Cálculo de regiones exclusivas en tres conjuntos

Fórmulas y cálculo de las regiones exclusivas individuales ("Solo A", "Solo B", "Solo C") y de la condición "Exactamente un conjunto" en problemas de tres conjuntos.

En un problema con tres conjuntos ($A, B, C$), las regiones exclusivas individuales representan a los elementos que pertenecen únicamente a un solo conjunto y a ninguno de los otros dos:
- "Solo $A$": se calcula tomando el total de $A$ y restando las tres zonas con las que comparte elementos:
$$\text{Solo } A = |A| - (\text{Solo } A \text{ y } B) - (\text{Solo } A \text{ y } C) - (\text{Los tres})$$
- "Exactamente uno de los tres": es la suma directa de las tres regiones exclusivas:
$$\text{Exactamente uno} = \text{Solo } A + \text{Solo } B + \text{Solo } C$$

Definición formal

En la teoría conjuntista de orden 3 sobre $\mathcal{U}$, las regiones exclusivas individuales son los átomos booleanos de peso de Hamming 1:
$$|R_{100}| = |A \setminus (B \cup C)| = |A \cap B^c \cap C^c| = |A| - |A \cap B| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|$$
$$|R_{010}| = |B \setminus (A \cup C)| = |B \cap A^c \cap C^c| = |B| - |A \cap B| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$$
$$|R_{001}| = |C \setminus (A \cup B)| = |C \cap A^c \cap B^c| = |C| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$$
La cardinalidad total de la condición "Exactamente uno" es la suma disjunta:
$$N_{\text{exactamente 1}} = |R_{100}| + |R_{010}| + |R_{001}| = \sum |A_i| - 2\sum |A_i \cap A_j| + 3|A \cap B \cap C|$$

Desglose simbólico

• Fórmula con dobles exclusivas: $|R_{100}| = |A| - (x_{110} + x_{101} + x_{111})$.
• Criterio de peso de Hamming: $w(b) = 1$.

Síntesis didáctica

Cada región exclusiva descuenta todas las dependencias compartidas para aislar la membresía estricta e independiente.

• Región "Solo un conjunto": Átomo booleano que reúne los elementos con pertenencia única y exclusiva a una sola de las tres categorías.
• Condición "Exactamente uno": Agregación de las tres regiones individuales exclusivas.
• Peso de Hamming 1: Clasificación de regiones con una sola condición afirmativa.

• Disyunción mutua: Las tres regiones $R_{100}, R_{010}, R_{001}$ son disjuntas dos a dos.
• Complementariedad: "Exactamente uno" es un subconjunto disjunto de la unión total $A \cup B \cup C$.

En una encuesta de preferencias: $|A| = 40$, $|B| = 35$, $|C| = 30$, las dobles exclusivas son: Solo $A$ y $B = 8$, Solo $A$ y $C = 6$, Solo $B$ y $C = 5$, y los tres $= 4$. Calcula: (a) Solo $A$, (b) Solo $B$, (c) Solo $C$, y (d) cuántos prefieren exactamente una opción.