Cálculo de regiones exclusivas en tres conjuntos
Calcular la cardinalidad de la región «solo A» en un diagrama de Venn de tres conjuntos, aplicando la fórmula |solo A| = |A| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C|.
Introducción
En un diagrama de Venn de tres conjuntos A, B y C, la región «solo A» contiene
los elementos que pertenecen a A pero no a B ni a C. Para obtener su cardinalidad
no basta con restar |A∩B| y |A∩C| de |A|, ya que los elementos de A∩B∩C quedarían
restados dos veces. Por eso se suma de vuelta |A∩B∩C| al final, aplicando el
principio de inclusión-exclusión a nivel de región.
Explicación
El conjunto A se descompone en cuatro regiones disjuntas del diagrama:
A = (solo A) ∪ [(A∩B)\C] ∪ [(A∩C)\B] ∪ (A∩B∩C)
Por tanto:
|A| = |solo A| + |(A∩B)\C| + |(A∩C)\B| + |A∩B∩C|
Usando |(A∩B)\C| = |A∩B| - |A∩B∩C| y |(A∩C)\B| = |A∩C| - |A∩B∩C|:
|A| = |solo A| + (|A∩B| - |A∩B∩C|) + (|A∩C| - |A∩B∩C|) + |A∩B∩C|
Despejando:
|solo A| = |A| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C|
La suma de |A∩B∩C| al final corrige el doble descuento de los elementos
que pertenecen a los tres conjuntos.
Cómo hacerlo paso a paso
- P
- a
- r
- a
- c
- a
- l
- c
- u
- l
- a
- r
- l
- a
- c
- a
- r
- d
- i
- n
- a
- l
- i
- d
- a
- d
- d
- e
- l
- a
- r
- e
- g
- i
- ó
- n
- «
- s
- o
- l
- o
- A
- »
- :
- P
- a
- s
- o
- 1
- .
- I
- d
- e
- n
- t
- i
- f
- i
- c
- a
- r
- l
- o
- s
- d
- a
- t
- o
- s
- :
- |
- A
- |
- ,
- |
- A
- ∩
- B
- |
- ,
- |
- A
- ∩
- C
- |
- y
- |
- A
- ∩
- B
- ∩
- C
- |
- .
- P
- a
- s
- o
- 2
- .
- V
- e
- r
- i
- f
- i
- c
- a
- r
- q
- u
- e
- |
- A
- ∩
- B
- ∩
- C
- |
- ≤
- |
- A
- ∩
- B
- |
- y
- |
- A
- ∩
- B
- ∩
- C
- |
- ≤
- |
- A
- ∩
- C
- |
- .
- P
- a
- s
- o
- 3
- .
- A
- p
- l
- i
- c
- a
- r
- l
- a
- f
- ó
- r
- m
- u
- l
- a
- :
- |
- s
- o
- l
- o
- A
- |
- =
- |
- A
- |
- -
- |
- A
- ∩
- B
- |
- -
- |
- A
- ∩
- C
- |
- +
- |
- A
- ∩
- B
- ∩
- C
- |
- .
- P
- a
- s
- o
- 4
- .
- V
- e
- r
- i
- f
- i
- c
- a
- r
- q
- u
- e
- e
- l
- r
- e
- s
- u
- l
- t
- a
- d
- o
- s
- e
- a
- ≥
- 0
- .
- P
- a
- s
- o
- 5
- .
- (
- O
- p
- c
- i
- o
- n
- a
- l
- )
- S
- u
- m
- a
- r
- l
- a
- s
- s
- i
- e
- t
- e
- r
- e
- g
- i
- o
- n
- e
- s
- i
- n
- t
- e
- r
- i
- o
- r
- e
- s
- y
- l
- a
- e
- x
- t
- e
- r
- i
- o
- r
- p
- a
- r
- a
- c
- o
- m
- p
- r
- o
- b
- a
- r
- q
- u
- e
- e
- l
- t
- o
- t
- a
- l
- e
- s
- |
- U
- |
- .
Ejemplos
1 Dados |A| = 30, |A∩B| = 12, |A∩C| = 10 y |A∩B∩C| = 5, calcula la cardinalidad de la región «solo A».
- {'paso': 1, 'descripcion': 'Identificamos los datos: |A| = 30, |A∩B| = 12, |A∩C| = 10, |A∩B∩C| = 5.\n'}
- {'paso': 2, 'descripcion': 'Verificamos: 5 ≤ 12 ✓ y 5 ≤ 10 ✓.\n'}
- {'paso': 3, 'descripcion': 'Aplicamos la fórmula:\n|solo A| = 30 - 12 - 10 + 5 = 13.\n'}
- {'paso': 4, 'descripcion': 'Verificación: el resultado 13 ≥ 0 ✓.\nResultado: |solo A| = 13.\n'}
2 Dados |A| = 25, |A∩B| = 8, |A∩C| = 7 y |A∩B∩C| = 3, calcula la cardinalidad de la región «solo A».
- {'paso': 1, 'descripcion': 'Identificamos los datos: |A| = 25, |A∩B| = 8, |A∩C| = 7, |A∩B∩C| = 3.\n'}
- {'paso': 2, 'descripcion': 'Verificamos: 3 ≤ 8 ✓ y 3 ≤ 7 ✓.\n'}
- {'paso': 3, 'descripcion': 'Aplicamos la fórmula:\n|solo A| = 25 - 8 - 7 + 3 = 13.\n'}
- {'paso': 4, 'descripcion': 'Verificación: 13 ≥ 0 ✓.\nResultado: |solo A| = 13.\n'}
3 ¿La fórmula para la región «solo A» en un diagrama de tres conjuntos es $|A| - |A \cap B| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|$?
- {'paso': 1, 'descripcion': 'Al restar |A∩B| y |A∩C| de |A|, los elementos de A∩B∩C se descuentan\ndos veces (una por |A∩B| y otra por |A∩C|).\n'}
- {'paso': 2, 'descripcion': 'Para corregir este doble descuento, se suma |A∩B∩C| una vez, restaurando\nel conteo correcto.\n'}
- {'paso': 3, 'descripcion': 'La fórmula resultante |A| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C| da exactamente la\ncardinalidad de los elementos que están SOLO en A.\n'}
- {'paso': 4, 'descripcion': 'Conclusión: Sí, la fórmula es correcta y el término +|A∩B∩C| es esencial. ✓\n'}
4 ¿Puede la región «solo A» contener elementos que también pertenezcan a $B$?
- {'paso': 1, 'descripcion': 'Por definición, la región «solo A» = A\\(B∪C) contiene únicamente elementos\nque NO pertenecen a B ni a C.\n'}
- {'paso': 2, 'descripcion': 'Si un elemento perteneciera a B, estaría en A∩B y no en la región «solo A».\n'}
- {'paso': 3, 'descripcion': 'La fórmula garantiza esto al descontar |A∩B|: los elementos compartidos\ncon B quedan fuera de la región «solo A».\n'}
- {'paso': 4, 'descripcion': 'Conclusión: No, ningún elemento de la región «solo A» pertenece a B. ✓\n'}
Ejemplos Verdadero/Falso
"{'error': 'Olvidar sumar |A∩B∩C| al final, calculando |solo A| = |A| - |A∩B| - |A∩C|.', 'correccion': 'Los elementos de A∩B∩C se restan dos veces (en |A∩B| y en |A∩C|). Se deben\nsumar de vuelta: |solo A| = |A| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C|.\n'}"
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"{'error': 'Restar |B∩C| en la fórmula de «solo A», incluyendo datos que no corresponden a A.', 'correccion': '|B∩C| no contiene elementos de «solo A» y no aparece en la fórmula. Solo se\nusan intersecciones que involucran a A: |A∩B|, |A∩C| y |A∩B∩C|.\n'}"
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"{'error': 'Confundir «solo A» con A completo, sin descontar las intersecciones.', 'correccion': 'A completo incluye las regiones (A∩B)\\C, (A∩C)\\B y A∩B∩C. «Solo A» excluye\ntodas esas partes; de ahí la necesidad de restar las intersecciones.\n'}"
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"{'error': 'Aplicar la fórmula de dos conjuntos |A\\B| = |A| - |A∩B| en un contexto de tres.', 'correccion': 'En tres conjuntos hay que descontar también |A∩C| y corregir el doble descuento\nde |A∩B∩C|. La fórmula de dos conjuntos es insuficiente.\n'}"
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"{'error': 'Obtener un resultado negativo sin cuestionar los datos del problema.', 'correccion': 'Un resultado negativo indica datos inconsistentes. Verificar que\n|A∩B∩C| ≤ |A∩B|, |A∩B∩C| ≤ |A∩C| y que |solo A| ≥ 0 antes de aceptar\nel resultado.\n'}"
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Fórmula para la región «solo A» en un diagrama de tres conjuntos: |solo A| = |A| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C| Por simetría: |solo B| = |B| - |A∩B| - |B∩C| + |A∩B∩C| |solo C| = |C| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|