Problema de conteo con diagrama de Venn de dos conjuntos
Resolver problemas de conteo con diagramas de Venn de dos conjuntos distribuyendo los datos de 'adentro hacia afuera' en las cuatro regiones disjuntas del diagrama.
Introducción
Imagina que en un grupo de 20 estudiantes, 12 juegan fútbol, 10 juegan tenis y 4 juegan ambos deportes. Si quieres saber cuántos estudiantes no juegan ninguno de estos dos deportes, ¿cómo lo averiguarías? La mejor manera es dibujar dos círculos que se cruzan. Si colocas primero los 4 en el centro (los que hacen ambos deportes), puedes deducir fácilmente quiénes juegan solo fútbol ($12 - 4 = 8$) y quiénes juegan solo tenis ($10 - 4 = 6$). Al final, sumas todas estas zonas ($8 + 4 + 6 = 18$) y se lo restas al total de estudiantes ($20 - 18 = 2$) para saber cuántos quedan afuera de los círculos. ¡El dibujo hace que todo sea claro!
Explicación
Un diagrama de Venn para dos conjuntos $A$ y $B$ divide al conjunto universal $U$ en exactamente cuatro regiones disjuntas (que no se traslapan). Para resolver problemas de conteo, debemos identificar cuántos elementos corresponden a cada una de estas áreas.
Las Cuatro Regiones Disjuntas
- Solo $A$ (Región de diferencia $A \setminus B$): Elementos que pertenecen a $A$ pero no a $B$. Su cardinalidad se calcula como:
$$|A \setminus B| = |A| - |A \cap B|$$ - Ambos (Región de intersección $A \cap B$): Elementos comunes que pertenecen a $A$ y a $B$ simultáneamente.
- Solo $B$ (Región de diferencia $B \setminus A$): Elementos que pertenecen a $B$ pero no a $A$. Su cardinalidad se calcula como:
$$|B \setminus A| = |B| - |A \cap B|$$ - Ninguno (Región de complemento de la unión $(A \cup B)^c$): Elementos en el universo $U$ que no pertenecen a ninguno de los dos conjuntos. Su cardinalidad se calcula como:
$$|(A \cup B)^c| = |U| - |A \cup B|$$
Estrategia de Resolución "De adentro hacia afuera"
La regla de oro para resolver problemas de conjuntos con diagramas de Venn es rellenar las regiones comenzando por el centro:
1. Paso 1: Escribe la cardinalidad de la intersección ($A \cap B$) en la zona común central.
2. Paso 2: Resta el valor de la intersección a las cardinalidades totales de $A$ y $B$ para obtener los valores de las regiones "Solo $A$" y "Solo $B$".
3. Paso 3: Suma los valores de las tres regiones interiores para obtener la cardinalidad de la unión:
$$|A \cup B| = |Solo\ A| + |Ambos| + |Solo\ B|$$
4. Paso 4: Resta el total de la unión del total del universo ($|U|$) para encontrar los elementos que están en la región "Ninguno".
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Dibuja el diagrama de Venn con dos conjuntos intersecándose dentro de un rectángulo que representa el universo.
- Paso 2: Identifica el dato de la intersección y colócalo en la región central compartida.
- Paso 3: Resta este valor central de los totales de cada conjunto para completar las regiones "Solo A" y "Solo B".
- Paso 4: Suma las tres regiones internas para obtener la unión y réstala de la cardinalidad del universo para hallar la región exterior (Ninguno).
Ejemplos
1 En una encuesta a 40 personas sobre sus mascotas, 25 dijeron tener perros ($P$), 15 tener gatos ($G$) y 8 dijeron tener ambos. ¿Cuántas personas no tienen perros ni gatos?
- Paso a: Identificamos los datos: Universo $|U| = 40$, Perros $|P| = 25$, Gatos $|G| = 15$, Ambos $|P \cap G| = 8$.
- Paso b: Colocamos el $8$ en la intersección central.
- Paso c: Calculamos "Solo perros": $25 - 8 = 17$. Calculamos "Solo gatos": $15 - 8 = 7$.
- Paso d: Sumamos las tres regiones internas para obtener la unión (personas con al menos una mascota): $17 + 8 + 7 = 32$.
- Paso e: Restamos la unión del total del universo para hallar "Ninguno": $40 - 32 = 8$. Por lo tanto, 8 personas no tienen perros ni gatos.
2 De 35 estudiantes de un curso, 20 practican atletismo ($A$) y 18 natación ($N$). Si todos los estudiantes practican al menos uno de los dos deportes, ¿cuántos estudiantes practican ambos deportes?
- Paso a: Como todos practican al menos un deporte, la región "Ninguno" es $0$, por lo que la unión es igual al universo: $|A \cup N| = 35$. También $|A| = 20$ y $|N| = 18$.
- Paso b: Planteamos la ecuación del principio de inclusión-exclusión: $35 = 20 + 18 - |A \cap N|$.
- Paso c: Despejamos el valor de la intersección: $|A \cap N| = 20 + 18 - 35 = 38 - 35 = 3$.
- Paso d: Colocamos $3$ en el centro. Así, "Solo atletismo" es $20 - 3 = 17$ y "Solo natación" es $18 - 3 = 15$. La suma de las regiones es $17 + 3 + 15 = 35$, coincidiendo con el total.
3 ¿Se puede rellenar el diagrama empezando por los totales de los conjuntos $A$ y $B$?
- Si colocas los totales directamente en los círculos sin restar la intersección, estarías duplicando elementos.
- Por ejemplo, si pones 25 en el círculo de perros y 15 en el de gatos, la suma daría 40, lo cual ignora a las 8 personas que tienen ambos y desajusta las proporciones.
4 ¿Si el universo tiene 50 elementos, es posible que la suma de "Solo A", "Ambos" y "Solo B" sea 55?
- La unión de los conjuntos $A$ y $B$ es un subconjunto del universo $U$.
- Por lo tanto, la cardinalidad de la unión ($|Solo\ A| + |Ambos| + |Solo\ B|$) nunca puede ser mayor que la cardinalidad del universo ($|U| = 50$). Un valor de 55 indica una inconsistencia en los datos del problema.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Colocar los valores totales de los conjuntos directamente en las regiones exclusivas sin haber restado previamente la intersección central."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar incorrectamente las regiones disjuntas para obtener la unión."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la región "Ninguno" (exterior de los círculos) con el conjunto vacío (que significa ausencia de elementos)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que la suma de las cuatro regiones en las que se divide el diagrama de Venn debe ser exactamente igual a la cardinalidad del universo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Intentar resolver el problema sin hacer un esquema gráfico, aumentando la probabilidad de error al restar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Resolver problemas de conteo con dos conjuntos mediante diagramas de Venn consiste en dividir el universo en cuatro regiones disjuntas: solo $A$, solo $B$, ambos ($A \cap B$) y ninguno ($(A \cup B)^c$), distribuyendo los datos numéricos desde la intersección hacia afuera.