Unión de conjuntos con diagrama de Venn
Resumen inicial
Definición, propiedades algebraicas, representación en diagrama de Venn y cálculo de la unión de conjuntos ($A \cup B$).
Explicación en palabras simples
La unión de dos conjuntos (escrita como $A \cup B$, con el símbolo de una "copa" $\cup$) es la operación que junta o reúne todos los elementos de $A$ y todos los elementos de $B$ en un solo gran conjunto. Un elemento pertenece a la unión si está en $A$, o está en $B$, o está en ambos a la vez (disyunción lógica inclusiva "o"). Si un elemento se repite en ambos, se anota una sola vez. En un diagrama de Venn, la unión se representa sombreando o pintando por completo el interior de ambos círculos.
Explicación formal
Definición formal
En la teoría axiomática de conjuntos ($\text{ZFC}$), la unión de dos conjuntos $A$ y $B$ se define mediante el Axioma de Unión y el esquema de comprensión:
$$A \cup B = \{x \in \mathcal{U} \mid x \in A \lor x \in B\}$$
Para una familia arbitraria o infinita de conjuntos $\{A_i\}_{i \in I}$:
$$\bigcup_{i \in I} A_i = \{x \in \mathcal{U} \mid \exists i \in I \, (x \in A_i)\}$$
Desglose simbólico
- Conectivo lógico subyacente: Disyunción inclusiva ($\lor$).
- Propiedades algebraicas (Álgebra de Boole):
- Conmutatividad: $A \cup B = B \cup A$.
- Asociatividad: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$.
- Idempotencia: $A \cup A = A$.
- Elemento neutro: $A \cup \emptyset = A$.
- Elemento absorbente: $A \cup \mathcal{U} = \mathcal{U}$.
- Principio de Inclusión-Exclusión: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.
Síntesis didáctica
La unión es la menor cota superior (supremo) en el retículo de subconjuntos ordenados por inclusión: $A \subseteq (A \cup B)$ y $B \subseteq (A \cup B)$.
La alternativa correcta es 'La disyunción inclusiva: $x \in A \lor x \in B$'. Basta que el elemento resida en al menos uno de los dos conjuntos.
Definiciones clave
- Unión de conjuntos ($A \cup B$): Conjunto que agrupa todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos operados.
- Disyunción inclusiva ($\lor$): Operador lógico que es verdadero si al menos una de las proposiciones componentes es verdadera.
- Principio de inclusión-exclusión: Regla de corrección aditiva que descuenta los elementos duplicados de la intersección.
Propiedades y relaciones importantes
- Monotonía con la inclusión: $A \subseteq B \iff A \cup B = B$.
- Leyes de De Morgan: $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
Ejemplo guiado
Dados los conjuntos $A = \{1, 2, 3, 4\}$ y $B = \{3, 4, 5, 6\}$, calcula $A \cup B$, determina su cardinalidad y descríbelo en un diagrama de Venn.
- Paso 1: Listar todos los elementos presentes en $A$: $1, 2, 3, 4$.
- Paso 2: Listar todos los elementos presentes en $B$: $3, 4, 5, 6$.
- Paso 3: Reunir todos los elementos en un solo conjunto eliminando duplicados: - Los elementos $3$ y $4$ están en ambos, por lo que se escriben una sola vez. - $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
- Paso 4: Contar la cardinalidad resultante: $|A \cup B| = 6$.
- Paso 5: Verificar con el principio de inclusión-exclusión: - $|A| = 4, |B| = 4, |A \cap B| = |\{3, 4\}| = 2$. - $|A \cup B| = 4 + 4 - 2 = 6$.
La alternativa correcta es '$22$ elementos ($12 + 15 - 5$)'. Se aplica inclusión-exclusión para corregir el doble conteo.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar todos los elementos del primer conjunto $A$.
- Paso 2: Identificar todos los elementos del segundo conjunto $B$.
- Paso 3: Escribir un nuevo conjunto entre llaves conteniendo los elementos de ambos.
- Paso 4: Colapsar cualquier elemento repetido en una única instancia.
- Paso 5: En el diagrama de Venn, sombrear conjuntamente las regiones "Solo $A$", "$A \cap B$" y "Solo $B$".
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Duplicar elementos al escribir la unión (ej. $\{1, 2, 2, 3\}$). Cómo corregirlo: En la teoría de conjuntos estándar los elementos repetidos colapsan a una sola instancia: $\{1, 2, 3\}$.
- Error 2: Creer que $A \cup B$ exige que los elementos estén en ambos conjuntos. Cómo corregirlo: La condición es disyuntiva inclusiva ($A$ o $B$); estar en ambos corresponde a la intersección $A \cap B$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Al no haber elementos repetidos, se listan todos: $\{1, 2, 3, 4\}$.
- El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión.
- El conjunto mayor $B$ absorbe a su subconjunto $A$.
- Cubre todos los reales desde más de 0 hasta 5 inclusive.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Definir, calcular y sombrear en diagramas de Venn la unión de conjuntos ($A \cup B$).
Aplicar el conectivo disyuntivo $\lor$, eliminar duplicados por extensionalidad y calcular cardinalidades mediante el principio de inclusión-exclusión.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La unión de conjuntos cumple la propiedad conmutativa. ¿Cuál de las siguientes igualdades la expresa correctamente?
La propiedad conmutativa establece que el orden de los operandos no altera el resultado: $A \cup B = B \cup A$. La opción C corresponde a la propiedad asociativa, y la D es incorrecta porque $A \cup \emptyset = A$.
Respuesta: A) $A \cup B = B \cup A$
-
¿Cuál es la definición correcta de la unión de dos conjuntos $A$ y $B$?
La unión $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ o } x \in B\}$ reúne todos los elementos presentes en al menos uno de los dos conjuntos. La conjunción «o» es inclusiva, por eso los elementos de la intersección también se incluyen.
Respuesta: A) El conjunto de todos los elementos que pertenecen a $A$ o a $B$ (o a ambos).
-
La fórmula de inclusión-exclusión para dos conjuntos finitos $A$ y $B$ establece que:
Al sumar $|A| + |B|$ contamos dos veces los elementos de $A \cap B$, por eso debemos restarlos una vez. La fórmula correcta es $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.
Respuesta: A) $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Si $A = \{1, 3, 5\}$ y $B = \{2, 3, 6\}$, ¿cuál de las siguientes opciones representa correctamente $A \cup B$?
$A \cup B$ contiene todos los elementos de $A$ y de $B$ sin repetir: $\{1, 2, 3, 5, 6\}$. El elemento 3 aparece en ambos conjuntos pero se escribe solo una vez.
Respuesta: A) $\{1, 2, 3, 5, 6\}$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si $A = \{1, 2, 3\}$ y $B = \{3, 4\}$, entonces $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$.
La unión reúne todos los elementos: 1, 2, 3 (de $A$) y 4 (de $B$, ya que 3 ya estaba). Por lo tanto $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$, lo cual es verdadero.
Respuesta: Verdadero
-
Para cualquier conjunto $A$, se cumple que $A \cup \emptyset = A$.
El conjunto vacío no aporta ningún elemento nuevo, por lo que $A \cup \emptyset = A$. Esta es la propiedad del elemento neutro de la unión.
Respuesta: Verdadero
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Si $A = \{a, b\}$ y $B = \{b, c, d\}$, entonces $|A \cup B| = 5$.
$A \cup B = \{a, b, c, d\}$, que tiene 4 elementos, no 5. Aplicando inclusión-exclusión: $|A| + |B| - |A \cap B| = 2 + 3 - 1 = 4$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En un curso de 30 estudiantes, 18 practican fútbol y 15 practican básquetbol. Si 7 practican ambos deportes, ¿cuántos estudiantes practican al menos uno de los dos deportes?
Usando inclusión-exclusión: $|F \cup B| = |F| + |B| - |F \cap B| = 18 + 15 - 7 = 26$. Por lo tanto, 26 estudiantes practican al menos un deporte.
Respuesta: A) 26
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En una encuesta a 50 personas, 30 tienen cuenta en Instagram, 20 tienen cuenta en Twitter y 8 tienen cuenta en ambas plataformas. ¿Cuántas personas tienen cuenta en Instagram o en Twitter (o en ambas)?
$|I \cup T| = 30 + 20 - 8 = 42$. Se restan los 8 que están en ambas porque fueron contados dos veces al sumar 30 + 20.
Respuesta: A) 42
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Sea $U = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$, $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ y $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. ¿Cuántos elementos tiene $(A \cup B)^c$?
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10\}$, que tiene 8 elementos. $(A \cup B)^c$ contiene los elementos de $U$ que no están en $A \cup B$: $\{7, 9\}$... revisando: $U \setminus (A \cup B) = \{7, 9\}$, 2 elementos. Corrección: $A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,8,10\}$ → faltan 7 y 9 → 2 elementos. Respuesta correcta: B) 2.
Respuesta: A) 3