Cálculo de regiones pertenecientes exactamente a dos conjuntos

Fórmulas y cálculo de las intersecciones dobles exclusivas y de la condición global "Exactamente dos conjuntos" en diagramas de Venn de orden 3.

En un problema con tres conjuntos ($A, B, C$), los elementos que pertenecen a "exactamente dos conjuntos" son aquellos que están en dos conjuntos a la vez, pero NO en el tercero:
- "Solo $A$ y $B$": se calcula tomando la intersección de $A$ y $B$ y restándole el centro triple:
$$\text{Solo } A \text{ y } B = |A \cap B| - |A \cap B \cap C|$$
- De igual forma se calculan "Solo $A$ y $C$" y "Solo $B$ y $C$".
- "Exactamente dos de los tres": es la suma directa de estas tres regiones dobles exclusivas:
$$\text{Exactamente dos} = (\text{Solo } A \text{ y } B) + (\text{Solo } A \text{ y } C) + (\text{Solo } B \text{ y } C)$$

Definición formal

En la teoría conjuntista de orden 3 sobre $\mathcal{U}$, las regiones dobles exclusivas son los átomos booleanos de peso de Hamming 2:
$$|R_{110}| = |(A \cap B) \setminus C| = |A \cap B \cap C^c| = |A \cap B| - |A \cap B \cap C|$$
$$|R_{101}| = |(A \cap C) \setminus B| = |A \cap C \cap B^c| = |A \cap C| - |A \cap B \cap C|$$
$$|R_{011}| = |(B \cap C) \setminus A| = |B \cap C \cap A^c| = |B \cap C| - |A \cap B \cap C|$$
La cardinalidad total de la condición "Exactamente dos" es la suma disjunta:
$$N_{\text{exactamente 2}} = |R_{110}| + |R_{101}| + |R_{011}| = (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) - 3|A \cap B \cap C|$$

Desglose simbólico

• Criterio de peso de Hamming: $w(b) = 2$.
• Descuento del centro triple: En la suma de pares brutos $\sum |A_i \cap A_j|$, el centro triple $A \cap B \cap C$ está sumado 3 veces; al restar $3|A \cap B \cap C|$ se elimina por completo.

Síntesis didáctica

Diferenciar entre "intersección de pares" ($|A \cap B|$) e "intersección doble exclusiva" ($|R_{110}|$) es la clave para no duplicar elementos en problemas combinatorios.

• Región doble exclusiva: Conjunto de elementos que pertenecen simultáneamente a dos conjuntos determinados y no pertenecen al tercero.
• Condición "Exactamente dos": Suma de las tres regiones dobles exclusivas.
• Peso de Hamming 2: Clasificación de átomos booleanos con exactamente dos afirmaciones de pertenencia.

• Relación con "Al menos dos": $|\text{Al menos dos}| = |\text{Exactamente dos}| + |A \cap B \cap C|$.
• Disyunción mutua: Las tres regiones $R_{110}, R_{101}, R_{011}$ no comparten ningún elemento entre sí.

En un club deportivo: $|A \cap B| = 14$, $|A \cap C| = 12$, $|B \cap C| = 10$, y $4$ socios practican los tres deportes ($|A \cap B \cap C| = 4$). Calcula: (a) cuántos practican solo $A$ y $B$, (b) cuántos practican solo $A$ y $C$, (c) cuántos practican solo $B$ y $C$, y (d) cuántos practican exactamente dos deportes.