Relación de no pertenencia

Definición formal y uso del símbolo $\notin$ para expresar la relación de no pertenencia entre un objeto y un conjunto.

La relación de no pertenencia se escribe con el símbolo $\notin$ (el símbolo de pertenencia $\in$ tachado con una barra diagonal). Se utiliza para afirmar que un objeto o elemento NO forma parte de un conjunto. Se lee como "no pertenece a" o "no es elemento de". Por ejemplo, si tenemos el conjunto de números pares $P = \{2, 4, 6, 8\}$, podemos escribir: $3 \notin P$ o $7 \notin P$, porque ni el $3$ ni el $7$ están dentro de esa lista.

Definición formal

En la lógica de predicados y la teoría de conjuntos, la no pertenencia es la negación lógica formal de la fórmula atómica de pertenencia:
$$x \notin A \quad \iff \quad \neg(x \in A)$$
Para un conjunto definido por comprensión $A = \{t \in \mathcal{U} \mid P(t)\}$, la condición de no pertenencia se formula como:
$$x \notin A \quad \iff \quad x \notin \mathcal{U} \quad \lor \quad \neg P(x)$$
lo que indica que $x$ pertenece al conjunto complemento $A^c = \mathcal{U} \setminus A$.

Desglose simbólico

• Símbolo $\notin$: Operador de exclusión o no pertenencia.
• Relación conjuntista: $x \notin A \iff x \in A^c$.
• Principio de bivalencia: Para todo objeto $x$ y conjunto $A$, se cumple exactamente una de dos: $x \in A$ o $x \notin A$.

Síntesis didáctica

El símbolo $\notin$ delimita la frontera exterior del conjunto, identificando a los elementos que quedan formalmente excluidos de su membresía.

• Relación de no pertenencia ($\notin$): Negación del predicado de pertenencia que afirma la ausencia de un elemento en un conjunto.
• Conjunto complemento ($A^c$): Conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen a $A$.
• Tercero excluido en pertenencia: Ley lógica que establece que para cualquier $x$, $(x \in A) \lor (x \notin A) \equiv V$.

• Equivalencia con el complemento: $x \notin A \iff x \in \mathcal{U} \setminus A$.
• Conjunto vacío: Para cualquier objeto $x$, la proposición $x \notin \emptyset$ es universalmente verdadera.

Dado el conjunto $B = \{1, 3, 5, \{7\}\}$, determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: (a) $2 \notin B$, (b) $5 \notin B$, (c) $7 \notin B$, (d) $\{7\} \notin B$.