\} \cup \{3, 4\} = \{1, 2, 3, 4\}$. - Calcular el complemento respecto a $\mathcal{U}$: $(A \cup B)^c = \mathcal{U} \setminus \{1, 2, 3, 4\} = \{5, 6\}$.
- Paso 2: Resolver el lado derecho $A^c \cap B^c$: - Calcular $A^c = \mathcal{U} \setminus \{1, 2, 3\} = \{4, 5, 6\}$. - Calcular $B^c = \mathcal{U} \setminus \{3, 4\} = \{1, 2, 5, 6\}$. - Intersectar ambos complementos: $A^c \cap B^c = \{4, 5, 6\} \cap \{1, 2, 5, 6\} = \{5, 6\}$.
- Paso 3: Comparar ambos resultados: $\{5, 6\} = \{5, 6\}$.
- Paso 4: Concluir formalmente que $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
La alternativa correcta es '$12$ elementos ($40 - 28$)'. Por De Morgan, $|A^c \cap B^c| = |(A \cup B)^c| = 40 - 28 = 12$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar una expresión con el complemento de una unión: $(A \cup B)^c$.
- Paso 2: Distribuir el símbolo de complemento a cada conjunto operando: $A \mapsto A^c$ y $B \mapsto B^c$.
- Paso 3: Transformar el operador de unión $\cup$ en operador de intersección $\cap$.
- Paso 4: Escribir la expresión resultante como $A^c \cap B^c$.
- Paso 5: En el diagrama de Venn, sombrear el área exterior a ambos círculos.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Distribuir el complemento manteniendo el operador de unión (ej. escribir $(A \cup B)^c = A^c \cup B^c$). Cómo corregirlo: La ley de De Morgan exige invertir el operador: la unión $\cup$ debe transformarse obligatoriamente en intersección $\cap$.
- Error 2: Olvidar que la ley aplica a familias múltiples de conjuntos. Cómo corregirlo: Para tres conjuntos la regla es idéntica: $(A \cup B \cup C)^c = A^c \cap B^c \cap C^c$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $P \cup I = \mathbb{Z}$.
- $(\mathbb{Z})^c = \emptyset = P^c \cap I^c = I \cap P = \emptyset$.
- Se distribuye el complemento y todas las uniones se transforman en intersecciones.
- Las leyes de De Morgan son universales para cualquier par de conjuntos.
- Corresponde a la zona dentro del rectángulo que no pertenece a ninguno de los dos conjuntos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Enunciar, demostrar y aplicar la Primera Ley de De Morgan ($(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$).
Transformar el complemento de una unión en la intersección de complementos aplicando la ley lógica $\neg(P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$ e interpretarlo en diagramas de Venn.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La Ley de De Morgan para la unión se fundamenta en cuál equivalencia de la lógica proposicional para la negación?
La unión corresponde a la disyunción ($\lor$) y el complemento a la negación ($\neg$). La negación de una disyunción da la conjunción de las negaciones.
Respuesta: $\neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q$
-
¿Cuál de las siguientes igualdades algebraicas define la Ley de De Morgan para el complemento de una unión?
La Ley de De Morgan para la unión establece que el complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de sus complementos individuales: $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
Respuesta: $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$
-
En un diagrama de Venn, la región exterior a dos círculos $A$ y $B$ representa algebraicamente a:
El área exterior a ambos círculos representa lo que no está en la unión de los conjuntos, que por De Morgan equivale a la intersección de sus complementos.
Respuesta: $(A \cup B)^c$ o $A^c \cap B^c$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Si el complemento de la unión $(X \cup Y)^c$ da como resultado el conjunto vacío $\varnothing$, ¿qué se puede afirmar sobre $X^c \cap Y^c$?
Por la ley de De Morgan, $(X \cup Y)^c = X^c \cap Y^c$. Si uno es vacío, el otro debe ser idénticamente vacío.
Respuesta: Es igual al conjunto vacío $\varnothing$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si $U = \{1, 2, 3, 4\}$, $A = \{1, 2\}$ y $B = \{3\}$, ¿se cumple que $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c = \{4\}$?
Sí, $A \cup B = \{1, 2, 3\}$, su complemento es $\{4\}$. Por otro lado, $A^c = \{3, 4\}$, $B^c = \{1, 2, 4\}$. Su intersección es $\{4\}$. Coinciden.
Respuesta: Verdadero
-
La ley de De Morgan establece que el complemento de la unión es igual a la unión de los complementos, es decir, $(A \cup B)^c = A^c \cup B^c$.
Falso. El complemento de la unión es igual a la INTERSECCIÓN de los complementos: $A^c \cap B^c$. El símbolo de operación debe invertirse.
Respuesta: Falso
-
Para calcular el complemento de la unión de dos conjuntos, es indispensable conocer la composición del conjunto universal de referencia.
Sí, el complemento de un conjunto se define siempre respecto a un universo $U$. Sin el universo no podemos determinar qué elementos están afuera.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
En un estudio de mercado, el universo $U$ es el grupo de clientes encuestados. El conjunto $A$ prefiere la marca de bebida X, y el conjunto $B$ la marca Y. Un analista quiere identificar al grupo que NO prefiere la marca X ni la marca Y, es decir, $(A \cup B)^c$. Sin embargo, su base de datos solo permite filtrar por clientes que no prefieren X ($A^c$) y que no prefieren Y ($B^c$). ¿Cómo puede obtener la información solicitada?
Por la Ley de De Morgan, $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$. Por lo tanto, intersectar los complementos da exactamente el grupo buscado.
Respuesta: Buscando la intersección de los clientes que no prefieren X y los que no prefieren Y: $A^c \cap B^c$.
-
Un sistema de seguridad aérea supervisa vuelos comerciales. El conjunto $D$ representa a los vuelos con retrasos en el despegue y $A$ a los vuelos con retrasos en el aterrizaje. El supervisor del aeropuerto solicita la lista de vuelos que operaron a tiempo (sin retraso en el despegue y sin retraso en el aterrizaje). ¿Qué igualdad matemática justifica que este conjunto se puede calcular como el complemento de la unión de los retrasos?
La condición 'sin retraso en el despegue ($D^c$) Y sin retraso en el aterrizaje ($A^c$)' es la intersección $D^c \cap A^c$. Por De Morgan, esto equivale a $(D \cup A)^c$ (el complemento de tener al menos un retraso).
Respuesta: $(D \cup A)^c = D^c \cap A^c$
-
Considere los conjuntos de números reales $A = ]-\infty, 2]$ y $B = [5, +\infty[$ en el universo $\mathbb{R}$. ¿Cuál de los siguientes intervalos representa de manera correcta a $A^c \cap B^c$?
Por De Morgan, $A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$. La unión es $A \cup B = ]-\infty, 2] \cup [5, +\infty[$. El complemento de esta unión respecto a $\mathbb{R}$ es el intervalo abierto $]2, 5[$.
Respuesta: $]2, 5[$