Principio de inclusión-exclusión para dos conjuntos
Aplicar el principio de inclusión-exclusión para calcular la cardinalidad de la unión o intersección de dos conjuntos no disjuntos.
Introducción
Imagina que en un grupo de amigos hay 8 que juegan fútbol ($A$) y 6 que juegan tenis ($B$). Si te dijeran que hay 3 amigos que practican ambos deportes al mismo tiempo ($A \cap B$), ¿cuántos amigos hay en total que jueguen fútbol o tenis? Si sumas directamente $8 + 6 = 14$, estarás contando dos veces a los 3 amigos que juegan ambos deportes (los incluiste en el grupo de fútbol y también en el de tenis). Para corregir este conteo doble, debes restar a los repetidos una vez: $8 + 6 - 3 = 11$. Esta regla de conteo se llama el Principio de Inclusión-Exclusión.
Explicación
El principio de inclusión-exclusión es una propiedad fundamental de la teoría de la cardinalidad de conjuntos que permite realizar conteos precisos evitando la duplicación de elementos compartidos.
Explicación de la Fórmula
Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos que se traslapan en un diagrama de Venn.
- Al calcular $|A|$, contamos todos los elementos dentro de $A$, incluyendo la zona común con $B$.
- Al calcular $|B|$, contamos todos los elementos dentro de $B$, volviendo a incluir la zona común.
- 'Como la zona común ($A \cap B$) se ha contabilizado dos veces, debemos restarla una vez para obtener el tamaño real de la unión ($A \cup B$).'
Fórmula Matemática
$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$
Despejes y Variaciones
Esta fórmula es una ecuación lineal de cuatro variables. Si se conocen tres de ellas, se puede despejar la restante. Por ejemplo, para encontrar el número de elementos comunes (la intersección):
$$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$$
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica las cardinalidades dadas en el problema: $|A|$, $|B|$ y la intersección $|A \cap B|$ (o la unión $|A \cup B|$).
- Paso 2: Si el problema pide la unión, aplica la fórmula: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.
- Paso 3: Si el problema pide la intersección, despeja y calcula: $|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$.
Ejemplos
1 En un curso de 30 estudiantes, 18 estudian inglés ($I$), 15 estudian francés ($F$) y 7 estudian ambos idiomas ($I \cap F$). ¿Cuántos estudiantes estudian al menos uno de los dos idiomas?
- Paso a: Identificamos los datos: $|I| = 18$, $|F| = 15$ y $|I \cap F| = 7$.
- Paso b: Queremos encontrar la cardinalidad de la unión $|I \cup F|$, que representa a los estudiantes que estudian inglés o francés.
- Paso c: Aplicamos la fórmula del principio de inclusión-exclusión: $|I \cup F| = |I| + |F| - |I \cap F| = 18 + 15 - 7$.
- Paso d: Realizamos la operación: $18 + 15 = 33$, y $33 - 7 = 26$. Por lo tanto, 26 estudiantes estudian al menos uno de los dos idiomas.
2 Se sabe que en una oficina hay 25 personas. De ellas, 15 beben café ($C$) y 12 beben té ($T$). Si todos los trabajadores beben al menos una de las dos bebidas, calcula cuántas personas beben café y té.
- Paso a: Identificamos los datos. Como todos beben al menos una bebida, la unión es igual al total de personas: $|C \cup T| = 25$. Además, $|C| = 15$ y $|T| = 12$.
- Paso b: Queremos encontrar el número de personas que beben ambas bebidas, es decir, la cardinalidad de la intersección $|C \cap T|$.
- Paso c: Utilizamos la fórmula despejada para la intersección: $|C \cap T| = |C| + |T| - |C \cup T|$.
- Paso d: Sustituimos y calculamos: $|C \cap T| = 15 + 12 - 25 = 27 - 25 = 2$. Así, 2 personas beben café y té.
3 ¿Es el principio de inclusión-exclusión válido si los conjuntos son disjuntos?
- Si los conjuntos son disjuntos, entonces $|A \cap B| = 0$.
- Sustituyendo en la fórmula: $|A \cup B| = |A| + |B| - 0 = |A| + |B|$, lo cual coincide con la fórmula de la unión disjunta.
4 ¿Si $|A| = 10$, $|B| = 8$ y $|A \cap B| = 12$, la fórmula da un resultado coherente?
- La intersección no puede tener más elementos que los propios conjuntos individuales.
- Dado que la intersección $A \cap B$ está contenida en $A$ y en $B$, se debe cumplir que $|A \cap B| \le |A|$ y $|A \cap B| \le |B|$.
- Por ende, un valor de 12 para la intersección es imposible si los conjuntos tienen 10 y 8 elementos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar restar la intersección al calcular la unión, lo que genera un valor total inflado (mayor que el universo real)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar la intersección en lugar de restarla."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir los términos 'o' (unión) e 'y' (intersección) al leer los enunciados de los problemas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que la unión $|A \cup B|$ siempre es igual al total de elementos del universo (a veces hay elementos que no pertenecen a ninguno de los dos conjuntos)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Colocar valores en la intersección que superan el tamaño de los conjuntos individuales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El principio de inclusión-exclusión para dos conjuntos establece que la cardinalidad de la unión de dos conjuntos es la suma de sus cardinalidades individuales menos la cardinalidad de su intersección. Formalmente: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.