Cardinalidad del producto cartesiano

M2 — PAES electiva Media
Objetivo

Calcular la cardinalidad del producto cartesiano $A \times B$ usando la fórmula $|A \times B| = |A| \cdot |B|$, y comprender los casos especiales cuando uno de los conjuntos es vacío.

Introducción

Cuando trabajamos con conjuntos finitos, una pregunta natural es: ¿cuántos
elementos tiene $A \times B$? No es necesario listar todos los pares para saberlo.
Basta multiplicar las cardinalidades de los conjuntos. Esta propiedad es muy
útil para verificar listados y para resolver problemas de combinatoria elemental.

Explicación

La fórmula $|A \times B| = |A| \cdot |B|$ se entiende intuitivamente: por cada uno
de los $|A|$ elementos de $A$, se forman $|B|$ pares distintos (uno con cada elemento
de $B$). En total, $|A|$ grupos de $|B|$ pares = $|A| \cdot |B|$ pares.

Caso vacío: si $B = \emptyset$, no hay elementos de $B$ con qué formar pares,
así que $A \times \emptyset = \emptyset$ y $|\emptyset| = 0$.
Esto es consistente con $|A| \cdot 0 = 0$ para cualquier $|A|$.

Simetría de la cardinalidad:
$|A \times B| = |A| \cdot |B| = |B| \cdot |A| = |B \times A|$
aunque $A \times B \neq B \times A$ como conjuntos (salvo casos especiales).

Cómo hacerlo paso a paso

  • P
  • a
  • r
  • a
  • c
  • a
  • l
  • c
  • u
  • l
  • a
  • r
  • $
  • |
  • A
  • \
  • t
  • i
  • m
  • e
  • s
  • B
  • |
  • $
  • :
  • 1
  • .
  • D
  • e
  • t
  • e
  • r
  • m
  • i
  • n
  • a
  • r
  • $
  • |
  • A
  • |
  • $
  • (
  • n
  • ú
  • m
  • e
  • r
  • o
  • d
  • e
  • e
  • l
  • e
  • m
  • e
  • n
  • t
  • o
  • s
  • d
  • e
  • $
  • A
  • $
  • )
  • .
  • 2
  • .
  • D
  • e
  • t
  • e
  • r
  • m
  • i
  • n
  • a
  • r
  • $
  • |
  • B
  • |
  • $
  • (
  • n
  • ú
  • m
  • e
  • r
  • o
  • d
  • e
  • e
  • l
  • e
  • m
  • e
  • n
  • t
  • o
  • s
  • d
  • e
  • $
  • B
  • $
  • )
  • .
  • 3
  • .
  • S
  • i
  • a
  • l
  • g
  • u
  • n
  • o
  • e
  • s
  • v
  • a
  • c
  • í
  • o
  • ,
  • c
  • o
  • n
  • c
  • l
  • u
  • i
  • r
  • q
  • u
  • e
  • $
  • |
  • A
  • \
  • t
  • i
  • m
  • e
  • s
  • B
  • |
  • =
  • 0
  • $
  • .
  • 4
  • .
  • E
  • n
  • c
  • a
  • s
  • o
  • c
  • o
  • n
  • t
  • r
  • a
  • r
  • i
  • o
  • ,
  • c
  • a
  • l
  • c
  • u
  • l
  • a
  • r
  • $
  • |
  • A
  • |
  • \
  • c
  • d
  • o
  • t
  • |
  • B
  • |
  • $
  • .

Ejemplos

1 Se sabe que el conjunto $A$ tiene 4 elementos y el conjunto $B$ tiene 6 elementos. Calcula la cardinalidad de $A \times B$.
2 El conjunto $A$ tiene 5 elementos y $B = \emptyset$. Calcula $|A \times B|$.
3 ¿Se cumple que $|A \times B| = |A| \cdot |B|$ para todo par de conjuntos finitos?
4 ¿Puede $|A \times B| > |B \times A|$?

Ejemplos Verdadero/Falso

"{'error': 'Sumar las cardinalidades en lugar de multiplicarlas', 'correccion': 'La cardinalidad del producto cartesiano se calcula **multiplicando**:\n$|A \\times B| = |A| \\cdot |B| = 4 \\cdot 6 = 24$.\n', 'descripcion': 'Con $|A| = 4$ y $|B| = 6$, calcular $|A \\times B| = 4 + 6 = 10$ en vez de $24$.\n'}"

¿Es correcta esta afirmación?

"{'error': 'Creer que $A \\times \\emptyset$ tiene algún elemento', 'correccion': 'Un par ordenado requiere dos componentes; si $B = \\emptyset$ no hay segunda\ncomponente posible. Por tanto $A \\times \\emptyset = \\emptyset$.\n', 'descripcion': 'Pensar que $A \\times \\emptyset$ contiene pares como $(a, \\text{nada})$.\n'}"

¿Es correcta esta afirmación?

"{'error': 'Confundir $|A \\times B| = |B \\times A|$ con $A \\times B = B \\times A$', 'correccion': 'Las cardinalidades son iguales ($|A \\times B| = |B \\times A|$), pero los\nconjuntos pueden ser distintos ($A \\times B \\neq B \\times A$ en general).\n', 'descripcion': 'Concluir que como las cardinalidades son iguales, los conjuntos son iguales.\n'}"

¿Es correcta esta afirmación?

"{'error': 'Aplicar la fórmula a conjuntos infinitos sin cuidado', 'correccion': 'La fórmula $|A \\times B| = |A| \\cdot |B|$ se aplica directamente a conjuntos\n**finitos**. Para conjuntos infinitos se requiere teoría de cardinalidades\n(que está fuera del alcance de este nivel).\n', 'descripcion': 'Escribir $|\\mathbb{R} \\times \\mathbb{R}| = |\\mathbb{R}| \\cdot |\\mathbb{R}|$\ncomo si fueran números naturales.\n'}"

¿Es correcta esta afirmación?

"{'error': 'Olvidar que $|A \\times B|$ cuenta pares, no elementos individuales', 'correccion': 'El conjunto $A \\times B$ tiene 24 **pares ordenados**; cada elemento es\nun par $(a, b)$, no un número aislado.\n', 'descripcion': 'Pensar que si $|A \\times B| = 24$, el conjunto tiene 24 "números" distintos.\n'}"

¿Es correcta esta afirmación?

Fuente: Matemáticas para la Educación Media, MINEDUC
Resumen

Para dos conjuntos finitos $A$ y $B$: $$|A \times B| = |A| \cdot |B|$$ Propiedades clave: - Si $A = \emptyset$ o $B = \emptyset$, entonces $A \times B = \emptyset$ y $|A \times B| = 0$. - $|A \times B| = |B \times A|$ (las cardinalidades son iguales aunque los conjuntos difieran). - Si $|A| = m$ y $|B| = n$, entonces $A \times B$ tiene exactamente $m \times n$ pares.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. ¿Cuál de los siguientes casos ejemplifica mejor cardinalidad del producto cartesiano?

  2. ¿Qué describe mejor cardinalidad del producto cartesiano?

  3. ¿Qué afirmación clave conviene recordar sobre cardinalidad del producto cartesiano?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Identifica la opción que corresponde a cardinalidad del producto cartesiano.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿La afirmación “En A × B importa el orden: primero va un elemento de A y luego uno de B.” describe cardinalidad del producto cartesiano?

  2. ¿Es correcto afirmar que la cardinalidad de A × B se calcula multiplicando la cantidad de elementos de A por la de B?

  3. ¿El caso “Si |A| = 2 y |B| = 3, entonces |A × B| = 6” corresponde a cardinalidad del producto cartesiano?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un profesor escribe la afirmación “La regla general es |A × B| = |A| · |B|”. ¿A qué recurso se refiere principalmente?

  2. En una guía PAES, una estudiante debe reconocer cardinalidad del producto cartesiano. ¿Qué alternativa aplica correctamente esta idea?

  3. En un control se pide identificar la definición correcta de cardinalidad del producto cartesiano. ¿Qué alternativa debe marcarse?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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