Interpretación geométrica del producto de suma por diferencia
Interpretar geométricamente el producto $(a+b)(a-b)$ mediante el cálculo de áreas.
Introducción
¿Cómo se ve $a^2 - b^2$ geométricamente? Imagina un cuadrado grande al que le muerdes una esquina.
Explicación
Definición formal
Al trasladar esa pieza, se completa el rectángulo de base $a+b$ y altura $a-b$.
Desarrollo didáctico
Podemos visualizar algebraicamente por qué $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ utilizando el concepto de áreas geométricas.
- Empecemos imaginando un cuadrado grande de lado $a$. Su área original es $a^2$.
- De una esquina de este cuadrado, recortemos (quitemos) un cuadrado más pequeño de lado $b$. El área restante es ahora exactamente $a^2 - b^2$.
- Nuestra figura sobrante tiene forma de "L". Si tomamos el rectángulo vertical que forma una de las patas de la "L" y lo reacomodamos junto a la pata horizontal, se forma un único rectángulo continuo.
- Las dimensiones de este nuevo rectángulo serán exactamente $(a+b)$ de base y $(a-b)$ de altura. Por lo tanto, el área de este rectángulo se calcula multiplicando su base por su altura: $(a+b)(a-b)$.
Dado que el área de la "L" es la misma que la del nuevo rectángulo, concluimos geométricamente que:
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Si te piden justificar geométricamente:
- Paso 2: Dibuja el cuadrado mayor $a^2$.
- Paso 3: Resta la esquina $b^2$.
- Paso 4: Muestra cómo las dos franjas restantes (de anchos $a-b$) se unen.
Ejemplos
1 Un terreno cuadrado de lado $10$ m pierde un área cuadrada de lado $3$ m. ¿Qué dimensiones tendrá el rectángulo equivalente construido con el resto del terreno?
- Lado inicial $a = 10$, lado recortado $b = 3$.
- El rectángulo equivalente tendrá dimensiones $(10+3)$ y $(10-3)$.
- Es decir, $13$ m por $7$ m.
- Verificamos: $13 \times 7 = 91$. Y $100 - 9 = 91$.
2 Un arquitecto tiene una lámina de cartón cuadrada de lado $L$. Debe cortar un cuadrado en una esquina de lado $x$. Para calcular el área restante, decide medir los lados del cartón restante y multiplicarlos usando $(L-x)(L+x)$. ¿Es correcto este procedimiento geométricamente? Opciones: A) Sí, el área restante $L^2 - x^2$ puede ser reordenada como un rectángulo de lados $L-x$ y $L+x$. · B) No, el área es solo $L^2 - x^2$, no se puede factorizar. · C) Sí, porque $(L-x)(L+x)$ es el área de un círculo. · D) No, el área sería $(L-x)^2$.
- Esa es justamente la justificación geométrica de la diferencia de cuadrados.
- Respuesta: Sí, el área restante $L^2 - x^2$ puede ser reordenada como un rectángulo de lados $L-x$ y $L+x$.
3 Respecto de «Interpretación geométrica del producto de suma por diferencia»: ¿Describe adecuadamente el concepto esta frase? «Geométricamente, $a^2 - b^2$ representa el área de un cuadrado de lado $a$, al cual se le ha recortado un cuadrado menor de lado $b$ en una de sus esquinas»
- La afirmación coincide con la definición formal: Geométricamente, $a^2 - b^2$ representa el área de un cuadrado de lado $a$, al cual se le ha recortado un cuadrado menor de lado $b$ en una de sus esquinas.
4 Respecto de «Interpretación geométrica del producto de suma por diferencia»: ¿Se puede aceptar esta afirmación? «No entender que la figura en forma de 'L' (gnomon) y el rectángulo largo tienen exactamente la misma área, solo están reordenados»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Geométricamente, $a^2 - b^2$ representa el área de un cuadrado de lado $a$, al cual se le ha recortado un cuadrado menor de lado $b$ en una de sus esquinas.
Ejemplos Verdadero/Falso
"No entender que la figura en forma de 'L' (gnomon) y el rectángulo largo tienen exactamente la misma área, solo están reordenados."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «En la representación geométrica de $a^2 - b^2$, la figura que queda tras restar el cuadrado $b^2$ tiene forma de 'L'. ¿Cómo se forma el rectángulo de $(a+b)(a-b)$ a partir de esta 'L'», la respuesta correcta es Se le suma un cuadrado de $b^2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «En la representación geométrica de $a^2 - b^2$, la figura que queda tras restar el cuadrado $b^2$ tiene forma de 'L'. ¿Cómo se forma el rectángulo de $(a+b)(a-b)$ a partir de esta 'L'», la respuesta correcta es Se divide a la mitad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Es imposible formar un rectángulo perfecto con una L."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$x^2 + 4$, es $4$ m$^2$ mayor."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Geométricamente, $a^2 - b^2$ representa el área de un cuadrado de lado $a$, al cual se le ha recortado un cuadrado menor de lado $b$ en una de sus esquinas. Esa figura resultante, en forma de 'L', puede reordenarse cortándola y pegándola para formar un rectángulo perfecto de lados $(a+b)$ y $(a-b)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En la representación geométrica de $a^2 - b^2$, la figura que queda tras restar el cuadrado $b^2$ tiene forma de 'L'. ¿Cómo se forma el rectángulo de $(a+b)(a-b)$ a partir de esta 'L'?
Al trasladar esa pieza, se completa el rectángulo de base $a+b$ y altura $a-b$.
Respuesta: A) Se corta un rectángulo de base $b$ y altura $a-b$, y se traslada al otro extremo.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Un patio cuadrado de lado $x$ reduce su ancho en $2$ m y aumenta su largo en $2$ m. ¿Cuál es el área del nuevo patio y cómo se compara con el original?
Nuevo patio: $(x-2)(x+2) = x^2 - 4$. Original: $x^2$. Diferencia es que perdió $4$.
Respuesta: A) $x^2 - 4$, es $4$ m$^2$ menor que el original.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un arquitecto tiene una lámina de cartón cuadrada de lado $L$. Debe cortar un cuadrado en una esquina de lado $x$. Para calcular el área restante, decide medir los lados del cartón restante y multiplicarlos usando $(L-x)(L+x)$. ¿Es correcto este procedimiento geométricamente?
Esa es justamente la justificación geométrica de la diferencia de cuadrados.
Respuesta: A) Sí, el área restante $L^2 - x^2$ puede ser reordenada como un rectángulo de lados $L-x$ y $L+x$.