Cardinalidad de la unión de conjuntos disjuntos
Calcular la cardinalidad de la unión de conjuntos disjuntos aplicando la suma directa de sus cardinalidades individuales.
Introducción
Imagina que tienes un grupo con 5 manzanas y otro grupo separado con 4 plátanos. Si decides colocar todas las frutas en una sola canasta, ¿cuántas frutas tendrás en total? Como ninguna fruta puede ser al mismo tiempo una manzana y un plátano, simplemente sumas las cantidades: $5 + 4 = 9$. En matemáticas, cuando dos grupos de cosas no tienen ningún elemento en común, se les llama conjuntos disjuntos. Para saber cuántos elementos hay al unirlos, solo debemos sumar el tamaño de cada conjunto.
Explicación
La cardinalidad de un conjunto representa el número de elementos únicos que contiene y se denota habitualmente por $|A|$ o $n(A)$.
Conjuntos Disjuntos
Dos conjuntos $A$ y $B$ se definen como disjuntos (o mutuamente excluyentes) si su intersección es vacía:
$$A \cap B = \varnothing$$
Esto significa que no existe ningún elemento que pertenezca a ambos conjuntos simultáneamente.
Fórmula de la Unión Disjunta
Si $A$ y $B$ son conjuntos disjuntos, entonces la cardinalidad de su unión es igual a la suma de sus cardinalidades individuales:
$$|A \cup B| = |A| + |B|$$
Justificación
Dado que los conjuntos no tienen elementos repetidos que se traslapen, no hay riesgo de contar dos veces el mismo elemento al unirlos. Por lo tanto, el total de elementos de la unión es la suma exacta de los elementos de cada conjunto.
Esta propiedad se generaliza a cualquier número de conjuntos $A_1, A_2, \ldots, A_k$ que sean disjuntos dos a dos (es decir, $A_i \cap A_j = \varnothing$ para todo $i \neq j$):
$$|A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_k| = |A_1| + |A_2| + \ldots + |A_k|$$
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los conjuntos del problema y verifica que sean disjuntos, es decir, que no tengan elementos en común ($A \cap B = \varnothing$).
- Paso 2: Determina la cardinalidad (el número de elementos) de cada conjunto por separado: $|A|$ y $|B|$.
- Paso 3: Aplica la fórmula sumando los dos valores obtenidos: $|A \cup B| = |A| + |B|$.
Ejemplos
1 Dado el conjunto de números pares menores que 10, $P = \{2, 4, 6, 8\}$, y el conjunto de números impares menores que 10, $I = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, determina la cardinalidad de su unión.
- Paso a: Comprobamos si los conjuntos son disjuntos. Vemos que ningún número par es impar, por lo que $P \cap I = \varnothing$.
- Paso b: Contamos los elementos de cada conjunto: $|P| = 4$ y $|I| = 5$.
- Paso c: Sumamos sus cardinalidades para obtener la cardinalidad de la unión: $|P \cup I| = |P| + |I| = 4 + 5 = 9$.
2 Un salón tiene un conjunto de 12 estudiantes que solo tocan guitarra ($G$) y otro de 8 estudiantes que solo tocan piano ($P$). Ningún estudiante toca ambos instrumentos. Calcula cuántos estudiantes tocan guitarra o piano.
- Paso a: Como ningún estudiante toca ambos instrumentos, los conjuntos son disjuntos: $G \cap P = \varnothing$.
- Paso b: Las cardinalidades son $|G| = 12$ y $|P| = 8$.
- Paso c: Aplicamos la fórmula de la unión disjunta: $|G \cup P| = 12 + 8 = 20$. Hay 20 estudiantes que tocan alguno de los instrumentos.
3 ¿Se cumple la fórmula $|A \cup B| = |A| + |B|$ si los conjuntos tienen elementos en común?
- Si los conjuntos tienen elementos en común ($A \cap B \neq \varnothing$), la suma directa $|A| + |B|$ contará dos veces a los elementos de la intersección.
- En ese caso se debe utilizar el principio de inclusión-exclusión para restar la intersección.
4 ¿Se aplica la fórmula si uno de los conjuntos es el conjunto vacío?
- El conjunto vacío es disjunto con cualquier conjunto, ya que $A \cap \varnothing = \varnothing$.
- Aplicando la fórmula: $|A \cup \varnothing| = |A| + |\varnothing| = |A| + 0 = |A|$, lo cual es correcto.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Sumar directamente las cardinalidades cuando los conjuntos no son disjuntos, lo que produce un conteo doble de la intersección."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la cardinalidad (número de elementos) con la suma de los valores numéricos de los elementos del conjunto."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que la unión de conjuntos disjuntos da como resultado el conjunto vacío."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar si existe intersección antes de aplicar la suma directa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que la cardinalidad del conjunto vacío es 1 en lugar de 0."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La cardinalidad de la unión de conjuntos disjuntos establece que si dos conjuntos $A$ y $B$ no tienen elementos en común ($A \cap B = \varnothing$), entonces la cantidad de elementos de su unión es la suma de sus cardinalidades individuales. Formalmente: $|A \cup B| = |A| + |B|$.