Problema de conteo con diagrama de Venn de dos conjuntos

Metodología sistemática de resolución de problemas verbales de conteo con dos conjuntos mediante diagramas de Venn y llenado desde la intersección.

Para resolver problemas de conteo de la vida real con dos conjuntos (por ejemplo: personas que toman té, café o ambos), el método más rápido y seguro es usar un diagrama de Venn de dos círculos:
1. Comenzar siempre por el centro: colocar la cantidad de personas que hacen ambas cosas a la vez ($A \cap B$).
2. Calcular los exclusivos: restar el centro a los totales de cada grupo para hallar "solo $A$" y "solo $B$".
3. Calcular los que no hacen ninguno: restar la suma de las tres regiones interiores al total del universo $\mathcal{U}$.

Definición formal

En la resolución algorítmica de problemas de conteo, un problema de 2 conjuntos sobre $\mathcal{U}$ consiste en determinar los valores de la cuádrupla de átomos booleanos $(a, b, c, d)$ sujetos al sistema de ecuaciones lineales de conservación:
$$\begin{cases} a + b = |A| & \text{(Total de } A\text{)} \\ b + c = |B| & \text{(Total de } B\text{)} \\ b = |A \cap B| & \text{(Intersección central)} \\ a + b + c + d = |\mathcal{U}| & \text{(Universo total)} \end{cases}$$
donde $a = |A \setminus B|$ (Solo $A$), $b = |A \cap B|$ (Ambos), $c = |B \setminus A|$ (Solo $B$) y $d = |(A \cup B)^c|$ (Ninguno).

Desglose simbólico

• Ecuación explícita para $a$: $a = |A| - b$.
• Ecuación explícita para $c$: $c = |B| - b$.
• Ecuación explícita para la unión: $|A \cup B| = a + b + c$.
• Ecuación explícita para la región exterior: $d = |\mathcal{U}| - (a + b + c)$.

Síntesis didáctica

Este sistema triangular desacoplado se resuelve de forma directa y secuencial sustituyendo de adentro ($b$) hacia afuera ($a, c, d$).

• Problema de conteo de 2 conjuntos: Situación donde se modelan poblaciones con dos características solapadas.
• Átomos booleanos de orden 2: Las 4 regiones disjuntas $a, b, c, d$ que particionan a $\mathcal{U}$.
• Llenado centrípeto-centrífugo: Estrategia que fija primero la intersección central para luego deducir los laterales y el exterior.

• Invarianza de la suma: $a + b + c + d = |\mathcal{U}|$ en toda asignación coherente de datos.
• Condición de no negatividad: $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0, d \geq 0$, lo que impone $b \leq \min(|A|, |B|)$ y $|A \cup B| \leq |\mathcal{U}|$.

En una encuesta a $60$ personas sobre consumo de bebidas: $35$ toman café ($C$), $25$ toman té ($T$) y $12$ toman ambas bebidas ($C \cap T$). Resuelve mediante diagrama de Venn: (a) cuántos toman solo café, (b) cuántos toman solo té, y (c) cuántos no toman ninguna de las dos bebidas.