Cálculo de la región común a tres conjuntos
Resumen inicial
Fórmulas de despeje y cálculo de la triple intersección central $|A \cap B \cap C|$ a partir de la unión, el universo o sistemas de ecuaciones de conteo.
Explicación en palabras simples
La región común a tres conjuntos (o triple intersección: $|A \cap B \cap C|$) representa a los elementos que pertenecen a los tres conjuntos al mismo tiempo (es el corazón o centro del diagrama de Venn). Cuando en un problema este dato no se conoce, se puede despejar directamente usando la fórmula de inclusión-exclusión de tres conjuntos:
$$|A \cap B \cap C| = |A \cup B \cup C| - (|A| + |B| + |C|) + (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|)$$
Es el valor pivote más importante: una vez que se halla este número central, todas las demás $7$ regiones del diagrama se pueden resolver fácilmente.
Explicación formal
Definición formal
En el álgebra booleana de orden 3, el átomo central $R_{111}$ es la intersección simultánea de los tres conjuntos:
$$R_{111} = A \cap B \cap C = \{x \in \mathcal{U} \mid x \in A \land x \in B \land x \in C\}$$
Despejando $|A \cap B \cap C|$ de la fórmula de Poincaré para tres conjuntos:
$$|A \cap B \cap C| = |A \cup B \cup C| - \sum_{i=1}^3 |A_i| + \sum_{1 \leq i < j \leq 3} |A_i \cap A_j|$$
Si el dato inicial es el universo total $|\mathcal{U}|$ y la región exterior $d = |(A \cup B \cup C)^c|$, sustituyendo $|A \cup B \cup C| = |\mathcal{U}| - d$:
$$|A \cap B \cap C| = (|\mathcal{U}| - d) - (|A| + |B| + |C|) + (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|)$$
Desglose simbólico
- Cota superior estricta: $|A \cap B \cap C| \leq \min(|A \cap B|, |A \cap C|, |B \cap C|)$.
- Cota inferior de Fréchet: $|A \cap B \cap C| \geq |A| + |B| + |C| - 2|\mathcal{U}|$.
Síntesis didáctica
La triple intersección actúa como el parámetro de acoplamiento fundamental que fija la coherencia de todo el diagrama de tres conjuntos.
La alternativa correcta es '$|A \cup B \cup C| - (|A| + |B| + |C|) + (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|)$'. Se despeja directamente de la ecuación de Poincaré.
Definiciones clave
- Triple intersección ($|A \cap B \cap C|$): Átomo central que agrupa los elementos que satisfacen simultáneamente las tres condiciones.
- Despeje de Poincaré: Procedimiento algebraico para hallar el centro conociendo la unión y las sumas de orden 1 y 2.
- Cota de compatibilidad: Límite superior $\min(|A_i \cap A_j|)$ que no puede ser superado por la triple intersección.
Propiedades y relaciones importantes
- Monotonía: $(A \cap B \cap C) \subseteq (A \cap B)$, $(A \cap B \cap C) \subseteq (A \cap C)$ y $(A \cap B \cap C) \subseteq (B \cap C)$.
- Condición de disyunción triple: Si $|A \cap B \cap C| = 0$, el centro del diagrama es vacío.
Ejemplo guiado
En una encuesta a $100$ personas ($\mathcal{U}$): $|A| = 45$, $|B| = 40$, $|C| = 35$, las intersecciones de a dos son $|A \cap B| = 15$, $|A \cap C| = 12$, $|B \cap C| = 10$, y $11$ personas no prefieren ninguna de las tres opciones. Calcula cuántas personas prefieren las tres opciones a la vez ($|A \cap B \cap C|$).
- Paso 1: Calcular la unión $|A \cup B \cup C|$ restando la región exterior al universo: - $|A \cup B \cup C| = 100 - 11 = 89$ personas.
- Paso 2: Calcular la suma de conjuntos individuales ($S_1$): - $S_1 = 45 + 40 + 35 = 120$.
- Paso 3: Calcular la suma de intersecciones dobles ($S_2$): - $S_2 = 15 + 12 + 10 = 37$.
- Paso 4: Plantear la ecuación de Poincaré con la incógnita $x = |A \cap B \cap C|$: - $89 = S_1 - S_2 + x \implies 89 = 120 - 37 + x$.
- Paso 5: Resolver para $x$: - $89 = 83 + x \implies x = 89 - 83 = 6$ personas.
La alternativa correcta es '$5$ elementos ($\min(8, 6, 5)$)'. La triple intersección es subconjunto de cada par, por lo que está acotada por el mínimo de ellos: $\min(8, 6, 5) = 5$.
Procedimiento
- Paso 1: Obtener la cardinalidad de la unión $|A \cup B \cup C|$ (o deducirla como $|\mathcal{U}| - |\text{Ninguno}|$).
- Paso 2: Sumar los tres totales individuales: $S_1 = |A| + |B| + |C|$.
- Paso 3: Sumar las tres intersecciones de pares: $S_2 = |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|$.
- Paso 4: Calcular $|A \cap B \cap C| = |\text{Unión}| - S_1 + S_2$.
- Paso 5: Comprobar que el valor obtenido no supere ninguna de las intersecciones de a dos.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Despejar la triple intersección con signos erróneos (ej. restar las intersecciones de a dos). Cómo corregirlo: En el despeje, la suma de individuales $S_1$ pasa restando y la suma de dobles $S_2$ pasa sumando: $|\text{Unión}| - S_1 + S_2$.
- Error 2: Obtener una triple intersección mayor que alguna de las intersecciones dobles. Cómo corregirlo: La triple intersección es un subconjunto de cada par; si $|A \cap B \cap C| > |A \cap B|$, el sistema de datos es inconsistente.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $|A \cap B \cap C| = 50 - 70 + 25 = 5$.
- Unión $= 80 - 10 = 70$. Centro $= 70 - 100 + 35 = 5$.
- La cota superior es $\min(7, 4, 6) = 4$.
- $55 - 80 + 25 = 0$, los tres conjuntos no tienen ningún elemento común simultáneo.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Despejar, calcular y verificar la cardinalidad de la región común a tres conjuntos ($|A \cap B \cap C|$).
Aplicar el despeje de la fórmula de Poincaré ($|\text{Unión}| - S_1 + S_2$) y validar mediante las cotas superiores de intersecciones dobles.