Problema de conteo con diagrama de Venn de tres conjuntos
Resolver problemas de conteo con diagramas de Venn de tres conjuntos distribuyendo los datos de 'adentro hacia afuera' en las ocho regiones disjuntas del diagrama.
Introducción
Imagina que tienes una lista de alumnos inscritos en los talleres de Ajedrez ($A$), Robótica ($B$) y Teatro ($C$). Si quieres organizar la información de modo que no cuentes dos veces a ningún alumno, dibujas tres círculos que se entrelazan. Esto divide el diagrama en 8 zonas diferentes. Para rellenar estas zonas sin equivocarte, la clave es empezar desde el centro de todo: los alumnos que están en los tres talleres simultáneamente ($A \cap B \cap C$). Desde ahí, vas restando para rellenar las zonas de dos talleres, luego las de un solo taller, y finalmente los que no participan en ninguno. ¡Este método paso a paso hace que resolver problemas de tres conjuntos sea muy sencillo!
Explicación
Un diagrama de Venn de tres conjuntos $A$, $B$ y $C$ divide al conjunto universal $U$ en exactamente ocho regiones disjuntas. Resolver un problema de conteo consiste en encontrar la cardinalidad de cada una de estas ocho regiones a partir de los datos dados.
Las Ocho Regiones Disjuntas
- Intersección Triple (Región central): Elementos comunes a los tres conjuntos:
$$\text{Región } 1 = |A \cap B \cap C|$$ - Intersecciones Dobles Exclusivas (Solo dos conjuntos): Elementos comunes a dos conjuntos, pero que no pertenecen al tercero:
- 'Solo $A$ y $B$: $|(A \cap B) \setminus C| = |A \cap B| - |A \cap B \cap C|$'
- 'Solo $A$ y $C$: $|(A \cap C) \setminus B| = |A \cap C| - |A \cap B \cap C|$'
- 'Solo $B$ y $C$: $|(B \cap C) \setminus A| = |B \cap C| - |A \cap B \cap C|$'
- Regiones Exclusivas Individuales (Solo un conjunto): Elementos que pertenecen únicamente a uno de los conjuntos:
- 'Solo $A$: $|Solo\ A| = |A| - |Solo\ A\ y\ B| - |Solo\ A\ y\ C| - |A \cap B \cap C|$'
- 'Solo $B$: $|Solo\ B| = |B| - |Solo\ A\ y\ B| - |Solo\ B\ y\ C| - |A \cap B \cap C|$'
- 'Solo $C$: $|Solo\ C| = |C| - |Solo\ A\ y\ C| - |Solo\ B\ y\ C| - |A \cap B \cap C|$'
- Exterior (Ninguno): Elementos del universo $U$ que no pertenecen a ninguno de los tres conjuntos:
$$|Ninguno| = |U| - |A \cup B \cup C|$$
Donde $|A \cup B \cup C|$ es la suma de las 7 regiones internas anteriores.
Estrategia de Resolución "De adentro hacia afuera"
- 'Paso 1: Coloca el valor de la intersección triple en el centro.'
- 'Paso 2: Resta este valor a las intersecciones dobles dadas para obtener los valores de las intersecciones dobles exclusivas.'
- 'Paso 3: Resta los tres valores internos correspondientes a cada círculo de su total para obtener las regiones exclusivas individuales.'
- 'Paso 4: Suma las 7 regiones internas y réstalas del universo para obtener el valor del exterior.'
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Dibuja tres círculos entrelazados que representan a los conjuntos $A$, $B$ y $C$ dentro del rectángulo del universo.
- Paso 2: Escribe la cardinalidad de la intersección triple en la región central compartida por los tres círculos.
- Paso 3: Completa las regiones de intersección de dos conjuntos restando la intersección triple de las intersecciones dobles totales.
- Paso 4: Completa las regiones de un solo conjunto restando las tres subregiones internas correspondientes del total de cada conjunto.
- Paso 5: Suma las 7 regiones internas y resta el resultado del total del universo para hallar los elementos en la región exterior (Ninguno).
Ejemplos
1 En una encuesta a 100 estudiantes sobre el uso de redes sociales: 50 usan Instagram ($I$), 45 Facebook ($F$) y 30 Twitter ($T$). Además, 15 usan $I$ y $F$, 10 usan $I$ y $T$, 8 usan $F$ y $T$, y 5 usan las tres. ¿Cuántos estudiantes no usan ninguna de estas tres redes sociales?
- Paso a: Identificamos los datos: Universo $|U| = 100$, Individuales ($|I| = 50$, $|F| = 45$, $|T| = 30$), Dobles ($|I \cap F| = 15$, $|I \cap T| = 10$, $|F \cap T| = 8$), Triple ($|I \cap F \cap T| = 5$).
- Paso b: Colocamos el $5$ en el centro (intersección triple).
- Paso c: Calculamos intersecciones dobles exclusivas: Solo $I$ y $F = 15 - 5 = 10$; Solo $I$ y $T = 10 - 5 = 5$; Solo $F$ y $T = 8 - 5 = 3$.
- Paso d: Calculamos regiones exclusivas individuales: Solo $I = 50 - (10 + 5 + 5) = 30$; Solo $F = 45 - (10 + 3 + 5) = 27$; Solo $T = 30 - (5 + 3 + 5) = 17$.
- Paso e: Sumamos las 7 regiones internas para hallar la unión: $30 + 27 + 17 + 10 + 5 + 3 + 5 = 97$.
- Paso f: Restamos del universo para hallar "Ninguno": $100 - 97 = 3$. Por lo tanto, 3 estudiantes no usan ninguna red social.
2 En un grupo de deportistas, todos practican al menos uno de los tres deportes: Tenis ($T$), Natación ($N$) o Ciclismo ($C$). Hay 10 que practican los tres deportes. Si el total de personas que practican exactamente dos deportes es 15, y las personas que practican exactamente un deporte es 20, ¿cuántos deportistas hay en total?
- Paso a: El problema nos da las sumas de las regiones directamente. Como todos practican al menos un deporte, el total de deportistas es igual a la unión de los tres conjuntos.
- Paso b: La unión está formada por la suma de las 7 regiones internas, que se pueden agrupar en: personas que practican exactamente un deporte (3 regiones), personas que practican exactamente dos deportes (3 regiones) y personas que practican los tres deportes (1 región).
- Paso c: Sumamos estos tres grupos: $\text{Total} = \text{Exactamente 1} + \text{Exactamente 2} + \text{Exactamente 3}$.
- Paso d: Calculamos: $\text{Total} = 20 + 15 + 10 = 45$. Por lo tanto, hay 45 deportistas en total.
3 ¿Se puede calcular el número de personas en el exterior sin tener el dato del universo?
- El número de elementos en la región exterior (Ninguno) depende directamente de la cardinalidad del conjunto universal.
- Sin conocer el tamaño total de la población en estudio ($|U|$), es imposible saber cuántos elementos quedan fuera de la unión de los tres conjuntos.
4 ¿Es posible que la suma de las 7 regiones internas de los conjuntos sea mayor que el universo?
- La unión de los tres conjuntos está contenida en el conjunto universal $U$.
- Por ende, la cardinalidad de la unión (que es la suma de las 7 regiones internas) debe ser menor o igual a la del universo. Un valor superior indica que los datos del problema están mal planteados.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Colocar los valores totales de los conjuntos directamente en las regiones sin restar las intersecciones internas, duplicando o triplicando elementos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar restar la intersección triple al calcular las intersecciones dobles exclusivas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la frase "exactamente dos conjuntos" (que no incluye la intersección triple) con "los conjuntos A y B" (que sí incluye la intersección triple)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar que la suma de todas las regiones sea menor o igual al universo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Restar incorrectamente los términos al ir de adentro hacia afuera en el diagrama."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Resolver problemas de tres conjuntos mediante diagramas de Venn consiste en dividir el universo en ocho regiones disjuntas, calculando sus cardinalidades de manera secuencial desde la intersección triple ($A \cap B \cap C$) hacia las regiones exteriores.