Problema de conteo con diagrama de Venn de tres conjuntos

Metodología sistemática de resolución de problemas verbales de conteo con tres conjuntos mediante diagramas de Venn y llenado de adentro hacia afuera.

Para resolver problemas de conteo con tres conjuntos (por ejemplo: preferencias de tres deportes o tres asignaturas), se utiliza un diagrama de Venn de tres círculos secantes siguiendo un orden estricto de adentro hacia afuera:
1. Centro absoluto: registrar cuántos cumplen las tres cosas a la vez ($A \cap B \cap C$).
2. Intersecciones dobles: restar el centro a las parejas para hallar los que cumplen "solo $A$ y $B$", "solo $A$ y $C$", "solo $B$ y $C$".
3. Regiones individuales: restar las tres zonas vecinas a los totales para hallar "solo $A$", "solo $B$" y "solo $C$".
4. Exterior: sumar las $7$ regiones internas y restarlas de $\mathcal{U}$ para hallar "ninguno".

Definición formal

En la resolución algorítmica de problemas de conteo, un problema de 3 conjuntos sobre $\mathcal{U}$ consiste en resolver el sistema lineal de 8 variables disjuntas $\{x_{111}, x_{110}, x_{101}, x_{011}, x_{100}, x_{010}, x_{001}, x_{000}\}$:
$$\begin{cases} x_{111} = |A \cap B \cap C| & \text{(Triple central)} \\ x_{110} = |A \cap B| - x_{111} & \text{(Solo } A \text{ y } B\text{)} \\ x_{101} = |A \cap C| - x_{111} & \text{(Solo } A \text{ y } C\text{)} \\ x_{011} = |B \cap C| - x_{111} & \text{(Solo } B \text{ y } C\text{)} \\ x_{100} = |A| - (x_{110} + x_{101} + x_{111}) & \text{(Solo } A\text{)} \\ x_{010} = |B| - (x_{110} + x_{011} + x_{111}) & \text{(Solo } B\text{)} \\ x_{001} = |C| - (x_{101} + x_{011} + x_{111}) & \text{(Solo } C\text{)} \\ x_{000} = |\mathcal{U}| - \sum_{i=1}^7 x_i & \text{(Ninguno)} \end{cases}$$

Desglose simbólico

• Flujo de resolución: $x_{111} \longrightarrow (x_{110}, x_{101}, x_{011}) \longrightarrow (x_{100}, x_{010}, x_{001}) \longrightarrow x_{000}$.
• Condición de consistencia: Todas las variables $x_{ijk} \geq 0$.

Síntesis didáctica

El flujo algorítmico jerárquico garantiza que cada deducción descuente exactamente los términos solapados calculados en el nivel previo.

• Problema de conteo de 3 conjuntos: Problema de modelado combinatorio que involucra tres propiedades simultáneas.
• Estrategia centrífuga: Técnica de deducción que avanza desde el núcleo atómico ($x_{111}$) hacia las periferias ($x_{000}$).
• Conservación del universo: Condición que exige que la suma de los 8 átomos iguale la población total $|\mathcal{U}|$.

• Suma de niveles de Hamming:
• Nivel 3 (tres): $x_{111}$.
• Nivel 2 (exactamente dos): $x_{110} + x_{101} + x_{011}$.
• Nivel 1 (exactamente uno): $x_{100} + x_{010} + x_{001}$.
• Nivel 0 (ninguno): $x_{000}$.

En un colegio de $120$ alumnos ($\mathcal{U}$): $60$ juegan fútbol ($F$), $50$ básquetbol ($B$), $45$ vóleibol ($V$), $20$ juegan $F$ y $B$, $18$ juegan $F$ y $V$, $15$ juegan $B$ y $V$, y $8$ juegan los tres deportes. Resuelve el diagrama de Venn y determina: (a) cuántos juegan solo fútbol, (b) cuántos juegan exactamente dos deportes, y (c) cuántos no juegan ningún deporte.